2022-2023學(xué)年山東省濰坊市高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省濰坊市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得公差的值，可得結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列中，，，故，則，故選：B．2．已知直四棱柱的高為1，其底面四邊形水平放置的斜二測直觀圖為平行四邊形，，，則該直四棱柱的體積為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法可知，，結(jié)合棱柱的體積公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知，，即底面四邊形為正方形，則該直四棱柱的體積為．故選：D．3．在空間直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為D．點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為【答案】C【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，A錯(cuò)；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，B錯(cuò)；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，C正確；點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，D錯(cuò).故選：C4．已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，則（

）A．6 B．4 C．2 D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】，又，解得，又，則，∵，∴.故選：B.5．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】若，，，則可能相交，故A錯(cuò)誤；若，，，則可能平行也可能異面，故B錯(cuò)誤；若，，則，又，則，故C正確；若，，，則可能平行,相交或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．設(shè)，，，是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去得到的新數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．-1【答案】B【分析】根據(jù)題意，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，進(jìn)而求得和的關(guān)系．【詳解】根據(jù)題意，成等比數(shù)列，則，則，則.故選：B．7．若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值的和為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由題可得，利用數(shù)列的增減性可得最值.【詳解】∵數(shù)列的前項(xiàng)積，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)也適合上式，∴，∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，故的最大值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為2.故選：C.8．如圖，在直三棱柱中，，四邊形是邊長為1的正方形，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平面平面，記平面截四棱錐所得圖形的面積為，平面與平面之間的距離為，則函數(shù)的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】過點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，設(shè)平面FMN與棱交于，可得平面截四棱錐所得圖形為直角梯形，由平面，可知平面與平面PAD之間的距離，結(jié)合平行線分線段成比例，求出，進(jìn)而得，即可得出答案．【詳解】過點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，設(shè)平面FMN與棱交于，連接EF，EN，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，為直角梯形，∵，，∴，平面，平面，∴平面，，平面，平面，∴平面，平面，，∴平面平面，∴平面截四棱錐所得圖形為直角梯形．

∵，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，∵，平面，∴平面，∴平面與平面PAD之間的距離，且四邊形MNEF為直角梯形．由得，，所以，又，則，即，其圖象為選項(xiàng)A．故選：A．二、多選題9．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．?dāng)?shù)列的公差為 B．C． D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列【答案】ACD【分析】由已知條件求出，可判斷ABC，由的函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】，故，，，故AC正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選：ACD.10．已知某圓錐的頂點(diǎn)為，其底面半徑為，側(cè)面積為，若，是底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．圓錐的母線長為2 B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．與圓錐底面所成角的大小為 D．面積的最大值為【答案】AC【分析】利用側(cè)面積公式求出母線長，可判斷A；由圓錐的側(cè)面展開圖的弧長與圓錐底面周長相等求解，可判斷B；找出與圓錐底面所成角，求解可判斷C；由題可得，結(jié)合三角形面積公式可判斷D．【詳解】如圖，圓錐的軸截面PAC，高PO＝h，底面半徑為，母線長PA＝PC＝，∵側(cè)面積為，∴，得，故A正確；設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，得，故B錯(cuò)誤；∵PO⊥底面ABC，∴為與圓錐底面所成角，直角三角形POA中，，∴，與圓錐底面所成角的大小為，故C正確；∵，∴，的面積，∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為2，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得的值，可判斷A；推導(dǎo)出，分別令取偶數(shù)，奇數(shù)和正整數(shù)，結(jié)合累加法求解，可判斷BCD．【詳解】，，，，，故A正確；對任意的，，則，當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，得，相加得則，又，則，故B正確；對任意的，，則，當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，得，相加得則，故C錯(cuò)誤；對任意的，，則，，故D正確.故選：ABD．12．如圖，四個(gè)半徑為2的實(shí)心小球兩兩相切，則（

