【世紀金榜】2023高考數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練配套練習(xí)：課時沖關(guān)練(二)-1.2向量、不等式、線性規(guī)劃

PAGE17-課時沖關(guān)練(二)向量、不等式、線性規(guī)劃A組(30分鐘76分)一、選擇題(每題5分,共60分)1.(2023·杭州模擬)A,B,C三點在同一條直線l上,O為直線外一點,假設(shè)pQUOTE+qQUOTE+rQUOTE=0,p,q,r∈R,那么p+q+r=()A.-1 B.0 C.1 D.3【解析】選B.因為A,B,C三點在同一條直線上,所以存在實數(shù)λ使QUOTE=λQUOTE,所以QUOTE-QUOTE=λ(QUOTE-QUOTE),即(λ-1)QUOTE+QUOTE-λQUOTE=0,因為pQUOTE+qQUOTE+rQUOTE=0,所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.2.設(shè)向量a=(4,x),b=(2,-1),且a⊥b,那么x的值是()A.8 B.-8 C.2 D.-2【解析】選A.因為a⊥b,所以a·b=4×2-x=0,解得x=8.3.設(shè)a,b為實數(shù),那么“0<ab<1〞是“b<QUOTE〞的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選D.0<ab<1可分為兩種情況:當a>0,b>0時,b<QUOTE;當a<0,b<0時,b>QUOTE,故不充分;反之,當b<0<QUOTE,可有ab<0,故不必要,所以應(yīng)為既不充分也不必要條件.4.(2023·湖州模擬)假設(shè)a,b∈R,且ab>0,那么以下不等式恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2QUOTEC.QUOTE+QUOTE>QUOTE D.QUOTE+QUOTE≥2【解析】選D.對于A:當a=b=1時滿足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A錯;對于B,C:當a=b=-1時滿足ab>0,但a+b<0,QUOTE+QUOTE<0,而2QUOTE>0,QUOTE>0,顯然B,C不對;對于D:當ab>0時,由根本不等式可得QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2.5.不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<4},那么不等式cx2+bx+a<0的解集為()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.由a<0,把2和4看作方程ax2+bx+c=0的兩個根,那么QUOTE所以b=-6a,c=8a,即cx2+bx+a<08ax2-6ax+a<0.因為a<0,所以8x2-6x+1>0,解得:x>QUOTE或x<QUOTE.6.(2023·溫州模擬)實數(shù)x,y滿足不等式組QUOTE那么2x-y的取值范圍是()A.[-1,3] B.[-3,-1]C.[-1,6] D.[-6,1]【解析】選C.由線性約束條件作出可行域如圖.設(shè)z=2x-y,那么y=2x-z.利用平移法可知,在點(3,0)處z取最大值6,在點(0,1)處取得最小值-1.應(yīng)選C.7.向量a,b,其中|a|=QUOTE,|b|=2,且(a-b)⊥a,那么向量a和b的夾角是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】選A.由題意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,所以a·b=2.設(shè)a與b的夾角為θ,那么cosθ=QUOTE=QUOTE,θ=QUOTE.8.向量a=(2,1),a·b=10,QUOTE=5QUOTE,那么QUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.5 D.25【解析】選C.因為a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5QUOTE,所以(a+b)2=50=a2+2a·b+b2,解得可知|b9.以下不等式一定成立的是()A.lg〔x2+QUOTE〕>lgx(x>0)B.sinx+QUOTE≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.QUOTE>1(x∈R)【解題提示】應(yīng)用根本不等式:x,y為正實數(shù),QUOTE≥QUOTE(當且僅當x=y時取等號)逐個分析,注意根本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件.【解析】選C.當x>0時,x2+QUOTE≥2·x·QUOTE=x,所以lg〔x2+QUOTE〕≥lgx(x>0),應(yīng)選項A不正確;運用根本不等式時需保證一正、二定、三相等,而當x≠kπ,k∈Z時,sinx的正、負不定,應(yīng)選項B不正確;由根本不等式可知,選項C正確;當x=0時,有QUOTE=1,應(yīng)選項D不正確.10.(2023·合肥模擬)假設(shè)不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域的面積為3,那么實數(shù)a的值是()A.1 B.2 C.QUOTE D.3【解析】選B.作出可行域,如圖中陰影局部所示,區(qū)域面積S=QUOTE×〔QUOTE+2〕×2=3,解得a=2.11.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,那么()A.a<v<QUOTE B.v=QUOTEC.QUOTE<v<QUOTE D.v=QUOTE【解析】選A.由小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b,那么全程的平均時速為v=QUOTE=QUOTE,又因為a<b,所以QUOTE<QUOTE<QUOTE=QUOTE,所以a<v<QUOTE,A成立.12.A,B是單位圓上的動點,且|AB|=QUOTE,單位圓的圓心為O,那么QUOTE·QUOTE=()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意知,單位圓的弦AB所對的圓心角∠AOB=120°,故QUOTE·QUOTE=QUOTE·(QUOTE-QUOTE)=QUOTE·QUOTE-QUOTE=1×1×cos120°-1=-QUOTE.