2021年滬教版必修二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-上海期末真題50題（小題提升版）教師版

上海期末真題精選50題（小題提升版）

一、單選題

22

1.（2019?上海市徐匯中學(xué)高一期末）設(shè)z是復(fù)數(shù)，從z,）|Z|,|z|,|z|\z.z

中選取若干對象組成集合，則這樣的集合最多有（）

A.3個元素B.4個元素C.5個元素D.6個元素

【答案】A

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)2=。+4（。力€/?）分別計算出以上式子，根據(jù)集合的元素互異性，可判斷

答案.

【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=

:.~z=a-bi，

z=a+bi=z（a,b€/?）,

|z|2=/+〃，

|z|2=a2+b2,

z-z=^a+bi^a-bi）=a2+b2

z2=（a+=a~-b1+2abi

.-.|z2|=|a2-b2+2abi\=J（a2-Z/J+（2a6『=Q（a2+⑹?=a2+b2

故由以上的數(shù)組成的集合最多有a+初，a-bi，/+從這3個元素，

故選：A

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算及相關(guān)概念，屬于中檔題.

2.（2019?上海市南洋模范中學(xué)高一期末）若S“=sin/+sin生+…+sin竺則

在忖』,…0oo中,正數(shù)的

個數(shù)是（）

A.16B.72C.86D.100

【答案】C

TTmi

【詳解】令々=a，則,=〃a,當(dāng)lWnW14時，間出角序列終邊如圖，

77

其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱，故有|SI,SA：SI2均為正數(shù),

而氏=$4=0,由周期性可知，當(dāng)14kT3WnWl4k時，Sn>0,

而|工林-1=凡依=0,其中k=l,2,…,7,所以在國名…中有14個為0,其余

都是正數(shù)，即正數(shù)共有100—14=86個，故選C.

3.(2019?上海市文來中學(xué)高一期末)己知函數(shù)/(x)=cos(2x+0)滿足〃對xeR

恒成立，則

A.函數(shù)/(x+1)一定是偶函數(shù)

B.函數(shù)/。一1)一定是偶函數(shù)

C.函數(shù)/(x+1)一定是奇函數(shù)

D.函數(shù)/(x-l)一定是奇函數(shù)

【答案】A

試題分析：由已知得一燧T(x)1,又/(x),"(l)對xeR恒成立，所以/(1)=1,即

cos(2+0)=l,所以2+8=2攵即e=-2+2Z萬，所以

/(X)=COS(2X-2+2ATT)=COS(2X-2),則/(*+1)=(：0$[2(%+1)-2]=(：052%為偶函數(shù).

故正確答案為A.

考點：三角函數(shù)最值、奇偶性.

4.(2020?上海市實驗學(xué)校高一期末)已知函數(shù)/(幻=$皿(〃沈+0)(0>0,|同<乃)的圖象如

圖所示，則*的值為

【答案】c

【詳解】由函數(shù)/（X）=sin{cDx+（p）（co>0,附〈萬）的圖象可知:

T=7Cy0)=2

故選。

5.（2019?上海華師大二附中高一期末）將函數(shù)y=sin（2x+q）的圖象向右平移*個單位長

度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)

A.在區(qū)間［學(xué)，苧］上單調(diào)遞增B.在區(qū)間［學(xué),劃上單調(diào)遞減

444

C.在區(qū)間［一,營］上單調(diào)遞增D.在區(qū)間［4,2汨上單調(diào)遞減

422

【答案】A

【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：

將y=sin（2x+的圖象向右平移看個單位長度之后的解析式為：

?c7T）7T?c

y=sin2x---H——=sin2x.

Iioj5

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：2k兀一2k兀+%（kwZ、，

即k7r-^<x<k7r+^（keZ）,

37754

令&=1可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：—.

_44_

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：2U+-<2x<2k7i+—（keZ）,

令人=1可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：—,本題選擇A選項.

_44_

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查

學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

6.(2019?上海華師大二附中高一期末)已知函數(shù)/(x)=2cos2x—sii?x+2,則

A./(x)的最小正周期為萬，最大值為3

B./(x)的最小正周期為開，最大值為4

C./(%)的最小正周期為2兀，最大值為3

D./(x)的最小正周期為2兀，最大值為4

【答案】B

【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，將解析式化簡為

35

/(x)=|cos2x+-,之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項.

