2024屆一輪復習人教A版 等式與不等式專題 作業(yè)（一）

人教版2024屆高二下學期一輪復習等式與不等式專題（一）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若，若的最大值為，則的值是A． B． C． D．2．已知、分別是雙曲線的左、右頂點，為上一點，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當取得最小值時，的重心坐標為（

）A． B． C． D．3．若集合A＝{x|0≤x2＜1}，B＝{x|1≤x＜2}，則A∪B＝（

）A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|1＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}4．已知集合，，則（

）A． B．C． D．5．設集合，，則（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線是的左右焦點，是雙曲線右支上任意一點，若的最小值為8，則雙曲線的離心率為A． B．3 C．2 D．7．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的導函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))，且，為方程的兩根，則函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．函數(shù)的最小值是210．（多選）以下說法，正確的是（

）A．，使成立B．，函數(shù)都不是偶函數(shù)C．“”是“”的充要條件D．中，“”是“”的充要條件11．設，，滿足，下列說法正確的是（

）A．ab的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為112．對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為（）A．若a＞b，則B．若a＞b，則ac2≥bc2C．若a＞0＞b，則a2＜﹣abD．若c＞a＞b＞0，則三、填空題13．已知命題，命題，是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是________．14．對滿足的任意x，y，恒有，成立，則a的取值范圍為_____.15．已知函數(shù),若,且,則的取值范圍是_______．16．已知直線過圓的圓心，則的最小值為__________．四、解答題17．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內接正三角形，且邊長為在母線上，且．(1)求證：平面平面；(2)設線段上動點為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．18．的內角??的對邊分別為??，.（1）求；（2）若，求周長最大時，的面積.19．如圖，某森林公園內有一條寬為100米的筆直的河道（假設河道足夠長），現(xiàn)擬在河道內圍出一塊直角三角形區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚.三角形區(qū)域記為，到河兩岸距離，相等，，分別在兩岸上，.為方便游客觀賞，擬圍繞區(qū)域在水面搭建景觀橋.為了使橋的總長度（即的周長）最短，工程師設計了以下兩種方案：方案1：設，求出關于的函數(shù)解析式，并求出的最小值.方案2：設米，求出關于的函數(shù)解析式，并求出的最小值.請從以上兩種方案中自選一種解答.（注：如果選用了兩種解答方案，則按第一種解答計分）20．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最小值為，且.(1)求的值以及實數(shù)的取值集合；(2)若實數(shù)，滿足，證明：.21．已知，且．（1）請給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．22．已知橢圓：.（1）橢圓是否存在以點為中點的弦？若存在，求出弦所在的直線的方程，若不存在，請說明理由；（2）已知橢圓的左?右頂點分別為，，點是橢圓上的點，若直線，分別與直線交于，兩點，求線段的長度取得最小值時直線的斜率.參考答案：1．A【詳解】試題分析：作出不等式表示的平面區(qū)域，如圖的幾何意義是直線縱截距的一半，由，可得，根據圖形可知在處，的最大值為，∴∴，故選A．考點：簡單線性規(guī)劃．2．B【解析】由雙曲線的性質可得點，，設點，則，再由基本不等式可得，進而可得點，即可求得重心坐標.【詳解】由題意點，，設點，則，，，所以，當且僅當時取等號，所以，解得，所以點，則重心坐標為即．故選：B.【點睛】本題考查了直線斜率的求解及雙曲線的應用，考查了基本不等式的應用及運算求解能力，屬于中檔題.3．D【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出A∪B得到答案.【詳解】∵集合A＝{x|0≤x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|1≤x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}.故選：D.【點睛】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.4．D【分析】先求出集合B，再求出交集即可.【詳解】,又，.故選：D.5．B【分析】首先結合已知條件求出集合，然后利用集合間的并運算即可求解.【詳解】由題意可知，，又因為，所以.6．B【解析】根據雙曲線的定義可得，代入，利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線的定義知，當且僅當時取等號故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式時，驗證等號成立的條件，屬于基礎題.7．B【解析】先解一元二次不等式，得到集合，從而可得，再解一元一次不等式，得到集合，最后求．【詳解】因為，所以，又集合，所以，故選：B．8．C【分析】根據給定條件，求出函數(shù)的解析式，再利用導數(shù)求出函數(shù)的值域作答.【詳解】依題意，設，則，，因為為方程的兩根，則，即，解得，因此，即有，求導得，當時，，，則，于是得，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，因此，，所以在的值域是.故選：C9．BC【分析】對于A選項，取特殊值即可判斷正誤；對于B、C選項，根據不等式的運算性質即可判斷正誤；對于D選項，將函數(shù)化簡為，，然后根據對勾函數(shù)的單調性即可判斷正誤【詳解】對于A選項，取，，，則，故錯誤；對于B選項，，，，，故B正確；對于C選項，，，，，故C正確；對于D選項，函數(shù)，令，由函數(shù)在上單調遞增，，故D錯誤.