在萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

本科畢業(yè)論文題目:在萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題完成人姓名：主修專業(yè)： 物理學(xué)教育所在院（系）： 物理系入學(xué)年度： 2006年完成日期：指導(dǎo)教師： 在萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題物理系摘要：質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)是經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題，在萬(wàn)有引力作用下行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)也是衛(wèi)星受地球萬(wàn)有引力作用繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)。這樣萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題就顯得尤為重要。本文主要是根據(jù)萬(wàn)有引力的知識(shí)解決地球衛(wèi)星的速度，變軌等問(wèn)題。通過(guò)導(dǎo)出的極坐標(biāo)系下物體在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)行的軌道方程，對(duì)人造地球衛(wèi)星的軌道轉(zhuǎn)換進(jìn)行了定性的分析與探討。本文從整體上分為兩大部分，第一部分首先給出有心力即萬(wàn)有引力的定義基本特征，研究萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，得出行星橢圓軌道的運(yùn)動(dòng)方程及速度。第二部分從基本知識(shí)和方程入手重點(diǎn)研究宇宙速度和宇宙航行。使得概念和物理量的物理意義更加直觀。關(guān)鍵詞：有心力；萬(wàn)有引力；行星的速度；橢圓軌道；宇宙速度UndertheactionofgravityparticlemotionproblemsGuohaoDepartmentofPhysics,BohaiUniversityAbstract:Undertheactionofgravityparticleinsportsisanimportantproblemofclassicalmechanicsongravitation,undertheplanetsrevolvearoundthesun,sunforellipticmovementisafocusoftheellipse.SatelliteisbyearthsatelliteorbitedtheearthgravityACTSasellipticalmovement.Soundertheactionofgravityparticlemotionproblemsappearparticularlyimportant.Thispaperismainlybasedontheknowledgeofgravityearthsatellitestosolveproblemssuchasthespeed,theorbitchanges.Throughthepolarcoordinateobjectsinundergravity'sorbitsatellites,theequationoftherailtransitionqualitativeanalysisanddiscussion.Basedonthewhole,thefirstpartaredividedintotwomostfirsthaveheartnamelydefinitionofgravitycharacteristics,researchundertheactionofgravityparticlemovement,ellipticalorbitofplanetarymotionequationandspeed.Thesecondpartoftheuniversefromthebasicfocusspeedandcosmicvoyage.Makephysicalconceptandthephysicalmeaningmoreintuitive.Keywords:Centralforce;Gravitation;Thespeedoftheplanet;Ellipticalorbit;CosmicvelocityTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"一、 行星運(yùn)動(dòng)及kepler定律 1\o"CurrentDocument"二、 有心力和有心運(yùn)動(dòng) 2（一） 基本特性 2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒 2有心運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng) 3有心運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒 3（二） 運(yùn)動(dòng)方程 3（三） 軌道微分方程 5\o"CurrentDocument"三、 萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 6（一） 軌道方程 6（二） 行星的橢圓軌道運(yùn)動(dòng) 7軌道方程 7行星橢圓軌道方程的長(zhǎng)短半軸 9行星速度 11行星法向和切向加速度 11行星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的曲率半徑 12\o"CurrentDocument"四、 宇宙速度和宇宙航行 12（一） 人造地球衛(wèi)星在軌運(yùn)行的軌道方程 12（二） 宇宙速度 15（三） 衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn) 16結(jié)論 18參考文獻(xiàn) 19萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)引言經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展是與對(duì)天體運(yùn)行的觀察和研究分不開(kāi)的［1。