應(yīng)選C.二、填空題(每題4分,共16分)13.向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).假設(shè)λ為實數(shù),(a+λb)∥c,那么λ的值為.【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因為(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-3×2=0,解得λ=QUOTE.答案:QUOTE14.(2023·寧波模擬)在△ABC中,∠C=90°,點M滿足QUOTE=3QUOTE,那么sin∠BAM的最大值是.【解析】以CB,CA為x軸、y軸建立坐標系,如圖,設(shè)B(4a,0),A(0,b),因為QUOTE=3QUOTE,所以M(a,0),所以QUOTE·QUOTE=(a,-b)·(4a,-b)=4a2+b2,又因為|QUOTE|=QUOTE,|QUOTE|=QUOTE,所以cos∠BAM=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,所以cos∠BAM的最小值是QUOTE,因為sin2∠BAM+cos2∠BAM=1,sin∠BAM>0,所以sin∠BAM的最大值為QUOTE.答案:QUOTE15.(2023·臺州模擬)設(shè)k∈R,假設(shè)1≤x≤2時恒有x3-3x2+2≤(1-k)x+1≤0,那么k的取值集合是.【解析】因為1≤x≤2時,恒有(1-k)x+1≤0,所以QUOTE所以k≥2,x3-3x2+2≤(1-k)x+1,那么1-k≥x2-3x+QUOTE,設(shè)f(x)=x2-3x+QUOTE,f'(x)=2x-3-QUOTE,設(shè)f'(x)=0在1≤x≤2時的解為a,所以函數(shù)f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,在(a,2)上單調(diào)遞增,因為f(1)=-1,f(2)=-QUOTE,所以f(x)max=f(1)=-1.所以1-k≥-1,所以k≤2.所以k的取值集合是{2}.答案:{2}16.(2023·濰坊模擬)a>0,b>0,且a+2b=1,那么QUOTE+QUOTE的最小值為.【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=3+QUOTE+QUOTE≥3+2QUOTE=3+2QUOTE.即QUOTE+QUOTE的最小值為3+2QUOTE.答案:3+2QUOTEB組(30分鐘76分)一、選擇題(每題5分,共60分)1.(2023·瀏陽模擬)設(shè)a,b∈R,假設(shè)a-|b|>0,那么以下不等式中正確的選項是()A.b-a>0 B.a3+b3<0C.b+a>0 D.a2-b2<0【解題提示】可以根據(jù)a-|b|>0去掉絕對值號得到a與b的大小關(guān)系,從而作出判斷,亦可以在a,b∈R的前提下取滿足a-|b|>0的特殊實數(shù)a,b驗證.【解析】選C.方法一:由a-|b|>0,得a>|b|,所以-a<b<a,所以a+b>0且a-b>0,所以b-a<0,A錯.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)QUOTE>0,所以B錯.而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以D錯.方法二(特殊值法):因為a,b∈R且a-|b|>0,所以取a=2,b=-1.那么b-a=-1-2=-3<0,所以A錯.a3+b3=8-1=7>0,所以B錯.a2-b2=22-(-1)2=3>0,所以D錯.2.向量a,b,滿足|a|=3,|b|=2QUOTE,且a⊥(a+b),那么a與b的夾角為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.a⊥(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos<a,b>=0,故cos<a,b>=-QUOTE=-QUOTE,故所求夾角為QUOTE.3.直線ax+by+c=0的某一側(cè)的點P(m,n),滿足am+bn+c<0,那么當a>0,b<0時,該點位于該直線的()A.右上方 B.右下方C.左下方 D.左上方【解析】選D.因為am+bn+c<0,b<0,所以n>-QUOTEm-QUOTE.所以點P所在的平面區(qū)域滿足不等式y(tǒng)>-QUOTEx-QUOTE,a>0,b<0.所以-QUOTE>0.故點P在該直線的上側(cè),綜上知,點P在該直線的左上方.4.(2023·紹興模擬)約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域D如下圖,其中l(wèi)1,l2,l3對應(yīng)的直線方程分別為:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,假設(shè)目標函數(shù)z=-kx+y僅在點A(m,n)處取到最大值,那么有()A.k1<k<k2 B.k1<k<k3C.k1≤k≤k3 D.k<k1或k>k3【解析】選B.因為z=-kx+y僅在點A(m,n)處取得最大值,那么由y=kx+z,可知k1<k<k3.5.(2023·黃岡模擬)在△ABC中,(QUOTE-3QUOTE)⊥QUOTE,那么角A的最大值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由(QUOTE-3QUOTE)⊥QUOTE,可得(QUOTE-3QUOTE)·QUOTE=0.化簡可得|QUOTE|cosB=3|QUOTE|cos(π-C).cosA=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,0<A<π.所以0<A≤QUOTE.6.正項等比數(shù)列{an}滿足:a3=a2+2a1,假設(shè)存在兩項am,an使得QUOTE=4a1,那么QUOTE+QUOTE的最小值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.不存在【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),因為a3=a2+2a1,所以a1q2=a1q+2a1,解之得q=2.