【詳解】根據(jù)題意有/(x)=cos2x+l-匕等^+2=|cos2x+g,

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為7=夸=萬，

且最大值為/(X)2=：3+]5=4,故選B.

【點睛】該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)

的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.

7.(2019?上海復(fù)旦附中高一期末)對于函數(shù)f(x)=2sinxcosx,下列選項中正確的是

7T1T

A.f(x)在(:，上是遞增的B.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱

42

C.f(x)的最小正周期為2萬D.f(x)的最大值為2

【答案】B

【詳解】解：,「/(工)=2sinxcosx=sin2x,是周期為7T的奇函數(shù)，

對于A,/(])在(，5)上是遞減的,錯誤；

對于B,/(乃是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱,正確；

對于C,/Q)是周期為7T,錯誤；

對于D,f⑺=S,712%的最大值為1,錯誤；

所以B選項是正確的.

TT

8.(2020?上海高一期末)為了得到函數(shù)y=sin(2x—§)的圖像，只需將函數(shù)y=sin2x的圖

像()

71

A.向右平移5個單位B.向右平移一個單位

3

7T

C.向左平移三個單位D.向左平移一個單位

63

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換的方法，由2x—1即2xr只需向右平移丁個單

366

位即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)平移變換，由y=sin2x變換為y=sin（2x—=si〃2［一.），

只需將y=sin2x的圖象向右平移尹單位，即可得到…皿,-"的圖像，故選A.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，解題關(guān)鍵是看自變量上的變化量，屬于

中檔題.

9.（2018?上海華師大二附中高一期末）函數(shù)〃x）=s加（8+°）|夜＞0,|同＜^）的最小正

周期為"，若其圖象向左平移「個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（*）的圖象（）

6

A.關(guān)于點后。）對稱B.關(guān)于點信,。）對稱

C.關(guān)于直線》="對稱D.關(guān)于直線x=2對稱

1212

【答案】C

【分析】利用最小正周期為“，求出。的值，根據(jù)平移得出9,然后利用對稱性求解.

【詳解】因為函數(shù)/'（x）=s譏（的+0）的最小正周期為%所以口=2,圖象向左平移g個

單位后得到y(tǒng)=sin（2x+g+e）,由得到的函數(shù)是奇函數(shù)可得。=-。，即/（x）=sin（2x-夕.

令2x-2=k兀得乂=竺+2,k&Z,故A,B均不正確；^-2x---kn+—^x--+—,

32632212

k&Z,Z=O時可得C正確.故選C.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì).平移變換時注意平移方向和⑷對解析式的

影響，性質(zhì)求解一般利用整體換元意識來處理.

TT

10.（2019?上海市北虹高級中學(xué)高一期末）要得到函數(shù)y=2sin（2x+：）的圖像，只需將函

數(shù)y=2sin2x的圖像（）

A.向左平移丁個單位B.向右平移7個單位

66

C.向左平移自個單位D.向右平移專個單位

【答案】C

【分析】由二角函數(shù)的平移變換求解即可

【詳解】函數(shù)y=2sin2x的圖像向右平移看個單位得y=2sin2+菅=2sin2x

故選：C

【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，熟記變換規(guī)律是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

11.（2019?上海高一期末）“a=2萬"是‘'函數(shù)y=cosx的圖像關(guān)于直線x=a對稱”的

條件（）

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又非必要

【答案】A

【分析】根據(jù)充分必要條件的判定，即可得出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)。=2萬時，x=2乃是函數(shù)y=8sx的對稱軸，所以“。=2%”是"函數(shù)y=cosx

的圖像關(guān)于直線x="對稱”的充分條件，

當(dāng)函數(shù)V=cosx的圖像關(guān)于直線x=a對稱時，*=4=后乃,后€2,推不出。=2乃，

所以“a=2?！笔恰昂瘮?shù)y=8sx的圖像關(guān)于直線x=a對稱”的不必要條件，

綜上選A.

【點睛】本題主要考查了充分條件、必要條件，余弦函數(shù)的對稱軸，屬于中檔題.

12.（2019?上海市控江中學(xué)高一期末）已知夕是常數(shù)，如果函數(shù)y=-5COS（2X+Q）的圖像

關(guān)于點（年中心對稱，那么例的最小值為

【答案】C

【分析】將（點47r0）1的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得出2*苓4萬+夕=1TT+女亓（左€2）,求出。

的表達(dá)式，可得出時的最小值.