行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)屬于所謂“有心運(yùn)動(dòng)”一類的運(yùn)動(dòng)。人造地球衛(wèi)星變軌問(wèn)題，由于其所涉及的相關(guān)知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)，在物理教材中只是一帶而過(guò)，使許多學(xué)生對(duì)衛(wèi)星在軌運(yùn)行速率發(fā)生變化時(shí)衛(wèi)星的軌道隨之發(fā)生變化的規(guī)律感到困惑不解，總認(rèn)為衛(wèi)星在軌運(yùn)行速率V理，軌道半徑越大，衛(wèi)星速率越小，而使衛(wèi)星的速度增加，衛(wèi)星\r卻遠(yuǎn)離地球,作為物理教師有必要對(duì)此問(wèn)題分析與探討，本文將對(duì)行星的橢圓軌道方程和衛(wèi)星變軌問(wèn)題做進(jìn)一步的分析和解決，有助于拓寬學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，解決問(wèn)題。一、行星運(yùn)動(dòng)及kepler定律日、月、星辰東升西落的天文現(xiàn)象，人類對(duì)其認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的道路。十六世紀(jì)前的“地心說(shuō)”被教會(huì)用來(lái)作為“上帝造物”的依據(jù)，束縛著人類的思想。波蘭天文學(xué)家哥白尼經(jīng)過(guò)四十年的天文觀測(cè)和研究，提出了“日心說(shuō)”。德國(guó)天文學(xué)家kepler在總結(jié)前人對(duì)天體運(yùn)行位置測(cè)量的資料后，在1609-1619年先后提出了“行星運(yùn)行三定律"（kpler定律）。Newton在總結(jié)前人的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，特別是伽利略“自由落體”定律的基礎(chǔ)上，提出了動(dòng)力學(xué)三定律(Newton定律)，并于1686年提出了“萬(wàn)有引力定律”⑵。二、有心力和有心運(yùn)動(dòng)基本特性取力心為慣性系坐標(biāo)的原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)受到的有心力可按定義寫為—?-rF=F(r)-=F(r)—rr其中，—=r弓是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量。由此可以立即知道有心力對(duì)于力心的力矩為零。因?yàn)橛行牧Φ姆较蚩偸峭ㄟ^(guò)力心，有心力對(duì)力心(坐標(biāo)原點(diǎn))的力矩為M=rxF=rF(r)exe=0其次，有心力是保守力。這是因?yàn)橛行牧χ痪哂袕绞阜较虻姆至?，因而質(zhì)點(diǎn)由P1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn)時(shí)有心力作的功是PrW-j1F(r)edr-fF(r)drr「2 r2這個(gè)積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)離開(kāi)力心的距離尸1和r2有關(guān)，顯然與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。這就證明了有心力是保守力［3。根據(jù)有心力的特點(diǎn)，立即可以推得質(zhì)點(diǎn)有心運(yùn)動(dòng)的一些基本特性。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)受到的有心力對(duì)于力心的力矩為零，由動(dòng)量矩定理立即可知，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)力心（坐標(biāo)原點(diǎn)）的動(dòng)量矩守恒，即L=rxmv=L0=恒矢量有心運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)由于角動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)的位矢r及速度矢量v都垂直，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量卻是一恒量矢量，因而質(zhì)點(diǎn)的位矢和速度都只能在與角動(dòng)量L=（=L0）垂直的平面內(nèi)。質(zhì)點(diǎn)的有心運(yùn)動(dòng)只能是平面，有心運(yùn)動(dòng)的軌道曲線是平面曲線。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面，是由質(zhì)點(diǎn)的初始位矢和初始速度矢量所決定的。有心運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒作用于質(zhì)點(diǎn)的有心力是保守力，質(zhì)點(diǎn)具有勢(shì)能：V（r）=-rF（r）dr+V（r）0r0質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能守恒：E=T+V=1mv2+V二常量2（二）運(yùn)動(dòng)方程前面討論了有心力和質(zhì)點(diǎn)有心運(yùn)動(dòng)的一些特點(diǎn)，對(duì)求解有心運(yùn)動(dòng)問(wèn)題提供了有利的幫助。質(zhì)點(diǎn)有心運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的求解采用平面極坐標(biāo)系是最為適宜的。取運(yùn)動(dòng)平面為極坐標(biāo)平面，角動(dòng)量則與極坐標(biāo)平面垂百，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為m(r—r02)=F=F(r)rm(Gr+2r0)F=0上面的第二個(gè)方程很容易積分，注意到：書+2書=1位主

