2022-2023學(xué)年山東省聊城市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省聊城市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算及幾何意義即可得解.【詳解】因為，所以則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.2．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】利用向量共線的坐標運算即可求解.【詳解】因為，，，所以，則.故選：B3．若直線在平面外，則（

）A．平面內(nèi)存在唯一的直線與平行 B．平面內(nèi)存在唯一的直線與垂直C．平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與異面 D．平面內(nèi)的所有直線與都不相交【答案】C【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系逐項分析可得答案.【詳解】因為直線在平面外，所以直線與平面相交或平行，當時，平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與平行，故A錯誤；當時，平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與垂直，故B錯誤；無論直線與平面相交或平行，平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與異面，故C正確；當直線與平面相交時，平面內(nèi)有無數(shù)條直線與相交，故D錯誤.故選：C4．某校高一年級有女生504人，男生596人．學(xué)校想通過抽樣的方法估計高一年級全體學(xué)生的平均體重，從高一女生和男生中隨機抽取50人和60人，經(jīng)計算這50個女生的平均體重為，60個男生的平均體重為，依據(jù)以上條件，估計該校高一年級全體學(xué)生的平均體重最合理的計算方法為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合按比例分配的分層抽樣即可求解.【詳解】高一年級有女生504人，男生596人．總?cè)藬?shù)為，從高一女生和男生中隨機抽取50人和60人，沒有按照比例分配的方式進行抽樣，不能直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，需要按照女生和男生在總?cè)藬?shù)中的比例計算總體的平均體重，即，即D選項最合理.故選：D5．芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣．”可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”如圖，在芻甍中，四邊形是邊長為2的正方形，，到平面的距離為3，則該芻甍的體積可能是（

）

A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意，找到該芻甍的臨界狀態(tài)，運用極限思維求解；【詳解】

設(shè)該芻甍的體積為，由題意知，該芻甍頂部只有長沒有寬為一條棱，所以,在選項中，，故選：A.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦函數(shù)的倍角公式，結(jié)合弦化切齊次式求得，再利用正切函數(shù)的和差公式求得，從而得解.【詳解】因為，所以，，則.故選：A.7．如圖，一架高空偵察飛機以的速度在海拔的高空沿水平方向飛行，在點處測得某山頂?shù)母┙菫椋?jīng)過后在點處測得該山頂?shù)母┙菫?，若點A，B，M在同一個鉛垂平面內(nèi)，則該山頂?shù)暮０胃叨燃s為（

）（，）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，，在中，米，，由正弦定理得，得米，又所以該山頂?shù)暮０胃叨葹槊?故選：B8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．C．當時，在上恰有2個零點 D．若在上單調(diào)遞減，則【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律以及，得，，，再根據(jù)偶函數(shù)的定義可得A正確；計算可得B正確；當時，求出在上的零點，可得C不正確；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可得D正確.【詳解】依題意得，由已知得，所以，，所以，，，，對于A，，且的定義域關(guān)于原點對稱，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，當時，，，由，得，得，，，因為，所以或或，則在上恰有3個零點，故C不正確；對于D，由，，得，，所以，，所以，所以，故D正確.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.二、多選題9．甲、乙二人在相同條件下各射擊10次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示：

下列說法正確的是（

）A．從環(huán)數(shù)的平均數(shù)看，甲、乙二人射擊水平相當B．從環(huán)數(shù)的方差看，甲的成績比乙穩(wěn)定C．從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的頻數(shù)看，乙的成績更好D．從二人命中環(huán)數(shù)的走勢看，甲更有潛力【答案】ABC【分析】求出甲乙的平均數(shù)和方差，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為.將它們由小到大排列為.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為.將它們由小到大排列為.甲平均值：（環(huán)）,乙平均值：（環(huán)）,甲方差：，乙方差：，A項，甲平均值等于乙平均值，故A正確；B項，，甲的成績比乙穩(wěn)定，B正確；C項，甲乙平均數(shù)均為7，甲命中9環(huán)及9環(huán)以上的頻數(shù)為1，乙命中9環(huán)及9環(huán)以上的頻數(shù)為3，故乙的成績更好，C正確；D項，從二人命中環(huán)數(shù)的走勢看，甲成績逐漸平穩(wěn)，乙成績?nèi)杂猩仙厔?，故乙更有潛力，D錯誤.故選：ABC10．如圖是一個古典概型的樣本空間和事件和，其中，，，，則（