一5cos（2x9+e）=0,

47r7T13

2x---卜（p=—?卜k兀（kwZ）,則夕=左左----4（ZeZ）,

326

因此，當(dāng)上=2時，|d取得最小值看，故選C.

【點睛】本題考查余弦函數(shù)的對稱性，考查初相絕對值的最小值，解題時要結(jié)合題中條件求

出初相的表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式進(jìn)行計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

13.(2019?上海市金山中學(xué)高一期末)設(shè)函數(shù)y=sin2x(xwR)的圖象分別向左平移加切>0)

個單位，向右平移〃(〃>0>個單位，所得到的兩個圖象都與函數(shù)y=sin(2x+7mT)的圖象重合

6

/W+〃的最小值為()

.2兀,5萬萬c4萬

A.——B.—C.乃D.——

363

【答案】C

【分析】求出函數(shù)y=sin2x(xeR)的圖象分別向左平移機("?>0)個單位，向右平移n(n>0)個

71

單位后的函數(shù)解析式，再根據(jù)其圖象與函數(shù)y=sin(2x+E)的圖象重合，可分別得關(guān)于機，n

的方程，解之即可.

【詳解】解：將函數(shù)y=sin2x(xeR)的圖象向左平移機(加>0)個單位，得函數(shù)

y=sin2(x+6)=sin(2x+2m),

?/其圖象與y=sin(2x+-)的圖象重合，

6

JIJIJI

sin(2x+2m)=sin(2x+—),/.2m=--\-2k7r,kez,故m=—+左"，kez,eZ),

6612

當(dāng)女=0時，加取得最小值為強.

將函數(shù)y=sin2x(x￡R)的圖象向右平移〃5>0)個單位，得到函數(shù)

y=sin2(x-h)=sin(2x-2n),

jr

???其圖象與y=sin(2x+:)的圖象重合，

6

71jl

sin(2x-2/i)=sin(2x+—),/.-2n=—+2k7i,kez、

jr1177

故〃=-----ki,kwz,當(dāng)左=一1時，〃取得最小值為----，

的最小值為萬,

故答案為：C.

【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式，函數(shù)y=Asin(0x+e)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2019?上海交大附中高一期末)下列四個函數(shù)中，與函數(shù)/(x)=tanx完全相同的是

2tan—1

71

A.y=----------B.y=------

2X

1[—fotra.n—COtX

2

sin2x1-cos2x

C.y=------------D.y=------------

1+cos2xsin2x

【答案】C

【分析】先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過化簡判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與

“X)相同的函數(shù).

【詳解】/(力的定義域為卜|XH版?+

X「X7T.j_

2tan—tan一w±1-W±---FK7T,攵￡Z

224

A.y=----------,因為＜,所以《

2X.711rX冗、)

1-tan—一手kn+一,kGZ—*H----，攵￡Z

2122122

定義域為{x|x*2版■土/或+乃次eZ},與/(x)=tanx定義域不相同;

■冗jr

B.y=」一，因為《cosxwOk7r+—,keZ

sine?！?/p>

cotx

xwk冗,keZ

所以定義域為卜|xr與，婕z},與〃x)=tanx定義域不相同;

sin2x

C.y=-,---因---為---1--+COS2XK0，所以定義域為+■，4ez1,

?1+cos2x

又因為y=/山2；=2*x*=tanx,所以與=tanx相同;

1+cos2x2cosx

l-cos2x,因為sin2x/0,所以2xwQr,?eZ,定義域為，x|XHg?，攵eZ,,

D.y=------------

sin2x

與〃x)=tanx定義域不相同.

故選：C.

【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時，首先判斷

定義域是否相同，定義域相同時再去判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡），結(jié)合定義域與對

應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).

（2k+\兀、

15.（2019?上海華師大二附中高一期末）已知函數(shù)y=5cos|---7TX--（其中AeN）,

對任意實數(shù)a,在區(qū)間上要使函數(shù)值+出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，則碓為

（）

A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7

【答案】A

【分析】根據(jù)題意先表示出函數(shù)的周期，然后根據(jù)函數(shù)值義出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8

次，得到周期的范圍，從而得到關(guān)于人的不等式，從而得到上的范圍，結(jié)合AwN,得到答案.

f2k+1萬、

【詳解】函數(shù)y=5cos|'~FX—二:,

T_2萬6

所以可得=2k+\=2Z:+1.