rdt因而有dt立即得出第一積分:這里h是積分常數(shù)。這個(gè)積分實(shí)際上就是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒的極坐標(biāo)表示式。由式:—?L=Le=rxmv=mrx(re+rO—9)=mr20—.r29'=L=hm因此，對(duì)于有心運(yùn)動(dòng)，通常是在給定的初始條件下求解下列方程組:F(r)

r—r92= mr29=h除這兩個(gè)方程外，還可利用機(jī)械能守恒方程:

1 .—m(r2+r202)+V(r)—E在上述三個(gè)方程中，只需適當(dāng)選取兩個(gè)方程，便可解得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。軌道微分方程關(guān)于有心運(yùn)動(dòng)，人們感興趣的常常是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道。我們可以通過(guò)求解運(yùn)動(dòng)方程，先得到以時(shí)間t為參量的軌道參量方程r-r(t)，0-0⑺然后消去t得出軌道曲線方程r-r(0).但也可以一開(kāi)始就在運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間參量t得到軌道微分方程，然后求軌道微分方程的解得出軌道曲線方程。r=攵0—hdr—-hd(!)

d0 r2d0 d0r式子中已經(jīng)利用關(guān)系式。再引進(jìn)變換：1u=——?r則有0=hu2dud0r=-dud0r=-h虹0

d02=—h2u2d2ud02代入運(yùn)動(dòng)方程中的第一式，即得到軌道微分方程:d2u,—mh2u2(———+u)=F(u)這個(gè)方程也稱為比內(nèi)公式［4，是二階非線性微分方程。對(duì)此求解可得u=u(0)，從而得到質(zhì)點(diǎn)的軌道方程r=1/u(0)=r(0)。它把質(zhì)點(diǎn)所受的有心力、有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特征(角動(dòng)量守恒)以及r和0為變量的

一個(gè)微分方程之內(nèi)，因而既可以用它由已知軌道r=r(9)求有心力F(r)的具體形式；也可以用它由已知有心力求運(yùn)動(dòng)軌道。尤其在我們已知軌道而希望求力的規(guī)律時(shí)特別有用。式中F(r)的正負(fù)取決于有心力是斥力還是引力：斥力時(shí)為止號(hào)，引力時(shí)為負(fù)號(hào)。三、萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(一)軌道方程萬(wàn)有引力具有如下形式:萬(wàn) k2F=——r2F(u)=—k2u2其中，度是與力的性質(zhì)有關(guān)的常量。為求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道，將此式代入軌道微分方程，可得方程:TOC\o"1-5"\h\zd2u k2=—U+d92 mhd2 k2 k2——(u———)=—(u———)d92 mh2 mh這是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)類型的微分方程，容易得出它的解為u=—=^2+acos(9-9)mh"kTrmhmh"kT1r=+Acos(9-9) 1+型^Acos(9-9)mh 0k2 0其中，A和都是積分常數(shù)，由初始條件確定；h與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩相關(guān)。若令mh2p=~r~k2mh2,e= Ak2則軌道方程可寫為r= 八八1+ecos（0—0°）只需適當(dāng)選取極坐標(biāo)軸（x軸）的方向，在上式中便可以取等號(hào)時(shí)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)有心運(yùn)動(dòng)的軌道極坐標(biāo)方程可寫成Pr= 1+ecos0這是典型的圓錐曲線極坐標(biāo)方程，力心（坐標(biāo)原點(diǎn)）位于圓錐曲線的焦點(diǎn)。式子中e稱為軌道的偏心率［5,p是圓錐曲線正焦弦長(zhǎng)度的一半。橢圓、拋物線和雙曲線都是圓錐曲線，這取決于偏心率e的數(shù)值。（二）行星的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)軌道方程設(shè)橢圓的長(zhǎng)短半軸分別為a和b,橢圓的兩焦點(diǎn)f,F之間的距離為2c,a>c,太陽(yáng)位于焦點(diǎn)f2處,P為橢圓軌道上行星經(jīng)過(guò)的任意一點(diǎn),如圖1所示.按余弦定理可得(2a—r)2=(2c)2+r2—4crcos0因有c2=a2+b2，故可得

