利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例求以下函數(shù)的極值：1．；2．；3．分析：按照求極值的根本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值．解：1．函數(shù)定義域為R．令，得．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔－2，2〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)有極大值，當(dāng)時，函數(shù)有極小值2．函數(shù)定義域為R．令，得或．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔0，2〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值．3．函數(shù)的定義域為R．令，得．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔－1，1〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的根底，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性．解答此題時應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．復(fù)雜函數(shù)的極值例求以下函數(shù)的極值：1．；2．分析：利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定．在函數(shù)的定義域?qū)で罂赡苋〉綐O值的“可疑點〞，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域所有不可導(dǎo)的點．這兩類點就是函數(shù)在定義可能取到極值的全部“可疑點〞．解：1．令，解得，但也可能是極值點．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔0，2〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．2．∴令，得．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)．∴當(dāng)和時，函數(shù)有極小值0，當(dāng)時，函數(shù)有極大值．說明：在確定極值時，只討論滿足的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的．在函數(shù)定義域不可導(dǎo)的點處也可能存在極值．此題1中處，2中及處函數(shù)都不可導(dǎo)，但在這些點處左右兩側(cè)異號，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點處仍取得極值．從定義分析，極值與可導(dǎo)無關(guān)．根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例在時取得極值，且．1．試求常數(shù)a、b、c的值；2．試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．分析：考察函數(shù)是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點必為的根建立起由極值點所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值．解：1．解法一：．是函數(shù)的極值點，∴是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又，∴，〔3〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕解得．解法二：由得，〔1〕〔2〕又，∴，〔3〕解〔1〕、〔2〕、〔3〕得．2．，∴當(dāng)或時，，當(dāng)時，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)，在〔－1，1〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．說明：解題的成功要靠正確思路的選擇．此題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)構(gòu)造進展逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運用了條件確定了解題的大方向．可見出路在于“思想認識〞．在求導(dǎo)之后，不會應(yīng)用的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔－2，2〕上是減函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)有極大值，當(dāng)時，函數(shù)有極小值2．函數(shù)定義域為R．令，得或．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔0，2〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值．3．函數(shù)的定義域為R．令，得．當(dāng)或時，，∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在〔－1，1〕上是增函數(shù)．∴當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的根底，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性．解答此題時應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1．；2．；3．分析：為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號，以防止不該出現(xiàn)的失誤．解：1．函數(shù)的定義域為R，令，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔－1，0〕和；令，得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和〔0，1〕．2．函數(shù)定義域為令，得．∴函數(shù)的遞增區(qū)間為〔0，1〕；令，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為〔1，2〕．3．函數(shù)定義域為令，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和．說明：依據(jù)導(dǎo)數(shù)在*一區(qū)間的符號來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，表達了形象思維的直觀性和運動性．解決這類問題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準(zhǔn)．學(xué)生易犯的錯誤是將兩個以上各自獨立單調(diào)遞增〔或遞減〕區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成和的錯誤結(jié)果．這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在此題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用．求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例，且1．設(shè)，求的解析式；2．設(shè)，試問：是否存在實數(shù)，使在為減函數(shù)，且在〔－1，0〕是增函數(shù)．分析：根據(jù)題設(shè)條件可以求出的表達式，對于探索性問題，一般先對結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合條件進展推理論證，由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷．解題的過程實質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過程，由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值圍，使問題獲解．解：1．由題意得，，∴∴2．．假設(shè)滿足條件的存在，則∵函數(shù)在是減函數(shù)，∴當(dāng)時，，即對于恒成立．∴∴，解得．又函數(shù)在〔－1，0〕上是增函數(shù)，∴當(dāng)時，即對于恒成立，∴∴，解得．故當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在〔－1，0〕上是增函數(shù)，即滿足條件的存在．說明：函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關(guān)系．