24.3 正多邊形和圓

24.3正多邊形和圓R·九年級上冊新課導(dǎo)入情景：欣賞下面圖片.問題：什么叫正多邊形？圖中有哪些正多邊形？正多邊形與圓有哪些關(guān)系？(1)理解正多邊形及其半徑、邊長、邊心距、中心角等概念.(2)會進(jìn)行特殊的與正多邊形有關(guān)的計算，會畫某些正多邊形.推進(jìn)新課正多邊形的定義及它與圓的關(guān)系知識點1三條邊相等，三個角相等（60°）四條邊相等，四個角相等（90°）正三角形正方形

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.正n邊形：如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形.正多邊形定義觀察下列圖形，從這些圖形中找出相應(yīng)的正多邊形.

菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？正多邊形都是

圖形,一個正n邊形共有

條對稱軸，每條對稱軸都通過n邊形的

.正多邊形的對稱性邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是

，它的中心就是對稱中心.軸對稱n中心中心對稱圖形有沒有對稱軸？你知道正多邊形與圓的關(guān)系嗎？

正多邊形和圓的關(guān)系非常密切，只要把一個圓分成相等的幾段弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.·ABCDEOABCDE∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.·ABCDEO同理∠B=∠C=∠D=∠E.又∵五邊形ABCDE的頂點都在⊙O上,∴五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形,⊙O是五邊形ABCDE的外接圓.我們以圓的接正五邊形為例證明.如圖，把⊙O分成相等的5段弧，依次連接各分點得到正五邊形ABCDE.∵AB=BC=CD=DE=EA⌒⌒⌒⌒⌒∴BCE=CDA=3AB⌒⌒⌒把圓分成n（n≥3）等份，依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.定義：EFCD.O中心角半徑R邊心距r正多邊形的中心:該正多邊形的外接圓的圓心.正多邊形的半徑:外接圓的半徑.正多邊形的中心角:正多邊形的每一條邊所對的圓心角.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離.AB正多邊形的有關(guān)概念及相關(guān)計算知識點2中心EDCBAO半徑中心角邊心距正多邊形中的有關(guān)概念：F既是外接圓的圓心，也是內(nèi)切圓的圓心.正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)是____________;中心角是___________;正多邊形的中心角與外角的大小關(guān)系是________.中心角與內(nèi)角互補(bǔ).相等想一想：EDCBAOF

有一個亭子,它的地基半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到0.1m2).因此，亭子地基的周長l=4×6=24(m).解:如圖由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.例利用勾股定理,可得邊心距亭子地基的面積在Rt△OPC中，OC=4，PC=怎樣畫一個正多邊形呢？問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內(nèi)接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB有關(guān)正多邊形的作圖知識點3你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°

你能尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？OABCEF·D

以半徑長在圓周上截取六段相等的弧，依次連接各等分點，則作出正六邊形.

先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形……隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.下列說法中正確的是()A.各邊都相等的多邊形是正多邊形B.正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.各邊都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形D.各角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形C2.如果一個正多邊形的每個外角都等于36°，則這個多邊形的中心角等于()A.36°B.18°C.72°D.54°3.如圖，點O是正六邊形的對稱中心，如果用一副三角板的角，借助點O(使直角的頂點落在點O處)，把這個正六邊形的面積n等分，那么n的所有可能取值的個數(shù)是()A.4B.5C.6D.7AB4.如圖，要擰開一個邊長為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為多少？解：如圖，∠ABC=120°.AB＝BC＝a,AC＝b.過B作BD⊥AC于點D,則AD=DC=b.在Rt△ABD中，∠BAC=30°,∴BD=AB=3mm.∴b=2AD=6mm.即扳手張開的開口b至少要6mm.ACBD5.如圖，正方形的邊長為4cm，剪去四個角后成為一個正八邊形，求這個正八邊形的邊長和面積.解：設(shè)正八邊形的邊長為xcm,解得x1=4-4，x2=-4-4(舍去).∴正八邊形的邊長為(4-4)cm,∴剪去的四個小三角形的面積為

面積為4×4-(48-32)=(32-32)cm2.即x2+8x-16=0.6.如圖，已知正五邊形ABCDE中，BF與CM相交于點P，CF=DM.(1)求證：△BCF≌△CDM；(2)求∠BPM的度數(shù).

綜合應(yīng)用7.一個平面封閉圖形內(nèi)(含邊界)任意兩點距離的最大值稱為該圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑之比稱為圖形的“周率”，下面四個平面圖形(依次為正三角形、正方形、正六邊形、圓)的周率從左到右依次記為a1，a2，a3，a4，則下列關(guān)系中正確的是()A.a4＞a2＞a1

B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a4拓展延伸B1.矩形是正多邊形嗎？菱形呢？正方形呢？為什么？2.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)

接多邊形呢？如果是，說明為什么；如果不是，舉出反例。練習(xí)【教材P106練習(xí)第1、2題】解:矩形不是正多邊形，菱形不是正多邊形，正方形是正多邊形.解:各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.各角相等的圓內(nèi)接多邊形不是正多邊形，例如圓內(nèi)接矩形，它不是正多邊形.3.分別求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊

心距和面積.【教材P106練習(xí)第3題】解:半徑為R的圓內(nèi)接正三角形的邊長為

R，邊心距為R，面積為R2.半徑為R的圓內(nèi)接正方形的邊長為

R，邊心距為R，面積為2R2.(1)畫一個以任意點O為圓心,以2cm長為半徑的圓;(2)用量角器畫一個等于=72°的圓心角,得到此角所對的弧;(3)在圓上依次截取這條弧的等弧,得圓的五等分點;(4)順次連接各等分點,得到此圓的內(nèi)接正五邊形;(5)連接正五邊形的各條對角線得到五角星.如圖所示:4.畫一個半徑為2cm的正五邊形，再作出這個正五邊形的各條對角線，畫出一