1b2,(a2-b2)2——=1 cos0ar a圖11設(shè)2a=也為正焦弦，8=（a2一b2）2為偏心率，則a aa=1-8cos0r（1）如圖2所示。圖2圖2當(dāng)式（1）中0角的初始角為兀時(shí)，式（1）等價(jià)于行星橢圓軌道方程。如圖1所示，按余弦定理可得(2c)2=r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos2^因cos因cos2^=cos2$-1故得橢圓表示式為:人bcos9=. —（2）t'r(2a-r)（2）?、,，bsrnv= —<r(2a-r)

行星橢圓軌道方程的長(zhǎng)短半軸（1）行星橢圓表達(dá)式行星在太陽(yáng)引力場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)，由于引力場(chǎng)是有心力場(chǎng),所以行星運(yùn)動(dòng)遵守角動(dòng)量和能量守恒定律.當(dāng)行星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)行星質(zhì)量為m,它在軌道上任意點(diǎn)速度為v,太陽(yáng)質(zhì)量為M,行星和太陽(yáng)中心之間距離為r,行星太陽(yáng)系統(tǒng)的總能量為E,按能量守恒定律有:（3）（4）式中G為萬(wàn)有引力常數(shù)。對(duì)于行星太陽(yáng)系統(tǒng)，在行星軌道上存在一點(diǎn)P，太陽(yáng)中心和？點(diǎn)的矢徑為rp，該點(diǎn)的行星速度為vp。rp和vp，之間的夾角為Vp，如圖3所示，太陽(yáng)中心和vp，之間的垂直距離為b（在橢圓軌道情況下，b豐rp），這個(gè)b即行星橢圓軌道的短半軸，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律mvrsinmvrsinW_mvrsinW（5）由圖3知b_rsinvPP故可得.vbsmw故可得.vbsmw_-Pvr（6）將式（4）代入（6）可得（7）TOC\o"1-5"\h\z? b（7）sinv_ 一I1T2GM2ErL+后■1-p p」式（7）為行星橢圓軌道表達(dá)式。

將（2）和式（7）相對(duì)照，可得GM =a（8）v2（8）2E

mv2

p故有：（9）「 1GMm（9）E= 2a式（9）為行星太陽(yáng)系統(tǒng)總能量。（2）行星橢圓軌道的長(zhǎng)短半軸[6]由式（9）可得長(zhǎng)半軸a的絕對(duì)值\a\\a\=GMm（10）對(duì)于行星太陽(yáng)系統(tǒng)，遵守角動(dòng)量守恒定律，，從圖3可知角動(dòng)量L=mVpb即短半軸為由式（8）知，，E由式（8）知，，E=-2mvp2b=上mvP故得（11）b=-L=（11）?\：‘2iEim

行星速度行星速度v可從行星太陽(yáng)系統(tǒng)總能量表達(dá)式導(dǎo)出。將式（9）代入1GMm1GMmiD 1GMm1GMmiD — —mv2—co(Sco(S=vr(2a—r)所以法向加速度所以法向加速度（12）v2=GM式（12）為行星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的速度表達(dá)式。行星法向和切向加速度如圖3所示，行星的引力加速度GM在直線PF2上，其方向指向太陽(yáng)中心F，行星的法向加速度a沿角FPF的平分線上。a=GMco曲根據(jù)式（2）有GMbGMb（13）r2^r(2a—r)如圖3所示，切向加速度GM由式（2）可得,'2ar—r2—b22ar—r2所以切向加速度

