中考數(shù)學(xué)復(fù)習：專題(六)　與圓有關(guān)的證明與計算

專題(六)與圓有關(guān)的證明與計算1．(2021·湖州)如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠ACD是eq\x\to(AD)所對的圓周角，∠ACD＝30°.(1)求∠DAB的度數(shù)；(2)過點D作DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交⊙O于點F.若AB＝4，求DF的長．解：(1)連接BD，∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－∠B＝60°(2)∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝2，∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直徑，∴EF＝DE＝ADsin60°＝eq\r(3)，∴DF＝2DE＝2eq\r(3)2．(2021·北京)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E.(1)求證：∠BAD＝∠CAD；(2)連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC.若⊙O的半徑為5，OE＝3，求GC和OF的長．解：(1)∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴eq\x\to(BD)＝eq\x\to(CD)，∴∠BAD＝∠CAD(2)在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4，∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直徑，∴∠BCG＝90°，∴GC＝eq\r(BG2－BC2)＝6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴eq\f(OA,GC)＝eq\f(OF,FG)，即eq\f(5,6)＝eq\f(OF,5－OF)，解得OF＝eq\f(25,11)3．(2021·齊齊哈爾)如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AE和過點C的切線CD互相垂直，垂足為E，AE與⊙O相交于點F，連接AC.(1)求證：AC平分∠EAB；(2)若AE＝12，tan∠CAB＝eq\f(\r(3),3)，求OB的長．解：(1)連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥DE，∵AE⊥DE，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB(2)連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵tan∠CAB＝eq\f(\r(3),3)，∠EAC＝∠OAC，∴tan∠EAC＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(EC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(EC,12)＝eq\f(\r(3),3)，∴EC＝4eq\r(3)，在Rt△AEC中，AC＝eq\r(AE2＋EC2)＝eq\r(122＋（4\r(3)）2)＝8eq\r(3)，∵tan∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴BC＝8，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(（8\r(3)）2＋82)＝16，∴OB＝84．(2021·鄂州)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O為BC邊上一點，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的⊙O與AC邊相切于點D，交BC于點E.(1)求證：AB＝AD；(2)連接DE，若tan∠EDC＝eq\f(1,2)，DE＝2，求線段EC的長．解：(1)∵∠ABC＝90°，∴AB⊥OB，又∵AB經(jīng)過半徑⊙O的外端點B，∴AB切⊙O于點B，又∵⊙O與AC邊相切于點D，∴AB＝AD(2)連接BD，∵BE為⊙O的直徑，∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠CDE＋∠ABD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠EDC，又∵tan∠EDC＝eq\f(1,2)，∴tan∠EBD＝eq\f(1,2)，即eq\f(DE,BD)＝eq\f(1,2)，∵DE＝2，∴BD＝4，BE＝2eq\r(5)，又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠EDC，∴△CDE∽△CBD，∴eq\f(EC,DC)＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(DE,BD)＝eq\f(1,2)，設(shè)EC＝x，則DC＝2x，∴(2x)2＝x(x＋2eq\r(5))，∴x1＝0(舍去)，x2＝eq\f(2\r(5),3)，即線段EC的長為eq\f(2\r(5),3)5．(2021·樂山)如圖，已知點C是以AB為直徑的半圓上一點，D是AB延長線上一點，過點D作BD的垂線交AC的延長線于點E，連接CD，且CD＝ED.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑．解：(1)連接OC，∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°，∠OAC＋∠E＝90°，∴∠OCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線(2)連接BC，由(1)知∠DCE＝∠E，∴tan∠DCE＝tanE＝2，即eq\f(AD,ED)＝2，設(shè)⊙O的半徑為x，則OA＝OB＝OC＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x＋1，∴ED＝x＋eq\f(1,2)＝CD，OD＝x＋1，由(1)知CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴CD2＋OC2＝OD2，即(x＋eq\f(1,2))2＋x2＝(x＋1)2，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴⊙O的半徑為eq\f(3,2)6．(2021·云南)如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上異于A，B的點，連接AC，BC，點D在BA的延長線上，且∠DCA＝∠ABC，點E在DC的延長線上，且BE⊥DC.(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若eq\f(OA,OD)＝eq\f(2,3)，BE＝3，求DA的長．解：(1)連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ABC＝∠DCA，∴∠OCB＝∠DCA，又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＋∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°，∴DC⊥OC，∵OC是半徑，∴DC是⊙O的切線(2)∵eq\f(OA,OD)＝eq\f(2,3)，且OA＝OB，設(shè)OA＝OB＝2x，OD＝3x，∴DB＝OD＋OB＝5x，∴eq\f(OD,DB)＝eq\f(3,5)，又∵BE⊥DC，DC⊥OC，∴OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴eq\f(OC,BE)＝eq\f(OD,DB)＝eq\f(3,5)，∵BE＝3，∴OC＝eq\f(9,5)，∴2x＝eq\f(9,5)，∴x＝eq\f(9,10)，∴AD＝OD－OA＝x＝eq\f(9,10)7．(2021·襄陽)如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，直線BO與⊙O交于點F和點D，OA與⊙O交于點E，與DC交于點G，OA＝OB，CA＝CB.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若FC∥OA，CD＝6，求圖中陰影部分面積．解：(1)連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線(2)∵DF是⊙O的直徑，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴OG⊥CD，∴DG＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×6＝3，∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝eq\f(1,3)×180°＝60°，在Rt△ODG中，tan∠DOG＝eq\f(DG,OG)，即OG＝eq\f(DG,tan∠DOG)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴DO＝2OG＝2eq\r(3)，∴S陰影＝S扇形ODE－S△DOG＝eq\f(60π·（2\r(3)）2,360)－eq\f(1,2)×eq\r(3)×3＝2π－eq\f(3\r(3),2)8．(2021·河南)在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖①，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在⊙O上，當點P在⊙O上轉(zhuǎn)動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON.當AP與⊙O相切時，點B恰好落在⊙O上，如圖②.請僅就圖②的情形解答下列問題．(1)求證：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半徑為5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的長．解：(1)如圖②，連接OP，延長BO與⊙O交于點C，則OP＝OB＝OC，∵AP與⊙O相切于點P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵∠POC＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO(2)如圖②，過點P作PD⊥OC于點D，則有：AO＝eq\r(AP2＋OP2)＝eq\f(25,3)，由(1)可知∠P