--------7t

3

因為在區(qū)間［a,a+3］上，函數(shù)值:出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次,

”，5=（2k+\萬］,1（2Z+1

所叼=5叫二-g—汁町=c叫丁…旬

即y=cos（失1■…高與）=；的圖像在區(qū)間［a,4+3］上的交點個數(shù)大于等于4,小于等

于8,

而＞=8$（空l/rx-g］與＞的圖像在一個周期下內(nèi)有2個,

6

2x-------43cr

2T43H

所以《，即《2t，解得［4左4:,

4T>322

4x—3

2k+\

又因％eN,所以得％=2或者女=3,故選：A.

【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)周期性求參數(shù)的值，函數(shù)與方程，屬于中

檔題.

16.（2018?上海市楊浦高級中學(xué)高一期末）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在（0,%）上遞增

的函數(shù)的個數(shù)是（）.

①丁以呵?、谑琟^一力；③y=sin[x-2J；④y=cos2x向右平移;后得到的函數(shù).

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】將①②③④中的函數(shù)解析式化簡，分析各函數(shù)的奇偶性及其在區(qū)間（0,萬）卜.的單調(diào)

性，可得出結(jié)論.

【詳解】對于①中的函數(shù)丁=1血國，該函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)0<x<兀時，y=tanx,該函數(shù)在

區(qū)間（0,萬）上不單調(diào)；

對于②中的函數(shù)丁=以）S（-x）=cosx,該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,4）上單調(diào)遞減；

對于③中的函數(shù)了=4111%—、）=—cosx,該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增；

7T

對于④'將函數(shù)y=cos2”向右平移了后得到的函數(shù)為

y=cos=cosHjc-y1=sin2x,該函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)Ovxvit時，0<2犬<2萬,

則函數(shù)y=sin2x在區(qū)間（0,萬）上不單調(diào).

故選:B.

【點睛】本題考查三角函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，同時也考查了三角函數(shù)的相位變換，熟

悉正弦、余弦和正切函數(shù)的基本性質(zhì)是判斷的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.

cof"6e+2

17.（2016?上海中學(xué)高一期末）已知也一士=1,那么(sin6+2)2(cos6+l)的值為

sinO+1

A.9B.8C.12D.不確定

【答案】A

【分析】首先將已知等式變形化簡得到Sin6=l+cot20i6,利用正弦函數(shù)的有界限得

cose=0,sine=l,可求得結(jié)果.

2016

【詳解】將c竺ot一—(9+2=1,變形得sin6+l=cot236e+2,

sinO+1

整理得sin6=1+cot20166><1，即cot?.ewo,

又?.Wezo，

所以的2。16。=0,所以cos6=0,sine=l,

所以（sin0+2）2（COS6+1）=（1+2>=9.故選:A.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，關(guān)鍵是由已知結(jié)合正弦函數(shù)的有界性得到sinx的

值，考查學(xué)生的理解能力，是中檔題.

18.(2018?上海高一期末)用A和B分別表示函數(shù)y=gsinx-l的最大值和最小值，則A+B=

224

A.-B.一一C.——D.-2

333

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出A+B的值.

1II412

【詳解】啜ifeinx1—領(lǐng)J—sinx——轟!J-sinx—1—

333333

124

二函數(shù)y=,sinx-1的最大值為-三，最小值為一工

2?4

則A=—,A+B=------=—2,故選：D

333

【點睛】本題主要考查了求含正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題.

19.(2020?上海高一期末)對于函數(shù)/(x)=sin(2x+J下列命題：

①函數(shù)/(x)=sin(2x+?］對任意x都有/(看+%)=/(t■-x).

②函數(shù)/(x)=sin(2x+看)圖像關(guān)于點卜寸稱.

③函數(shù)/(x)=sin(2x+f圖像可看作是把廣如2犬的圖像向右平移展個單位而得到.

④函數(shù)/(x)=sin(2x+?)圖像可看作是把少小+■的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到

原來的g倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.

其中正確命題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)的平移，伸縮變換和三角函數(shù)的對稱性依次判斷即可得到答案.