GM.2ar—r2—b2a= tr2k2ar—r2行星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的曲率半徑[7]如圖3所示，曲率半徑p在FPF的角平分線上，有1 2V2

a=—

np將式（12）和式（13）代入上式，可得曲率半徑（14）（2ar一r2）2

ab（14）由上面的討論可見(jiàn)，在研究有心力場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，采用橢圓表示式處理行星運(yùn)動(dòng)的物理問(wèn)題方法簡(jiǎn)潔，對(duì)深化理解有心力場(chǎng)的物理內(nèi)容也是有益的。宇宙速度和宇宙航行（一）人造地球衛(wèi)星在軌運(yùn)行的軌道方程質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，徑向速度等于零的那些點(diǎn)又稱為拱點(diǎn)。力心與拱點(diǎn)連線稱為拱心線。力心與拱點(diǎn)間的距離稱為拱點(diǎn)力心距，簡(jiǎn)稱拱距⑻。它實(shí)際上確定了運(yùn)動(dòng)的邊界到力心的距離。以地心為極點(diǎn)，在衛(wèi)星地球連線和速度方向所決定的平面內(nèi)建立極坐標(biāo)系，由于衛(wèi)星是在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)，故滿足角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒兩個(gè)規(guī)律，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律有：mr2s=mr2s0 0