故選：BC10．CD【分析】直接利用函數(shù)的導數(shù)和單調性的關系，三角函數(shù)的關系式的變換，充分條件和必要條件，不等式的性質的應用判斷A、B、C、D的結論．【詳解】解：對于A：設，所以，當時，函數(shù)，當時，，當時，，故在時函數(shù)取得最小值，，所以，即，，故A錯誤；對于B：當時，故函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：當時，等價于，當時，等價于，當時，等價于，反之同樣成立，故C正確；對于D：中，當時，，所以，由于，故，兩邊平方得：，故，即，所以或，當時，即，由于，所以，即，，所以，故，．當時，，故．故D正確．故選：CD．11．AC【分析】根據進行計算可判斷A；利用“1”的妙用及基本不等式計算可判斷B；將變形為，再根據二次函數(shù)的性質求最小值可判斷C；利用將變形為，然后結合的范圍可判斷D.【詳解】因為，，所以，所以，所以，當且僅當即時取等號，則的最大值為，故A正確；因為，當且僅當即時取等號，所以的最小值為，故B錯誤；因為，所以，因為，所以，故當時，取最小值為，故C正確；因為，且，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為，故D錯誤．故選：AC.12．BD【分析】通過特例法可證錯誤；由不等式的性質可證正確.【詳解】A．根據a＞b，取a＝1，b＝﹣1，則不成立，故A錯誤；B．∵a＞b，∴由不等式的基本性質知ac2≥bc2成立，故B正確；C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，則a2＜﹣ab不成立，故C錯誤；D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴，故D正確．故選：BD．【點睛】本題考查由不等式的性質判斷不等式是否正確，命題真假的判斷，屬于基礎題13．【分析】化簡命題，，由非p是非q的必要不充分條件可得p是q的充分不必要必條件，則，從而可得結果.【詳解】由命題p：，，所以,，，所以，由命題q：，，非p是非q的必要不充分條件，所以p是q的充分不必要必條件，，解得，所以故答案為：.14．【分析】畫出可行域，利用已知條件轉化列出關系式，然后討論a的范圍，求解即可．【詳解】由得則不等式組表示的平面區(qū)域D如圖中的陰影部分所示．而表示的平面區(qū)域是拋物線上或內部的點集E.由題設知，.下面考慮拋物線與直線和相切時的情形：由得，所以，解得.當時，拋物線恒在直線的右上方和直線的左上方區(qū)域，因此滿足條件；由，得，所以，即.同理，可驗證滿足條件．結合圖形可知，a的取值范圍為．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，函數(shù)恒成立條件的轉化，考查轉化思想以及計算能力．15．【詳解】試題分析：由,又,,,所以.考點：1.指數(shù)運算；2.基本不等式.16．【詳解】圓心為，則代入直線得，即.不妨設，則.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查已知等式利用基本不等式求不等式的最小值.首先求得圓心的坐標，代入直線的方程，得到一個等式，將要求最小值的式子變形為可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式來求得它的最小值.17．(1)證明見解析(2)1【分析】（1）設交于點連接，由，并結合可證得平面由此證得，再利用三角形相似證得從而證得平面進而證得平面平面；（2）建立空間直角坐標系，設，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關系式，并利用基本不等式，即可求最值．【詳解】（1）證明：如圖，設交于點連接，易知，又平面平面，又平面．又是底面圓的內接正三角形，由，可得，．又，，即．又，，，即．又平面，，平面．又平面，平面平面．（2）易知．以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，即，令，則．設，可得．設直線與平面所成的角為，則.令，，則，當且僅當時，等號成立，當時，有最大值，于是當時，有最大值為，的最大值為，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．18．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再運用兩角和的正弦公式化簡求解即可.（2）運用余弦定理求出關系式，用基本不等式得到的最大值，再運用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴，，.（2）∵，據（1）可得，∴，∴，∴，∴，當且僅當時等號成立，即當時，取得最大值，即周長取得最大值，此時.19．答案不唯一，具體見解析.【分析】方案1：由，得，可得，.求解三角形可得，，，即可得到關于的解析式，其中.設，化為關于的函數(shù)求解；方案2：由已知證明，得.由，得，，再求得，，可得，.然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：方案，，在中，，，.，在和中，，，，，其中.設，則，，，，.，當時，.答：景觀橋總長的最小值為米；方案，，在中，，，則，.，，，，則，，.，.當且僅當，且，即時取“”.，答：景觀橋總長的最小值為米.【點睛】本題考查三角形的解法，訓練了利用換元法及基本不等式求最值，考查計算能力，是中檔題.20．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據絕對值三角不等式可得函數(shù)最小值，即的值；再根據絕對值定義可得函數(shù)取最小值時自變量的取值范圍，即為實數(shù)的取值集合；（2）利用基本不等式可得，即得.（1）依題意，，故的值為；當且僅當，即時等號成立，即的取值集合為.（2）因為，故，因為，當且僅當時等號成立；因為，當且僅當時等號成立；故，故（當且僅當時等號成立）.21．（1）（答案不唯一）（2）證明見解析【解析】（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時加可得,即可得證.【詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因為,所以.所以,即.因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質的應用.22．（1）存在，直線的方程為；（2）.【分析】（1）先判斷點在橢圓的內部，得橢圓存在以該點為中點的弦，再利用點差法求出直線的斜率，進而得到直線方程；（2）顯然直線的斜率存在，且，設直線的方程為，求得點，點，及點，進而求得，再利用基本不等式求最值.【詳解】（1）因為，所以點在橢圓的內部，則橢圓存在以點為中點的弦.設弦所在的直線與橢圓相交于，，則，兩式相減，得，即.又，，，整理得.所以直線的方程為，即.（2）因為，，三點共線所以可知當線段的長度取得