）A． B．C．事件與互斥 D．事件與相互獨立【答案】AD【分析】依題意，計算出與，從而求得對應(yīng)概率即可判斷AB；由判斷C；分別計算的值，從而判斷D.【詳解】對于A，由，得，則，所以，故A正確；對于B，，所以，故B錯誤；對于C，與不互斥，故C錯誤；對于D，，，事件A與相互獨立，故D正確.故選：AD.11．代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它在代數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用．由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方程有個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）．若，記為方程的一個虛數(shù)根，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先利用配方法求得復(fù)數(shù)根，再利用復(fù)數(shù)的運算法則求解即可.【詳解】令，得或，由，得，所以，則，所以是的兩個復(fù)數(shù)根，對于A，因為為方程的一個虛數(shù)根，即滿足，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，因為與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故C正確；對于D，由，得，若，則，若，則，綜上：，故D正確.故選：ACD.12．如圖，在棱長為的正方體中，是線段上的動點，設(shè)平面截該正方體所得截面面積為，則（

）

A．平面B．C．當異面直線與所成角的余弦值為時，D．當?shù)拿娣e最小時，【答案】ABD【分析】根據(jù)面面平行的判定定理得面面平行，再又性質(zhì)定理判斷線面平面，即可判斷A；證明正方體的體對角線與平面的位置關(guān)系，即可判斷B；利用異面直線的概念確定異面直線與所成角余弦值大小，確定點的位置，結(jié)合相似、梯形面積公式即可求得截面面積，從而可判斷C；根據(jù)線面關(guān)系確定的面積最小值，即可得點的位置，在根據(jù)三角形面積公式求得截面面積，從而可判斷D.【詳解】對于A，如圖連接

在正方體中，，則四邊形為平行四邊形所以，又平面，平面，所以平面同理可得，又平面，平面，所以平面因為平面，所以平面平面因為平面，所以平面，故A正確；對于B，如圖，連接

在正方體中，平面，由于平面，所以，又正方形中有，因為平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證得，因為平面，所以平面因為平面，所以，故B正確；對于C，如圖，連接

因為，結(jié)合圖形可得異面直線與所成角為設(shè)，，則，在中，由余弦定理得，所以，則在中，由于，所以余弦定理得，整理得，解得或（舍），則，則如圖，延長交于，過作交于，連接，過過作于，

由于，所以，所以，即為中點，由于，所以為中點，且，則，四邊形是平面截該正方體所得截面，又，，所以，則,故C不正確；對于D，如下圖，作，，

由于平面，面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，設(shè)，，則，又，所以，所以，當時，取得最小值，此時的面積最小，則，延長交于，取為的中點，連接，

由于，所以，所以，即為中點，顯然三角形為平面截該正方體所得截面，又在中，，因為為的中點，所以，且，所以，故D正確．故選：ABD．三、填空題13．已知樣本的標準差為，若，則樣本的標準差為．【答案】/【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】因為樣本的標準差為，所以方差為，又因為，所以樣本的方差為，所以標準差為，故答案為：.14．一個盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的2個紅球和2個白球，從盒中不放回地依次隨機取出2個球，則取出的2個球同色的概率是．【答案】【分析】根據(jù)互斥事件概率的加法公式和古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】取出的2個球都是紅色的概率為，取出的2個球都是白色的概率為，所以取出的2個球同色的概率為.故答案為：.15．如圖，在中，已知，，，是的中點，，設(shè)與相交于點，則．

【答案】【分析】用和表示和，根據(jù)以及，，，可求出結(jié)果.【詳解】因為是的中點，所以，，因為，，，所以，所以.故答案為：.16．已知正三棱臺的高為1，下底面邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為．【答案】/【分析】根據(jù)已知計算可得下底面中心為外接球球心，算出半徑，根據(jù)球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如圖：在正三棱臺中，上、下底面中心為，依題意得，因為，所以，過作，垂足為，則，又，所以，所以，所以，所以為正三棱臺的外接球的球心，半徑，球的表面積為.