因此挖掘題目中的隱含條件則是翻開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學(xué)生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通與未知的關(guān)系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決．不善于應(yīng)用恒成立和恒成立，究其原因是對函數(shù)的思想方法理解不深．利用導(dǎo)數(shù)比擬大小例a、b為實數(shù)，且，其中e為自然對數(shù)的底，求證：．分析：通過考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法．根據(jù)題目自身的特點，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)關(guān)系，在建立函數(shù)關(guān)系時，應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比擬容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價轉(zhuǎn)化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時，有，即．解：證法一：，∴要證，只要證，設(shè)，則．，∴，且，∴∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴，即，∴證法二：要證，只要證，即證，設(shè)，則，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．又，即說明：“構(gòu)造〞是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進展邏輯組合．解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構(gòu)造函數(shù)或求導(dǎo)之后得出的錯誤結(jié)論．判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性例函數(shù)在區(qū)間上是〔〕A．增函數(shù)，且B．減函數(shù)，且C．增函數(shù)，且D．減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個問題：一是要判斷函數(shù)值y的大??；二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性．解：解法一：令，且，則，排除A、B．由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，u在上為減函數(shù)．又亦為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，排除D，選C．解法二：利用導(dǎo)數(shù)法〔〕，故y在上是增函數(shù)．由解法一知．所以選C．說明：求函數(shù)的值域，是中學(xué)教學(xué)中的難關(guān)．一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值等〔包括初等方法和導(dǎo)數(shù)法〕．對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，簡單的復(fù)合函數(shù)是可以利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進展判斷，但是利用導(dǎo)數(shù)法判斷一些較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢的．利用公式2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．．分析：根據(jù)所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的構(gòu)造施行調(diào)整．函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的構(gòu)造特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．解：1．2．3．說明：對于簡單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的根本函數(shù)的模式，以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算失誤．運算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力上下的重要標(biāo)志，要從思想上提高認識，養(yǎng)成思維嚴謹，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會求，而且求對、求好的解題標(biāo)準(zhǔn)．根據(jù)斜率求對應(yīng)曲線的切線方程例求曲線的斜率等于4的切線方程．分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在*點處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點處切線的斜率，由于切線的斜率，只要確定切點的坐標(biāo)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點在曲線上確定切點的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程．解：設(shè)切點為，則，∴，即，∴當(dāng)時，，故切點P的坐標(biāo)為〔1，1〕．∴所求切線方程為即說明：數(shù)學(xué)問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類問題常見的錯誤是忽略切點既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大．求直線方程例求過曲線上點且與過這點的切線垂直的直線方程．分析：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導(dǎo)確定曲線在點P處切線的斜率，再根據(jù)點斜式求出與切線垂直的直線方程．解：，∴曲線在點處的切線斜率是∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為，∴所求的直線方程為，即．說明：曲線上*點的切線這一條件具有雙重含義．在確定與切線垂直的直線方程時，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)是否為零，當(dāng)時，切線平行于*軸，過切點P垂直于切線的直線斜率不存在．求曲線方程的交點處切線的夾角例設(shè)曲線和曲線在它們的交點處的兩切線的夾角為，求的值．分析：要求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點處的切線的斜率．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點處的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可．解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點為〔1，1〕．設(shè)兩曲線在交點處的切線斜率分別為，則由兩直線夾角公式說明：探求正確結(jié)論的過程需要靈巧的構(gòu)思和嚴謹?shù)耐评磉\算．兩曲線交點是一個關(guān)鍵條件，函數(shù)在交點處是否要導(dǎo)也是一個不能無視的問題，而準(zhǔn)確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提．求常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例設(shè)，則等于〔〕A．B．C．0D．以上都不是分析：此題是對函數(shù)的求導(dǎo)問題，直接利用公式即可解：因為是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，所以選C．根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例函數(shù)，是否存在實數(shù)a、b、c，使同時滿足以下三個條件：〔1〕定義域為R的奇函數(shù)；〔2〕在上是增函數(shù)；〔3〕最大值是1．假設(shè)存在，求出a、b、c；假設(shè)不存在，說明理由．分析：此題是解決存在性的問題，首先假設(shè)三個參數(shù)a、b、c存在，然后用三個已給條件逐一確定a、b、c的值．解：是奇函數(shù)又，即，∴．∴或，但時，，不合題意；故．這時在上是增函數(shù)，且最大值是1．設(shè)在上是增函數(shù)，且最大值是3．