）

A．這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個(gè)半徑為的小球B．這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個(gè)棱長為的正方體C．存在一個(gè)側(cè)面積為的圓柱可以放進(jìn)這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi)D．這四個(gè)實(shí)心小球可以放入一個(gè)半徑為的大球內(nèi)部【答案】BCD【分析】根據(jù)球心構(gòu)成的正四面體球內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求出內(nèi)部放入正方體，圓柱的可能性判斷A,B,C選項(xiàng)，根據(jù)正四面體的外接球判斷D選項(xiàng)即可.【詳解】

設(shè)分別為四個(gè)小球的球心，則顯然幾何體是正四面體，棱長為，設(shè)是正四面體的外接球的球心，可求得正四面體的高為，進(jìn)而可求得正四面體的外接球的半徑為，這四個(gè)實(shí)心小球可以放入一個(gè)半徑為的大球內(nèi)部,D選項(xiàng)正確，這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個(gè)半徑為的小球,，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個(gè)半徑為的小球,時(shí)取等號，存在一個(gè)側(cè)面積為的圓柱可以放進(jìn)這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi),C選項(xiàng)正確，設(shè)正方體的棱長為，這四個(gè)實(shí)心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個(gè)半徑為的小球，正方體的外接球半徑為，，解得，B正確，故選:BCD.三、填空題13．如圖，在正方體中，與垂直的面對角線可以是．（寫出一條即可）【答案】（答案不唯一，中的任意一條即可）【分析】由，，可得平面，從而，同理可得，與垂直的面對角線還有．【詳解】連接，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴，同理可得，與垂直的面對角線還有．故答案為：（答案不唯一，中的任意一條即可）．14．已知數(shù)列滿足，，則.【答案】/【分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，確定數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此確定數(shù)列的周期，再求.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，…，所以?shù)列是周期為3的數(shù)列，.故答案為：.15．在四棱錐中，為等邊三角形，且平面平面，記直線與平面所成的角為，二面角的大小為，則（填“>”“<”“≥”“≤”）.【答案】【分析】根據(jù)面面垂直得出線面垂直，再應(yīng)用線面角及面面角定義求解即可.【詳解】

取DC中點(diǎn)O，連接PO，∵側(cè)面PCD是邊長為2的等邊三角形，∴，，∵平面平面ABCD，平面平面,平面，∴平面ABCD與平面所成的角為,，∵取，交AD于點(diǎn)T,連接∴是二面角的平面角,∴,∴∴,∴，∴.故答案為：.16．如圖，將正整數(shù)按下表的規(guī)律排列，把行與列交叉處的那個(gè)數(shù)稱為某行某列的元素，記作，如第2行第4列的數(shù)是15，記作，則有序數(shù)對是.

【答案】(985,211)【分析】根據(jù)已知圖形中數(shù)的排列的次序，歸納后分析出數(shù)的排列規(guī)律，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第列及第行的數(shù)據(jù)將按從上到下，從右到左的順序排列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第列及第行的數(shù)據(jù)將按從左到右，從下到上的順序排列，即可找到求某行某列數(shù)的方法，從而可求得答案.【詳解】觀察圖表可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，第列及第行的數(shù)據(jù)將按從上到下，從右到左的順序排列，即逐漸增大，且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第列及第行的數(shù)據(jù)將按從左到右，從下到上的順序排列，即逐漸增大，且，所以，，所以，因?yàn)橛蓤D表可知第32行的數(shù)第一個(gè)數(shù)開始連續(xù)32個(gè)依次增加1，第15行的數(shù)第一個(gè)數(shù)開始連續(xù)15個(gè)依次減小1，所以，，所以是(985,211)，故答案為：(985,211)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用和歸納推理的解題方法，解題時(shí)注意分析數(shù)的規(guī)律，由此確定關(guān)鍵數(shù)據(jù)的位置是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱和上，且.