故答案為：.四、解答題17．在平面直角坐標系中，設(shè)與軸，軸方向相同的兩個單位向量分別為和，向量，．(1)若點在線段的延長線上，且，求點的坐標；(2)若點是線段的中點，且向量與垂直，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到，再利用向量的坐標表示與線性運算即可得解；（2）由向量與的數(shù)量積為0，即可求得的值．【詳解】（1）依題意，得，，則，，因為點在線段的延長線上，且，所以，設(shè)，則，所以，即，解得，所以點的坐標為.（2）因為點是線段的中點，則，又，向量與向量垂直，所以，即，所以.18．2023年4月23日是第28個“世界讀書日”，為了更好地弘揚“尊重知識，崇尚文明”的閱讀理念，某書屋舉辦了“智慧闖關(guān)獎勵圖書”活動，活動規(guī)則如下：有3道難度相當?shù)念}目，每位闖關(guān)者共有3次機會，一旦某次答對抽到的題目，則闖關(guān)成功；否則就一直抽題到第3次為止．假設(shè)張華答對每道題的概率都是0.7，且對抽到的題目能否答對是獨立的．(1)求張華第二次闖關(guān)成功的概率；(2)求張華闖關(guān)成功的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式求解即可；（2）先求出張華沒有闖關(guān)成功的概率，再利用對立事件概率的求法求解即可．【詳解】（1）因為張華答對每道題的概率都是，所以張華不能答對某道題的概率，張華第二次闖關(guān)成功的概率；（2）張華沒有闖關(guān)成功的概率，張華闖關(guān)成功的概率．19．如圖，是的直徑，點是上的動點，過動點的直線垂直于所在的平面，，分別是，的中點．

(1)記平面與所在的平面的交線為，求證：；(2)當為的中點，且時，求與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理得平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得；（2）取的中點，連，可得是與平面所成的角，利用已知條件計算可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，分別是，的中點．所以，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以.（2）取的中點，連，因為為的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以是與平面所成的角，因為為的中點，且，所以，，所以.

20．有一種魚的身體吸收汞，身體中汞的含量超過其體重的（百萬分之一）的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害．某檢測中心從一批這種魚中隨機抽取了50條，檢測其汞含量（單位：），并將所得數(shù)據(jù)分為6組：，，，，，，整理后得到如下頻率分布直方圖．

(1)由頻率分布直方圖分別估計樣本的中位數(shù)和第分位數(shù)（精確到0.01）；(2)由頻率分布直方圖估計這批魚汞含量的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)從實際情況看，許多魚的我含量超標的原因是這些魚在出售之前沒有被檢測過．你認為每批這種魚的平均汞含量都比大嗎？并說明理由．【答案】(1)；(2)(3)不一定，理由見解析【分析】（1）先利用頻率之和為求得，再利用頻率分布直方圖的中位數(shù)與百分位數(shù)的求法求解即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用頻率分布直方圖的平境外數(shù)的求法求解即可；（3）結(jié)合樣本估計總體的平均數(shù)的實際意義判斷說理即可.【詳解】（1）依題意，由頻率分布直方圖可知這批魚汞含量在區(qū)間，，，，，的頻率分別為，，，，，，所以，解得，則，因為，，，所以樣本的中位數(shù)在區(qū)間中，設(shè)為，則，解得，樣本的第分位數(shù)在區(qū)間中，設(shè)為，則，解得，所以樣本的中位數(shù)為，第分位數(shù)為.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，可得這批魚汞含量的平均值為.（3）不一定，因為我們不知道其他各批魚的汞含量分布是否都和這批魚相同，即使其他各批魚的汞含量分布與這批魚相同，上面所得的平均數(shù)也只能為這個分布做出估計，不能保證每批魚的平均錄含量都大于.21．如圖，平面四邊形由等腰直角和等邊拼接而成，將沿折起，使點到達點的位置，且．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由勾股定理證明，結(jié)合可得平面，從而可得平面平面；（2）取的中點，過作，垂足為，可證是二面角的平面角，再計算可得結(jié)果.【詳解】（1）因為為等邊三角形，為等腰直角三角形，由圖可知，，，設(shè)，則，，故，，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點，過作，垂足為，因為，所以，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，又，所以是二面角的平面角，由題意知，，在等腰直角三角形中，，在直角三角形中，，