，當(dāng)時，故；又當(dāng)時，；當(dāng)時，；故，又當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以在是增函數(shù)，在〔－1，1〕上是減函數(shù)．又時，時最大值為3．∴經(jīng)歷證：時，符合題設(shè)條件，所以存在滿足條件的a、b、c，即說明：此題是綜合性較強的存在性問題，對于拓寬思路，開闊視野很有指導(dǎo)意義．此題假設(shè)用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施．假設(shè)用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就迎刃而解．因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學(xué)方法．切不可忘記．供水站建在何處使水管費最少例有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適中選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點C的位置．解：解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上*一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點*km，則又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有．令，解得在〔0，50〕上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在〔km〕處取得最小值，此時〔km〕．∴供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最?。夥ǘ涸O(shè)，則∴．設(shè)總的水管費用為，依題意，有∴令，得．根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，此時〔km〕，即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最?。f明：解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)．把“問題情景〞譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇適宜的數(shù)學(xué)方法求解．對于這類問題，學(xué)生往往無視了數(shù)學(xué)語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙．運算不過關(guān)，得不到正確的答案，對數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進展一番選擇．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例求以下函數(shù)的最值：1．；2．；3．4．．分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時，只需求出函數(shù)在開區(qū)間的極值，然后與端點處函數(shù)值進展比擬即可．解：1．，令，得，∴．又∴2．，令，得，∴，又．∴3．．令，即，解得當(dāng)時，，當(dāng)時，．∴函數(shù)在點處取得極小值，也是最小值為即．4．函數(shù)定義域為，當(dāng)時，令，解得，∴，又，∴說明：對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間可導(dǎo)，求上最值可簡化過程，即直接將極值點與端點的函數(shù)值比擬，即可判定最大〔或最小〕的函數(shù)值，就是最大〔或最小〕值．解決這類問題，運算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個突出問題，反映出運算能力上的差距．運算的準(zhǔn)確要依靠運算方法的合理與簡捷，需要有效的檢驗手段，只有全方位的“綜合治理〞才能在堅實的根底上形成運算能力，解決運算不準(zhǔn)確的弊病．求兩變量乘積的最大值例為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值．分析：題中有兩個變量*和y，首先應(yīng)選擇一個主要變量，將表示為*一變量〔*或y或其它變量〕的函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值圍，再利用導(dǎo)數(shù)〔或均值不等式等〕求函數(shù)的最大值．解：解法一：，∴．由解得．設(shè)當(dāng)時，．令，得或〔舍〕．∴，又，∴函數(shù)的最大值為．即的最大值為．解法二：由得，設(shè)，∴，設(shè)，則令，得或．，此時∴即當(dāng)時，說明：進展一題多解訓(xùn)練，是一種翻開思路，激發(fā)思維，穩(wěn)固根底，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值圍必須滿足題設(shè)條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．3．；4．分析：仔細觀察和分析各函數(shù)的構(gòu)造規(guī)律，緊扣求導(dǎo)運算法則，聯(lián)系根本函數(shù)求導(dǎo)公式，不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進展恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成．解：1．2．3．解法一：解法二：，∴4．解法一：解法二：，說明：理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的構(gòu)造規(guī)律是靈活進展求導(dǎo)運算的前提條件，運算過程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導(dǎo)法則，特別是商的求導(dǎo)法同．求導(dǎo)過程中符號判斷不清，也是導(dǎo)致錯誤的因素．從此題可以看出，深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)運算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點，才能準(zhǔn)確有效地進展求導(dǎo)運算，才能充分調(diào)動思維的積極性，在解決新問題時舉一反三，觸類旁通，得心應(yīng)手．化簡函數(shù)解析式在求解例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．；2．；3．；4．分析：對于比擬復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會使問題求解過程繁瑣冗長，且易出錯．可先對函數(shù)解析式進展合理的恒等變換，轉(zhuǎn)化為易求導(dǎo)的構(gòu)造形式再求導(dǎo)數(shù)．解：1．，∴2．∴3．∴4．，∴說明：對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的根本原則．求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用．在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，防止不必要的運算失誤．根據(jù)點和切線確定拋物線的系數(shù)例拋物線通過點，且在點處與直線相切，數(shù)a、b、c的值．分析：解決問題，關(guān)鍵在于理解題意，轉(zhuǎn)化、溝通條件與結(jié)論，將二者統(tǒng)一起來．題中涉及三個未知參數(shù)，題設(shè)中有三個獨立的條件，因此，通過解方程組來確定參數(shù)a、b、c的值是可行的途徑．解：∵曲線過點，∴①，∴∴②又曲線過點，∴③．聯(lián)立解①、②、③得說明：利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是行之有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，解題時要充分運用這一條件，才能使問題迎刃而解．解答此題常見的失誤是不注意運用點在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件．利用導(dǎo)數(shù)求和例利用導(dǎo)數(shù)求和．1．2．分析：問題分別可通過錯位相減的方法及構(gòu)造二項式定理的方法來解決．轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和，利用導(dǎo)數(shù)運算可使問題解法更加簡潔明快．解：1．當(dāng)時，當(dāng)時，，兩邊都是關(guān)于*的函數(shù)，求導(dǎo)得，即2．