分離變量法1課件

第二章別離變量法第一講數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)上節(jié)課內容回憶數(shù)學物理方程的導出步驟〔偏微分方程〕定解條件的推導定解問題的概念三類初始條件邊界條件(1)首先確定所要研究的物理量(2)根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用(抓住主要影響，忽略次要影響)，這種相互作用在一個短時間段里如何影響物理量數(shù)學物理方程的導出步驟：(3)用數(shù)學語言表達出這種相互影響，經簡化整理就得到數(shù)學物理方程。三種典型的偏微分方程定解條件初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)

的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上

約束情況的條件。A、弦振動方程的邊界條件(1)固定端：振動過程中端點(x=a)保持不動，其邊界條件為：或：(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧支承或第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件B、熱傳導方程的邊界條件(以S表示某物體V的邊界)(1)邊界S上的溫度為函數(shù)f(x,y,z,t)(f是定義在邊界S上的函數(shù))(2)絕熱狀態(tài)(即在S上的熱量流速為零)或流速(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內物體單位外表積與周圍介質交換的熱量，同物體外表溫度與周圍介質溫度差成正比。熱交換系數(shù)；周圍介質的溫度第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件本節(jié)課內容微分方程的分類疊加原理別離變量法有界弦的自由振動1、偏微分方程一般分類

(2)按未知函數(shù)及其導數(shù)是否線性，分為線性微分方程和非線性微分方程；(1)按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。(3)線性微分方程按自由項是否為零，分為齊次方程和

非齊次方程思考判斷以下方程的類型二階、線性、非齊次二階、線性、齊次二階、非線性一個含n個變量的二階線性偏微分方程的一般形式：2、疊加原理

線性微分方程的解具有疊加性幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨產生的效果的累加。(物理上)3、二階線性偏微分方程的分類

思考判斷以下方程的類型橢圓型雙曲型拋物型定解問題的最常用解法——別離變量法核心思想：將未知函數(shù)按多個單元函數(shù)分開偏微分方程假設干常微分方程求解常微分方程：特解線性無關的特解疊加出通解用定解條件定出疊加系數(shù)求解一階線性偏微分方程：轉化為一階線性常微分方程二階及高階偏微分方程：難以求出待定系數(shù)別離變量法：滿足方程及一局部定解問題的全部特解用另一局部定解條件求出疊加系數(shù)2.1兩端固定弦的自由振動〔波動方程〕長為l、兩端固定的弦，發(fā)生自由振動方程及定解條件為方程和邊界條件是齊次的，初始條件為非齊次的。齊次偏微分方程一類邊界條件〔齊次〕初始條件第一步：別離變量…………所希望的特解代入方程

得

移項，兩端同除以

有

與x無關的函數(shù)=

與t無關的函數(shù)

與x、t均無關的常數(shù)可知

一維波動方程

兩個常微分方程

選取相應的齊次定解條件，與其中一個常微分方程構本錢征值問題。將代入邊界條件，得∵∴常微分方程含有一個待定常數(shù)

定解條件是一對齊次邊界條件

X(x)

的常微分方程的定解問題稱為本征值問題當時，方程為

既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解

X(x)

，稱為本征函數(shù)，相應的

值稱為本征值。

第二步：求解本征值方程的通解為

由邊界條件，知

即

因此，不是本征值。

當時，常微分方程的通解是

由邊界條件，知

即得∵∴

即

當時，常微分方程的通解是

由邊界條件，知，

相應的本征函數(shù)為

第三步：求特解，并進一步疊加出一般解將代入方程

得

可知滿足偏微分方程和邊界條件的特解為：

，特解有無窮多個，將特解疊加，只要保證級數(shù)收斂可得一般解。為什么將特解疊加即為一般解？疊加定理只是說疊加后也是另一個解但沒說一定是通解？不明白為什么要疊加一般解既滿足偏微分方程又滿足邊界條件，因而不同于通解。

將一般解代入初始條件，得

第四步：利用本征函數(shù)的正交性定出疊加系數(shù)本征函數(shù)的正交性：

對于

兩端同乘以，并積分，得

定義：本征函數(shù)的模方

∴

同理，對于

可得兩端同乘以，并逐項積分

由以上討論可知該定解問題的解為：小結別離變量法求解偏微分方程的根本步驟：?別離變量〔齊次條件〕?求解本征值?求出所有特解，疊加出一般解?利用本征函數(shù)正交性定出疊加系數(shù)驗證：解函數(shù)是否滿足偏微方程——級數(shù)解的收斂性〔是否可以逐項求偏微分〕。解函數(shù)是否滿足邊界條件——級數(shù)解的和函數(shù)是否連續(xù)。定疊加系數(shù)時，逐項積分是否合法。別離變量法的先決條件：

本征值問題有解

定解問題的解一定可以按照本征函數(shù)展開——本征函數(shù)的全體是完備的

本征函數(shù)一定具有正交性對于任一時刻t，有界弦的總能量是：動能+勢能將一般解代入E(t)，并利用正交性得顯然與t無關，即弦的總能量守恒2.2別離變量法的物理詮釋特解是一個駐波表示弦上各點的振幅分布表示相位因子是駐波的角頻率，與初始條件無關，稱為固有頻率或本征頻率為波數(shù)，〔單位長度上波的周期數(shù)〕是初位相，由初始條件決定波節(jié)：的各點上，振幅≡0共有n+1個波節(jié)〔含兩個端點〕波峰：的各點上，振幅≡max共有n

個波峰這種解法也稱為駐波法基頻：固有頻率中的最小值——決定音調〔，材料一定，改變張力T〕倍頻：基頻和倍頻的疊加系數(shù)、的相對大小——頻譜分布——聲強例1：設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，,求弦作微小橫向振動時的位移。解：2.3例題解析由利用初始條件利用初始條件有有弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。解：例2：求以下定解問題初始條件：初始條件：l=1,a=10時的震動〔二〕利用邊界條件,得到特征值問題并求解〔三〕將特征值代入另一常微分方程，得到〔四〕將