高等數(shù)學(xué)-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課教學(xué)要求典型例題1一、教學(xué)要求1.理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)定理.的單調(diào)性和求極值的方法.微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課2

5.會(huì)用洛必達(dá)(L,Hospital)法則求不定式的極限.

6.了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑.

4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性,會(huì)求拐點(diǎn),會(huì)求解最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題.會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平,鉛直和斜漸近線).微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課31.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課42.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)

研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(3)

證明恒等式或不等式(4)

證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論(2)證明方程根的存在性微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課5利用一般解題方法:證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù),可考慮用若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值,3.有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法(1)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有時(shí)也可考慮多考慮用泰勒公式,逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).多用羅爾定理,必須多次應(yīng)用對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理.微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課6(1)

研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率(2)

解決最值問(wèn)題

目標(biāo)函數(shù)的建立

最值的判別問(wèn)題(3)其他應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)變化率;證明不等式;研究方程實(shí)根等.4.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課7二、典型例題在內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)有界.證再取異于的點(diǎn)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用定數(shù)對(duì)任意即證.例取點(diǎn)拉氏定理,微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課)(xf8在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)用羅爾定理,使即有例證分析?微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課0)(2)(=+￠xxxff0)()(2)(2=￠+=￠xxxxxffF9在內(nèi)可導(dǎo),且試證存在使上連續(xù),在例欲證f(x)在[a,b]上用故有即要證證又

f(x)及在[a,b]上用將(1)代入(2),化簡(jiǎn)得故有拉氏定理,柯西定理,(1)(2)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課10例證

介值定理上分別用使得拉氏定理,(1)(2)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課11由(1),有得(1)(2)由(2),有微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課12提示設(shè)路程函數(shù)為起始速度為0,即終止速度為0,即例證一階泰勒公式證明:微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課13(1)(2)

相減微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課14記為所以,微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課15例分析構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)存在問(wèn)題.證設(shè)設(shè)

羅爾定理使得因此必定有微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課16且在上存在,并單調(diào)遞減,證明對(duì)一切有證則所以當(dāng)時(shí),令得即所證不等式成立.設(shè)例設(shè)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課17例解微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課18例證法一用單調(diào)性設(shè)即由證明不等式微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課19可知,即法二用拉格朗日定理設(shè)拉格朗日定理由得即微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課20例判斷方程有幾個(gè)實(shí)根,并指出各個(gè)根所在的區(qū)間.解(1)即設(shè)令得駐點(diǎn)唯一的駐點(diǎn)又所以,是最小值點(diǎn),最小值為微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課21所以,所以,(2)自己證!微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課22例1994年考研數(shù)學(xué)二,9分解設(shè)又且且其圖形必與x軸有一個(gè)交點(diǎn).所以,微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課23微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課得令所以有極小值所以,令函數(shù)圖形與x軸相切,函數(shù)圖形與x軸無(wú)交點(diǎn)或有兩個(gè)交點(diǎn).又綜上所述,或則24例解奇函數(shù)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題