【詳解】對①，因為/(x)=sin(2x+.),/仁卜1吟=1,

所以x=^■為函數(shù)/(x)=sin(2x+3的對稱軸，

即對任意x都有了隹+x?一工)，故①正確.

."5?

對②，=sin2x--1——|=sin萬=0,

fI126

所以為函數(shù)/(x)=sin(2x+?的對稱中心，故②正確;

對③，y=sin2x的圖像向右平移著個單位得到

71=sin(2x-今卜/(x),故③錯誤;

y=sin2x

n

對④，y=sin(x+^J的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的11倍(縱坐標(biāo)不變)，

2

得至=sin2x+^U/(x),故④正確.

故選：C

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移和伸縮變換，同時考查了三角函數(shù)的對稱性，屬于中

檔題.

20.(2020?上海市行知中學(xué)高一期末)函數(shù)的反函數(shù)廣(x)=garcsinx+arctanx,

則/(x)的定義域為()

34343乃3萬71幾

A.(一況1)B.C.D.

【答案】D

【分析】求得函數(shù)y=/T(x)的值域，由此可得出函數(shù)y=/(x)的定義域.

【詳解】對于函數(shù)/T(x)=garcsinx+arctanx,該函數(shù)的定義域為［T』］,

由于函數(shù)y=廣1(力在［-1』上單調(diào)遞增，則廣】(T)W/T(X)W),

且廣'(-1)=^arcsin(-l)+arctan(-1)=34n_n

~4~~2

27

-\/-\1.1\TC717t

fr(1)=—arcsinl+arctanA1=—x—+—=—,所以，

v722242

jrjr

因此，函數(shù)y=/(x)的定義域為一5,］.故選：D.

【點睛】本題考查利用反三角函數(shù)的值域求原函數(shù)的定義域，考查計算能力，屬于中等題.

21.（2020?上海市行知中學(xué)高一期末）在MBC中，NANB,NC的對邊分別記為a,b,c（b^l）,

且C,嗎都是方程log6x=bgb（4x—4）的根，則AABC（）

AsinAv

A.是等腰三角形，但不是直角三角形

B.是直角三角形，但不是等腰三角形

C.是等腰直角三角形

D.不是等腰三角形，也不是直角三角形

【答案】B

【詳解】log新工=1。8〃（4工一4）變形為

f=4x-4x=2;￡==2C=2A,

AsinA

sin8=2sinA/.b=2。，

sinC=sin2A=2sinAcosAc=2〃x"+’———:.c=y/3a/.a2+c2=h2

2bc

三角形為直角三角形

22.（2019?上海）在八鉆。中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,如果衛(wèi)=吧4,

b~tanB

則/MBC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形

【答案】C

【分析】結(jié)合正弦定理和二角恒等變換及二角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可求得結(jié)果

sinA

【詳解】利用正弦定理得一TG=單嚕，化筒得sinAcosA=sinBcos3,

sin2Bsm8

cosB

11Ji

即一sin2A=-sin2B,則2A=23或2A+25=萬，解得A=B或A+B=-

222

故△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C

【點睛】本題考查根據(jù)正弦定理和三角恒等變化，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值，屬于中檔

題

23.（2019?上海市實驗學(xué)校高一期末）函數(shù)y=2sinx+cosx,當(dāng)工=。時函數(shù)取得最大值,

則COS0=（）

A.亞25/2

B.苧rD

53-1

【答案】A

【分析】根據(jù)三角恒等變換的公式化簡得y=Wsin（x+6）,其中cos6=竿,sin6=乎,

TT

再根據(jù)題意，得至ijsin（。+6）=1,求得夕=5—e+2hr?eZ,結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)三角恒等變換的公式，可得y=2sinx+cosx=J^sin（x+9）,

其中cos6=a^,sin6=，

55

因為當(dāng)x時函數(shù)取得最大值，即石sin（*+6）=逐，即sin（0+6）=l,

TTTT

可得9+。=萬+2左萬，左eZ,即<p=--0+2k7r,keZ,

所以cose=cos（5-6+2女萬）=cos（y-^）=sinO=^-.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式的化簡求值，其中解答中熟記

三角恒等變換的公式，合理利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2019?上海市實驗學(xué)校高一期末）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公

元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，其中《方田》一章中記載了計算

弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗公式：弧田面積=；（弦x

矢+矢x矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按

照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現(xiàn)有圓心角為?，弦長為

406米的弧田，其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為（）平

C.18D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出扇形的面積與三角形的面積，計算弓形的面積,

再利用弧長公式計算弧山的面積，求兩者的差即可.