(1)證明：四邊形為梯形，并求三棱柱的表面積；(2)求三棱臺的體積.【答案】(1)證明見解析，表面積為(2)【分析】（1）由題意可得，，，，從而，，即可證得四邊形PMNQ為梯形，根據(jù)棱柱的表面積公式求出三棱柱的表面積；（2）三棱臺的高，根據(jù)棱臺的體積公式求出答案．【詳解】（1）因?yàn)镻，Q分別為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)椋瑒t，所以，，所以，，故四邊形PMNQ為梯形，又因?yàn)槿切蜛BC為邊長為2的正三角形，所以的面積為，的面積為，又三棱柱的側(cè)面積，所以三棱柱的表面積．（2）因?yàn)槿馀_的高，由題可得，，所以三棱臺的體積為：．18．已知遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，等差數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，請判斷與的大小關(guān)系，并求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用等比數(shù)列基本量和等差數(shù)列基本量計(jì)算即可；（2）利用（1）求出即可判斷，再利用并項(xiàng)求和思想結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得，即，解得，或，又等比數(shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，所以，，所以等差數(shù)列的公差為1，故；（2）由（1）知，所以，所以.19．在如圖所示的圓臺中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，，，，為圓的內(nèi)接正三角形.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)記與交于點(diǎn)，連接，要證明平面，只需證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量為，利用線面角的向量算法求解即可.【詳解】（1）

記與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭窍碌酌鎴A的直徑，且為圓的內(nèi)接正三角形，所以垂直平分，，中，,因?yàn)?，，所以故四邊形為平行四邊形，故，又平?平面,故平面.（2）由（1）知，則面,如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

則,設(shè)平面的法向量為則令，則，記直線與平面所成角為，則，故，故直線與平面所成角的正切值為.20．中小微企業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的重要組成部分，某小微企業(yè)準(zhǔn)備投入專項(xiàng)資金進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，以增強(qiáng)自身的競爭力.根據(jù)規(guī)劃，本年度投入專項(xiàng)資金800萬元，可實(shí)現(xiàn)銷售收入40萬元；以后每年投入的專項(xiàng)資金是上一年的一半，銷售收入比上一年多80萬元.同時(shí)，當(dāng)預(yù)計(jì)投入的專項(xiàng)資金低于20萬元時(shí)，就按20萬元投入，銷售收入則與上一年銷售收入相等.(1)設(shè)第年（本年度為第一年）投入的專項(xiàng)資金為萬元，銷售收入為萬元，請寫出，的表達(dá)式；(2)至少要經(jīng)過多少年后，總銷售收入就能超過專項(xiàng)資金的總投入?【答案】(1)，(2)至少要經(jīng)過7年后，總銷售收入才能超過發(fā)項(xiàng)資金的總投入【分析】（1）依題意分段討論，結(jié)合等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出的表達(dá)式；（2）分為，兩種情況討論總利潤，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及不等式求解.【詳解】（1）依題意得，當(dāng)投入的專項(xiàng)資金不低于20萬元時(shí)，即時(shí)，且，此時(shí)是首項(xiàng)為800，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為40，公差為80的等差數(shù)列，所以，令，得，解得，所以，.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，總利潤，因?yàn)?，設(shè)，則為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即前6年未盈利，當(dāng)時(shí)，，令，得，綜上，至少要經(jīng)過7年后，總銷售收入才能超過發(fā)項(xiàng)資金的總投入．21．如圖（1），已知四邊形是邊長為2的正方形，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，點(diǎn)為的中點(diǎn).現(xiàn)將半圓沿折起，如圖（2），使異面直線與所成的角為，此時(shí).

(1)證明：平面，并求點(diǎn)到平面的距離；(2)若平面平面，，當(dāng)平面與平面所成角的余弦值為時(shí)，求的長度.【答案】(1)證明見解析，1(2)【分析】（1）利用異面直線所成的角得，利用勾股關(guān)系得，又，利用線面垂直的判定定理證明，利用面面垂直找到點(diǎn)在底面的射影即可求解點(diǎn)面距離；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角平面角余弦值建立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間距離向量公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面；平面，所以平面平面，兩平面交線為，取中點(diǎn)為，則，所以平面，即就是點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為1；（2）

延長，，設(shè)，連接，所以平面與平面的交線即為直線，又平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，得，所以，解得，此時(shí).22．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上，，其中.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)