兩邊都是關(guān)于*的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得，令，得，即說明：通過對數(shù)列的通項進展聯(lián)想，合理運用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題獲得解決，其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項的形式構(gòu)造．學(xué)生易犯的錯誤是受思維定式的影響不善于聯(lián)想．導(dǎo)數(shù)定義的利用例假設(shè)，則等于〔〕A．B．C．D．以上都不是分析：此題考察的是對導(dǎo)數(shù)定義的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求解即可解：由于，應(yīng)選A求曲線方程的斜率和方程例曲線上一點，用斜率定義求：〔1〕點A的切線的斜率〔2〕點A處的切線方程分析：求曲線在A處的斜率，即求解：〔1〕〔2〕切線方程為即說明：上述求導(dǎo)方法也是用定義求運動物體在時刻處的瞬時速度的步驟．判斷分段函數(shù)的在段點處的導(dǎo)數(shù)例函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)？分析：對分段函數(shù)在“分界點〞處的導(dǎo)數(shù)問題，要根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo)．解：∴在處不可導(dǎo)．說明：函數(shù)在*一點的導(dǎo)數(shù)，是指一個極限值，即，當(dāng)；包括；，判定分段函數(shù)在“分界處〞的導(dǎo)數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)定義的求解例設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，試求以下各極限的值．1．；2．3．假設(shè)，則等于〔〕A．－1B．－2C．－1D．分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不管選擇哪種形式，也必須選擇相對應(yīng)的形式．利用函數(shù)在點處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的構(gòu)造形式．解：1．原式＝2．原式＝3．〔含〕，∴應(yīng)選A．說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進展解題，不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因．解決這類問題的關(guān)鍵就是等價變形，使問題轉(zhuǎn)化．利用定義求導(dǎo)數(shù)例1．求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；2．求函數(shù)〔a、b為常數(shù)〕的導(dǎo)數(shù)．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的根本方法，確定函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法．解：1．解法一〔導(dǎo)數(shù)定義法〕：，解法二〔導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法〕：，∴2．說明：求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的構(gòu)造形式轉(zhuǎn)化為極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵，因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念．證明函數(shù)的在一點處連續(xù)例證明：假設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在點處連續(xù)．分析：從和要證明的問題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明在點處連續(xù)，必須證明．由于函數(shù)在點處可導(dǎo)，因此，根據(jù)函數(shù)在點處可導(dǎo)的定義，逐步實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化，一個是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個是形式〔變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式〕的轉(zhuǎn)化．解：證法一：設(shè)，則當(dāng)時，，∴函數(shù)在點處連續(xù)．證法二：∵函數(shù)在點處可導(dǎo)，∴在點處有∴∴函數(shù)在點處連續(xù)．說明：對于同一個問題，可以從不同角度去表述，關(guān)鍵是要透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，正確運用轉(zhuǎn)化思想來解決問題．函數(shù)在點處連續(xù)，有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限．反之則不一定成立．證題過程中不能合理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙．求指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．；4．分析：對于比擬復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來進展．求導(dǎo)過程中，可以先適當(dāng)進展變形化簡，將對數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù)．解：1．解法一：可看成復(fù)合而成．解法二：解法三：，2．解法一：設(shè)，則解法二：3．解法一：設(shè)，則解法二：4．說明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的構(gòu)造規(guī)律，是解決問題的關(guān)鍵，解答此題所使用的知識，方法都是最根本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運用知識為解題效勞，在求導(dǎo)過程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯誤，使解題走入困境．解題時，能認真觀察函數(shù)的構(gòu)造特征，積極地進展聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質(zhì)，把解題思路放開．變形函數(shù)解析式求導(dǎo)例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計算量．解：〔1〕．〔2〕，〔3〕〔4〕當(dāng)時不存在．說明：求〔其中為多項式〕的導(dǎo)數(shù)時，假設(shè)的次數(shù)不小于的次數(shù)，則由多項式除法可知，存在，使．從而，這里均為多項式，且的次數(shù)小于的次數(shù)．再求導(dǎo)可減少計算量．對函數(shù)變形要注意定義域．如，則定義域變?yōu)椋噪m然的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)結(jié)果一樣，但我們還是應(yīng)防止這種解法．函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運用例求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．；4．分析：式中所給函數(shù)是幾個因式積、商、冪、開方的關(guān)系．對于這種構(gòu)造形式的函數(shù)，可通過兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問題簡單化或使無法求導(dǎo)的問題得以解決．但必須注意取尋數(shù)時需要滿足的條件是真數(shù)為正實數(shù)，否則將會出現(xiàn)運算失誤．解：1．取y的絕對值，得，兩邊取尋數(shù)，得根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對*求導(dǎo)，得，∴2．注意到，兩端取對數(shù)，得∴∴3．兩端取對數(shù)，得，兩端對*求導(dǎo)，得4．兩端取對數(shù)，得，兩邊對*求導(dǎo)，得∴說明：對數(shù)求導(dǎo)法則實質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用．從多角度分析和探索解決問題的途徑，能運用恰當(dāng)合理的思維視力，把問題的隱含挖掘出來加以利用，會使問題的解答避繁就簡，化難為易，收到出奇制勝的效果．解決這類問題常見的錯誤是不注意是關(guān)于*的復(fù)合函數(shù)．指對數(shù)函數(shù)的概念提醒了各自存在的條件、根本性質(zhì)及其幾何特征，恰當(dāng)?shù)匾雽?shù)求導(dǎo)的方