【詳解】如圖所示，扇形的半徑為r=,x406+sine=40,

23

所以扇形的面積為也x4（）2=幽工，

233

又三角形的面積為』xsin如x4（尸=40（）6,

23

所以弧田的面積為”更生一400石a幽生一400x1.73=908（機2）,

33

7T

又圓心到弦的距離等于40xcos—=20,所示矢長為40-20=20,

3

按照上述弧田的面積經(jīng)驗計算可得;（弦x矢+矢2）=gx（406x20+2（）2）=8920n2）,

所以兩者的差為908-892=16（“。.

故選：8.

【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用，以及我國古典數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題，

其中解答中認(rèn)真審題，合理利用扇形弧長和面積公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問

題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

n冗

25.（2020?上海高一期末）已知數(shù)列%=〃與也5-,則4+4+〃3+L+q（）o=（）

A.-48B.-50C.-52D.-49

【答案】B

【分析】通過計算前幾項可知4,T+%L2+%-+%〃=-2,進(jìn)而計算可得結(jié)論.

njr

【詳解】解：???4=〃-sin竺，

2

—sin—=1,4=2?sin——0,q=3?sin———3,—4,sin——0T4=5?sin——5,

。6=0，%=—7,々8=0，

二4〃-3,（〃￡N）

a4ft_3=（4〃-3）sin---------=（4〃-3）sin

a4n-2=（4"2）sin=（4〃-2）sin（2〃4-;r）=0,￡N*

2〃4---=-4n+l,71GN*

2

a4n=4nsin---=4nsin2n^-=0,(nG

?'?q”-3+a4n-2+a4n-\+atn~-，

a}+/+43+...+al(?=-2x25=-50,

故選：B.

【點睛】本題考查數(shù)列的通項及前〃項和，找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積

累，屬于中檔題.

26.(2020?上海交大附中高一期末)設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點，滿足

204+JOB+3OC=0，則AABC的面積與&BOC的面積的比值為

8]2

A.6B.-C.—D.4

37

【答案】A

【分析】作西5=2西，OB'^WB^OC^3OC＞由已知可得。是AA'5'C'的重心，由重

心性質(zhì)可得所求面積比.

【詳解】作聲=2礪，OB'=WB^OC=3OC＞如圖，：2礪+7礪+3反=6，O

=

是A4'5'C'的重心,則SdoKB，~S△OBC?設(shè)S^OAB=S^OBC=^^OC'A'=t，

設(shè)S?)AB=羽S4OAC=、，S&OBC=Z,

???麗=2礪，麗=伽，第=3反，

-OA'-OB'sinZA'OB'

S/\OAE

2j-----------------=14,即工=—t,同理y=—z=—t

S?)AB-0A-OBsinZAOB14621

2

S3c=?y+z=L+^+，f=9

△A8CJ1462121

g,

.S^ABC=21一6

S*)BC-f

21

故選：A.

A'

【點睛】本題考查三角形面積的計算，考查向量的加法與數(shù)乘法則，體現(xiàn)了向量在解決平面

圖形問題中的優(yōu)越性.

TFTT

27.(2020?上海市實驗學(xué)校高一期末)將函數(shù)y=sin(2x-§)圖象上的點P(i，/)向左平移

s(s>0)個單位長度得到點尸‘，若P'位于函數(shù)^=$皿2X的圖象上，則()

1R+2

A.t——,S的最小值為JD.t----，S的最小值為J

2O2O

TTTT

C.t——,S的最小值為工D.t=—,S的最小值為2

2323

【答案】A

TTTTI

【詳解】由題意得，Z=sin(2x---)=-,

432

可哪-8,|)1

因為尸'位于函數(shù)y=sin2x的圖象上

可得2s=W+2k7r，$=4+上萬

7T

s的最小值為----故選A.

6

【名師點睛】三角函數(shù)圖象的變換，有兩種選擇：?是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮.特

別注意：①平移變換時，當(dāng)自變量X的系數(shù)不為1時，要將系數(shù)先提出；②翻折變換要注意翻

折的方向；③三角函數(shù)名不同的圖象變換問題，應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進(jìn)行變換.