其中，，。為發(fā)射時(shí)衛(wèi)星到地心的距離，30為發(fā)射時(shí)繞地球旋轉(zhuǎn)的角速度⑼。用C表示營(yíng)0，則r2?=C （1）取無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，則在任意距離r處的引力勢(shì)能為￡廣彳嘩，衛(wèi)星的機(jī)械能為：（2）（3）1 1-dr Mm（2）（3）E=2m(v2+V92)+E=2m[(3)2+(r?)2]-G（1）、(2)兩式子聯(lián)立，并利用?=dr，便可解得：dr（1）、 GM)2cos(9)2cos(9-9)1+I+——( mGM式中9為積分常數(shù)，將極軸轉(zhuǎn)過(guò)以個(gè)角度，（3）式中9為積分常數(shù)，將極軸轉(zhuǎn)過(guò)以個(gè)角度，（3）式子可寫成（4） GM（4）-I2E,C「"1+〔1+——( )2cos9mGM（4）式就是物體在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)行軌道方程，將（4）式與極坐標(biāo)系的圓錐曲線方程r= P 比較分析軌道方程［1。］:1+ecos9a-當(dāng)e=0時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道為一圓，即(R+H)2v『sin2a-2(R+H)gR2v「sin2a+g2R4=0解此方程有：gR2gR2(R+H)(1土icota)〃即發(fā)射速度為實(shí)數(shù)故cota=0即a=90。，此時(shí)v=對(duì)g，即就是。 0 （R+H）說(shuō)，當(dāng)衛(wèi)星的發(fā)射速度方向與地心到該衛(wèi)星的連線（極徑）方向垂直時(shí)，并且滿足發(fā)射速度是高度的單值函數(shù)［11］即v0=Rlg，此時(shí)衛(wèi)星便繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半徑為（R+H）。梢當(dāng)0〈川時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道為一橢圓，即:^當(dāng)e=1時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線，即:v°=%*土當(dāng)鞏，運(yùn)動(dòng)軌道為雙曲線，即V0〉R\(R+H)根據(jù)b，c，d似乎發(fā)覺(jué)衛(wèi)星作橢圓，拋物線，雙曲線運(yùn)動(dòng)與發(fā)射角無(wú)關(guān)，果真是這樣的嗎？實(shí)際上，這只是一種理想化模型，是假設(shè)地球與衛(wèi)星為質(zhì)點(diǎn)的情況下菜成立的，在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要考慮他們的大小，軌道是不能穿過(guò)地球的，即還有一個(gè)條件：r.>R（這里衛(wèi)星仍被視為質(zhì)點(diǎn)）由于在軌道方程中，我們以地球的中心作為曲線的右焦點(diǎn)處理的，根據(jù)解析幾何知識(shí)，在曲線上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短，故當(dāng)4=0時(shí)有最小的距離r.=ep/(1+e)>R,將ep=h2/k2,e=\A\h2/k2代入此不等式，并解之有:v、R：(H2+HR)2gR (5)o(R+H)\'(R+H)sin2a-R2故發(fā)射速度v與發(fā)射角a必須滿足(4)式才能使衛(wèi)星軌道不穿過(guò)地球.0事實(shí)上由(4)式亦可知，欲使不等式右邊為實(shí)數(shù)，要求|sina，R/(R+H),如果a太小，此不等式便不會(huì)成立，那么軌道便會(huì)過(guò)地球,這是不符合實(shí)際的[12]如果質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是周期性的，則軌道是閉合的。就是說(shuō)，在徑向極限匕詛和r之間往返有限次之后，周而復(fù)始，完全重復(fù)原先的運(yùn)動(dòng)。反之，如果在有限次振蕩之后，軌道不能自行閉合則稱軌道式開(kāi)放的。下面我們?cè)儆懻撘幌陆孛姘l(fā)射問(wèn)題,近地面發(fā)射有H=0,由(4)式可知|sina|，R/(R+H),故只能取等號(hào)，于是有a=90°,當(dāng)H=0a,=90。時(shí)，(4)式右邊根號(hào)下成立了0/0型極限問(wèn)題,根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可求出lim(R*二M；RR2=2，由(4)式得：vo>JgR宇宙速度近地面發(fā)射問(wèn)題只可能是發(fā)射速度與極徑垂直，發(fā)射的最小速度是點(diǎn)R(又稱第一宇宙速度)，此時(shí)衛(wèi)星以最小速度繞地球表面作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)發(fā)射速度達(dá)七疙戒時(shí)(又稱第二宇宙速度)衛(wèi)星以地球心為焦點(diǎn)作拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然再也不可能返回地球，因?yàn)閽佄锞€為非閉合曲線,當(dāng)發(fā)射速度介于荻和、?斯之間時(shí),衛(wèi)星作橢圓運(yùn)動(dòng)，并隨速度的增大橢圓越扁，地球?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，發(fā)射點(diǎn)為近地點(diǎn).當(dāng)衛(wèi)星速度大于t斯而小于第三宇宙速度時(shí)（物體逃離太陽(yáng)系的速度，又稱逃逸速度）它將在地球引力范圍內(nèi)作雙曲線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星脫離地球引力后,將繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)成為太陽(yáng)的一個(gè)行星,如果控制發(fā)射速度和軌道,它也可成為其它行星的衛(wèi)星。（三）衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)由第一宇宙速度可以看出，在軌的人造衛(wèi)星其速度完全由軌道半徑大小決定：與其的平方根成反比一一軌道半徑越小的，其速度越大（貼地球表面飛行，其速度最大，即為第一宇宙速度7.9千米/秒）；軌道半徑越大的，其速度越小。在變軌過(guò)程中，人造衛(wèi)星由低軌道調(diào)整到高軌道，其軌道半徑增加，那么運(yùn)行速度將比原來(lái)的小。將人造地球衛(wèi)星送入預(yù)定軌道已相當(dāng)困難,而將它從一個(gè)軌道精確轉(zhuǎn)移到另一軌道,更是難上加難?，F(xiàn)僅定性說(shuō)明一下如何將衛(wèi)星從圓軌道r轉(zhuǎn)換到圓軌道r2。理解變軌問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)公式V=.巫的正確理解.否則，自然\r就會(huì)產(chǎn)生本文開(kāi)頭所提到的問(wèn)題.真正理解上式，關(guān)鍵在于必須清楚上式成立的前提條件:衛(wèi)星沿半徑為r的圓軌道勻速率運(yùn)行時(shí)，即離地心為r,且徑向速度vr=0,此時(shí)衛(wèi)星所需向心力恰好由萬(wàn)有引力提供,即滿足gM；=mV2^也即：%=停如圖4中幾個(gè)軌道.A:半徑為r的圓;B:半徑為r2的圓;a:表示一類橢圓（圖4中只畫出一個(gè)），近地點(diǎn)離地心為r3，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心為r2；b：表示另一類橢圓，近地點(diǎn)離地心為r，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r>r.欲使衛(wèi)星在1 3 2A軌道上運(yùn)行，必須滿足：（1）將它送至ri處；（2）速率必須是y您；' ‘1（3）速度與地面平行.這就是說(shuō)，僅滿足速率公式，而速度方向不滿足vr=0，則仍不能沿圓軌道A運(yùn)動(dòng).同理，若在r2處給衛(wèi)星一個(gè)速率