又QUOTE=4a1,所以QUOTEqm+n-2=16QUOTE,所以2m+n-2因此m+n=6.那么〔QUOTE+QUOTE〕(m+n)=5+QUOTE+QUOTE≥9.當且僅當n=2m(即n=4,m=2)時取等號.所以〔QUOTE+QUOTE〕(m+n)的最小值為9,從而QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE.7.(2023·天津高考)菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.假設(shè)QUOTE·QUOTE=1,QUOTE·QUOTE=-QUOTE,那么λ+μ=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為∠BAD=120°,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE·cos120°=-2.因為BE=λBC,所以QUOTE=QUOTE+λQUOTE,QUOTE=μQUOTE+QUOTE.因為QUOTE·QUOTE=1,所以QUOTE·QUOTE=1,即2λ+2μ-λμ=QUOTE①同理可得λμ-λ-μ=-QUOTE②,①+②得λ+μ=QUOTE.8.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,那么|a+b|=()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.10【解析】選B.因為a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由a⊥c,得a·c=2x-4=0,所以x=2.由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.因此a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),那么|a+b|=QUOTE.9.設(shè)x,y滿足約束條件QUOTE假設(shè)目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,那么QUOTE+QUOTE的最小值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4【解題提示】先由結(jié)合線性規(guī)劃知識可以求得a,b的關(guān)系式,再由根本不等式求解.【解析】選A.不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影局部所示.當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2=QUOTE.【方法技巧】線性規(guī)劃問題的求解關(guān)注線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要關(guān)注的是:(1)準確無誤地作出可行域.(2)畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比擬,防止出錯.(3)一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.10.(2023·溫州模擬)在△ABC中,假設(shè)QUOTE·QUOTE>|QUOTE|2,那么有()A.|QUOTE|>|QUOTE| B.|QUOTE|>|QUOTE|C.|QUOTE|>|QUOTE| D.|QUOTE|>|QUOTE|【解析】選D.因為QUOTE·QUOTE>|QUOTE|2,所以|QUOTE|·|QUOTE|·cosA>|QUOTE|2,所以|QUOTE|·cosA>|QUOTE|.因為|QUOTE|cosA是QUOTE在QUOTE上的投影,如圖.所以|QUOTE|cosA=|QUOTE|>|QUOTE|,所以必須C為鈍角時才能滿足|QUOTE|cosA>|QUOTE|.根據(jù)大角對大邊得|QUOTE|最長.應(yīng)選D.11.(2023·臺州模擬)在△ABC中,QUOTE=(cos18°,cos72°),QUOTE=(2cos63°,2cos27°),那么△ABC的面積為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.QUOTE·QUOTE=2cos18°cos63°+2cos72°cos27°=2sin27°cos18°+2cos27°sin18°=2sin(27°+18°)=2sin45°=QUOTE.而|QUOTE|=1,|QUOTE|=2,所以cosB=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,所以S△ABC=QUOTE|QUOTE||QUOTE|sinB=QUOTE.12.定義max{a,b}=QUOTE設(shè)實數(shù)x,y滿足約束條件QUOTE且z=max{4x+y,3x-y},那么z的取值范圍為()A.[-6,0] B.[-7,10]C.[-6,8] D.[-7,8]【解析】選B.因為(4x+y)-(3x-y)=x+2y,所以z=QUOTE直線x+2y=0將約束條件QUOTE所確定的平面區(qū)域分為兩局部.如圖,令z1=4x+y,點(x,y)在四邊形ABCD上及其內(nèi)部,求得-7≤z1≤10;令z2=3x-y,點(x,y)在四邊形ABEF上及其內(nèi)部(除AB邊),求得-7≤z2≤8.綜上可知,z的取值范圍為[-7,10].應(yīng)選B.二、填空題(每題4分,共16分)13.函數(shù)f(x)=QUOTE假設(shè)f(2-a2)>f(a),那么實數(shù)a的取值范圍是.【解析】f(x)=QUOTE由f(x)的圖象可知f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.答案:-2<a<114.(2023·寧波模擬)點O是△ABC的外接圓圓心,且AB=3,AC=4.假設(shè)存在非零實數(shù)x,y,使得QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,且x+2y=1,那么cos∠BAC=.【解析】因為QUOTE·QUOTE=|QUOTE|·|QUOTE|·cos∠BAO,又因為|QUOTE|cos∠BAO是QUOTE在QUOTE上的投影且O為外接圓的圓心,所以|QUOTE|cos∠BAO=