JQ~+%+]x20

28.(2019?上海市實驗學(xué)校高一期末)已知函數(shù)/(x)=<-，若

2x+lx<0

f(sina+sin+sin360-1)=-1,/(cosa+cos尸+cos36°+1)=3,則cos(a-0=()

11

A.—B.2C.---D.—2

22

【答案】C

【分析】由函數(shù)f(x)的解析式，求得/(—1)=-1,/⑴=3,進(jìn)而得到sine+si“=-sin36。,

cosa+cos/7=-cos36°,結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

13

X~+X+1x>0(x+—)02+—x>0

【詳解】由題意，函數(shù)/（幻=24

2x4-1x<0

2x+lx<0

令〃x)=—1,即2x+l=—l,即x=—1,所以/(—1)=—1,

令/(x)=3,即V+x+l=3,即無=1,所以/(1)=3,

又因為/(sina+sin尸+sin360-1)=-1,/(cosa+cos(3+cos360+1)=3,

即/(sina+sin/?+sin360-1)=/(—I),/(cosa+cos(3+cos36°+1)=/(I),

所以sina+sin/?+sin36°—1=-l,8sa+cos分+cos36°+l=1,

即sina+sinp=-sin36°,cosa+cosf3--cos36°,

平方可得sin2a+sin2/?+2sinasinp=sin236°,cos2a+cos2p+2cosacosp=cos236°,

兩式相加可得2+2(cosacos/?+sincrsin/?)=2+2cos(a-/?)=1,

所以cos（a-7?）=

故選：a

【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，以及函數(shù)

的解析式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換的公式進(jìn)行運算是解答的關(guān)鍵，

著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

29.（2020?上海市建平中學(xué)高一期末）已知函數(shù)/（九）=6sinGx+cos5（G>0）在［0,司

上由兩個零點，則①的取值范圍為（

5g

D..3'3)

【答案】B

717T

【分析】先化簡/(x)=Ksinox+COS0X=2Gsin6t)x+.—再令1=但+^,求Ll"范圍,

I66

7TTT

根據(jù)y=2sin/在，以力，5r+工］上有兩個零點，作圖分析，求得。的取值范圍.

66

71

【詳解】f(x)=百sintux+COS69X=2sin\cox+—,由又力>o,

6

TTTTJT

則可令f=?yx+—e[—,a)7V+—],

666

故選：B.

【點睛】本題考查了輔助角公式，換元法的運用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題

30.（2019?上海市徐匯中學(xué)高一期末）關(guān)于x的方程Y+4x+m=0（me/?）的兩虛根為

a、B,且|。一0=2,則實數(shù)，〃的值是.

【答案】5

【分析】關(guān)于x方程/+4工+〃?=0兩數(shù)根為a與尸，由根與系數(shù)的關(guān)系得：。+/=-4,

ah=m,由|a-￡|=2及a與夕互為共挽復(fù)數(shù)可得答案.

【詳解】解：Qa與夕是方程*2+4》+團=0的兩根

由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+￡=-4,ab=m,

-4+4m-16i°T-d4m-I6i

由a與〃為虛數(shù)根得:，p-

2------------------2

則|a-/?|=|J4w-16i|=2,

解得根=5,經(jīng)驗證/<0,符合要求，

故答案為：5.

【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用.求解是要注意。與《為虛數(shù)根情形，否則漏解，

屬于基礎(chǔ)題.

31.（2019?上海曹楊二中高一期末）已知AA8C是邊長為2的等邊三角形，。為6C邊上

（含端點）的動點，則而?配的取值范圍是.

【答案】[-2,2]

【分析】取的中點。為坐標(biāo)原點，BC、Q4所在直線分別為x軸、＞軸建立平面直角坐

標(biāo)系，設(shè)點。的坐標(biāo)為（蒼0）,其中-IWXWI,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算將而.配轉(zhuǎn)化為有

關(guān)x的一次函數(shù)的值域問題，可得出通?配的取值范圍.

【詳解】

如下圖所示：

取5c的中點。為坐標(biāo)原點，BC、04所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則點A（0,6）、8（—1,0）、C（l,0）,設(shè)點O（x,0）,其中一IWXWI,

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