古典概型中幾種常用解題方法

古典概型中幾種常用解題方法華德銀沐陽如東中學“古典概型”在概率論中有很重要的地位，一方面，因為它比較簡單，許多概念既直觀又容易理解，另一方面，它又概括了許多實際問題，有很廣泛的應用。近幾年在高考中每年都會考察一個填空題1、 古典概型的定義判斷一個試驗是否是古典概型，在于該試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性，所有的基本事件只有有限個，即在一次試驗中，可能出現的結果只有有限個等可能性，每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.2、 古典概型的計算公式， ,…… ，,人 1 ， _A如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是一.如果某個事件n，.一，….一， .一， mA包含了其中m個等可能基本事件，那么事件入發(fā)生的概率為P(A)二一.n3、 解決古典概型的常用方法根據古典概型的計算公式，求事件入發(fā)生的概率，關鍵是求出基本事件的總數以及事件入所含的基本事件個數。為此，弄清隨機試驗的全部基本事件是什么以及所討論的事伯包含了哪些基本事件是非常重要的。下面根據實驗的步驟數總結古典概型解題方法.(1)枚舉法對于一步實驗，或雖多步實驗但基本事件總數較少時我們都可以通過枚舉的方法把所有的基本事件全部列舉出來，然后在其中找到所求事件入含有的基本事件,在根據公式求出事件A的概率.例1(2012江蘇卷,T6)現有10個數，它們能構成一個以1為首項，-3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是 .分析:本題為一步實驗，故可以直接枚舉出所有基本事件.解：這10個數為1，-3,9,-27,81，-25，26，-如，28，-29，故基本事件的總數為10個，“小于8”6 3所含的基本事件的個數為6,故所求事件的概率為布=5。例2.(2010山東卷T19)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2,3,4.從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m+2的概率.分析：本題第(1)問是一步實驗直接枚舉就可以了，第二(2)雖是兩步步實驗但基本事件較少故仍然可以通過枚舉法來求概率，當然也可以用后面介紹的列表法來處理.解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有(1,2)，(1,3)兩個.因此所求事件的概率P=-=-.63(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果(m,n)有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16個，TOC\o"1-5"\h\z，一 3 ,,一 - 3 13又滿足m+2<〃的事件的概率為P=一.故滿足n<m+2的事件的概率為1-P=1 =-116 1 1616(2)列表法當實驗是兩步實驗,而且每一步的結果較少時也可以用枚舉法，但當每一步的實驗結果較多時，列表法就比較有優(yōu)勢了例3:同桌兩人玩游戲擲骰子游戲，每人擲一次骰子并計算兩次點數之和的奇偶性來決定勝負，甲選定奇數，乙選定偶數，這個游戲規(guī)則對雙方是否公平？分析：本題為兩步實驗，但每一步有6種選擇，故基本事件較多，此時可以利用列表法來列舉各個基本事件.解：所有可能的情況如下表：7一、第一個骰子第二個骰子-一一*-~12345612345672345678345678945678975678910116789101112181 181通過表格可以得到“和為偶數”的概率為漆=-，“和為奇數”的概率為瑚=S，因此這個游戲規(guī)362 362則對雙方是公平的.變題：如果游戲規(guī)則該為：和為3的倍數甲勝，和為4的倍數乙勝，哪一個人勝的機會大？為什么？答案：和為3的倍數的概率=1，和為4的倍數的概率=1所以甲獲勝的可能性大.34例4某市長途客運站每天6：30-7：30開往某縣的三輛班車，票價相同，但車的舒適程度不同.小張和小王因事需在這一時段乘車去該縣，但不知道三輛車開來的順序.兩人采用不同的乘車方案：小張決定無論如何乘坐開來的第一輛車，而小王則是先觀察后上車，當第一輛車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況.若第二輛車的狀況比第一輛車好，他就上第二輛車；若第二輛車不如第一輛車，他就上第三輛車.若按這三輛車的舒適程度分為優(yōu)、中、差三等，請你思考并回答下列問題：三輛車按出現的先后順序共有哪幾種可能？請列表分析哪種方案乘坐優(yōu)等車的可能性大？為什么？解：(1)三輛車按開來的先后順序為：優(yōu)、中、差；優(yōu)、差、中；中、優(yōu)、差；中、差、優(yōu)；差、優(yōu)、中;差、中、優(yōu)，共6種可能.(2)根據三輛車開來的先后順序，小張和小王乘車所有可能的情況如下表:順序N 優(yōu)，中，差優(yōu)，差，中中，優(yōu)，差中，差，優(yōu)差，優(yōu)，中差，中，優(yōu)小張、優(yōu)優(yōu)中中差差小王、差中優(yōu)優(yōu)優(yōu)中由表格可知：小張乘坐優(yōu)等車的概率是1，而小王乘坐優(yōu)等車的概率是1.所以小王的乘車方案乘坐優(yōu)等車的可能性大.通過列表的方法可以使得兩步實驗的基本事件能清晰的展示，再求概率就比較容易了.樹形圖法

當實驗是三步實驗,甚至是更多步實驗時，枚舉和列表法就不是太好用了，此時樹形圖可以讓基本事件清晰地展示出來.例5若同時拋三枚硬幣，則出現“一正兩反”的概率為.分析：本題是三步實驗但基本事件較少故仍然可以通過枚舉法來求概率.但是怎樣保證枚舉時不重不漏呢?樹形圖可以幫助我們做到這一點.反反解：本次試驗的基本事件可以用樹形圖表示如下反反第一次第二次第三次即拋三枚硬幣出現的結果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）共有8個基本事件，其中“一正兩反”包含的結果有：（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）共3個基本事件，故所求概率為3.8例6口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一球，試計算第二個人摸到白球的概率.分析:本題是四步實驗，可以用樹形圖來表示所有基本事件.解用A表示事件“第二個人摸到白球”.記2個白球編號分別為1,2；2個黑球編號分別為3,4.于是4個人按順序依次摸球，從袋中摸出一球的所有可能結果用樹狀圖直觀地表示出來（如圖所示）從樹狀圖可以看出，試驗的所有可能結果數為24.由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，因此這24種結果的出現是等可能的，此試驗屬于古典概型.在這24等可能的，此試驗屬于古典概型.在這24種結果中，第二個人摸到白球的結果有12種，因此“第二個人121摸到白球”的概率P(A)=^=?.242四、總結以上舉的幾個例子，總結了古典概型的概率求解方法。值得注意的是：在分析問題時必須確定所研究的試驗是幾步試驗,基本事件個