第五節(jié) 幾何學(xué)的發(fā)展

第五節(jié)幾何學(xué)的發(fā)展1幾何學(xué)簡(jiǎn)介2歐幾里得幾何學(xué)3解析幾何4射影幾何學(xué)5非歐幾何學(xué)6黎曼非歐幾何7拓?fù)鋵W(xué)8幾何學(xué)的統(tǒng)一1幾何學(xué)簡(jiǎn)介幾何學(xué)是研究空間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，有時(shí)簡(jiǎn)稱為幾何。中文“幾何”一詞，為明代徐光啟所創(chuàng)，希臘語原意為“測(cè)地術(shù)”。幾何學(xué)的發(fā)展：歐幾里得幾何學(xué)（約公元前300年）；解析幾何學(xué)（17世紀(jì)）；射影幾何學(xué)（18世紀(jì)）；非歐幾何學(xué)（19世紀(jì)）；微分幾何學(xué)（19世紀(jì)）；黎曼幾何學(xué)（19世紀(jì)）；拓?fù)鋵W(xué)（19世紀(jì)）；代數(shù)幾何學(xué)（20世紀(jì)）；分形幾何（20世紀(jì)）2歐幾里得幾何學(xué)2.1《幾何原本》歐幾里得(Euclid,公元前330-275年)古希臘著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家?！霸尽钡南ＥD文意指一學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理。歐幾里得在這本書中用公理法對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化、理論化的總結(jié)。全書共分13卷，包括有5條公理、5條公設(shè)、119個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。第一、二、三及四卷包含了平面幾何的一些基本內(nèi)容。第五卷講比例論，第六卷講幾何代數(shù)問題，第七、八、九卷是關(guān)于數(shù)論的內(nèi)容，第十卷討論不可公度量，最后三卷是立體幾何問題。公設(shè)1假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線．2一條有限直線可不斷延長(zhǎng)．3以任意中心和直徑可以畫圖．4凡直角都彼此相等．

5若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長(zhǎng)．它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交.歐幾里得《原本》可以說是數(shù)學(xué)史上的第一座理論十碑．它最大的功績(jī)，是在于數(shù)學(xué)中演繹范式的確立，這種范式要求一門學(xué)科中的每個(gè)命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，而所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點(diǎn)，是一些基本定義和被認(rèn)為是不證白明的基本原理——公設(shè)或公理．這就是后來所謂的公理化思想。特點(diǎn)：概念清晰；定義明確；公理直觀可靠而且普遍成立；公設(shè)清楚可信且易于想象；公理數(shù)目少；引出量的方式易于接受；證明順序自然；2.2圓錐曲線歐幾里得《二次曲線》；阿基米德（Archimedes，公元前287-212年）；厄拉多塞（Eratosthenes公元前274-194年）《論圓錐曲線》；阿波羅尼奧斯（約公元前262-前190）《圓錐曲線論》，全書共八卷，含487個(gè)命題，與《原本》一起被譽(yù)為古希臘幾何的登峰造極之作。3解析幾何1629費(fèi)馬《平面與立體的軌跡引論》1637笛卡爾《幾何學(xué)》將代數(shù)與幾何相結(jié)合，引入了變數(shù)，數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期。4射影幾何學(xué)射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)。4.1產(chǎn)生背景繪畫、建筑透視法阿爾貝蒂（L.B.Alberti,1404-1472，意大利）《論繪畫》1435投影線、截影等。4.2發(fā)展德沙格(G．Desargues，1591—1661，法國(guó))1639年《試論圓錐與平面相交結(jié)果》70多個(gè)射影幾何術(shù)語，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)線。德沙格定理：“如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立”交比不變性定理；對(duì)合；調(diào)和點(diǎn)組線可以看作具有無限長(zhǎng)半徑的圓的一部分；焦點(diǎn)相合的橢圓退化為圓；焦點(diǎn)之一在無窮遠(yuǎn)的橢圓是一拋物線等等。帕斯卡(B．Pascal，1623—1662，法國(guó))

16歲(1639)，約八頁的小冊(cè)子《略論圓錐曲線》帕斯卡定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)共線?！迸碣惲校↗.V.Poncelet,1788-1867）1822《論圖形的射影性質(zhì)》幾何方法引進(jìn)無窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對(duì)應(yīng)并用它來確立對(duì)偶原理。莫比烏斯（A.F.Mobius,1790-1868）解析法，齊次坐標(biāo)施陶特（K.G.C.vonStaudt）建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。5非歐幾何學(xué)（羅氏幾何）5.1背景歐幾里得第五公設(shè)（平行公設(shè)）：若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長(zhǎng)．它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。給定一條直線，通過此直線外的任何一點(diǎn)，有且只有一條直線與之平行證明或失敗，或循環(huán)論證薩特里（意大利）、呂格爾（德國(guó)）、蘭伯特（瑞士）5.2誕生與發(fā)展高斯1813反歐幾里得幾何非歐幾里得幾何非歐幾何與康德的哲學(xué)相抵觸沒敢公開自己的成果。波約（J.Bolyai,1802-1860,匈牙利）1832《絕對(duì)空間的科學(xué)》羅巴切夫斯基（Lobacevskil,NikolaiLvanovie

1792～1856俄國(guó)人）《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》1829《喀山大學(xué)》他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。兩個(gè)重要的結(jié)論：

第一，第五公設(shè)不能被證明。

第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。

這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。羅式幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。

歐式幾何

同一直線的垂線和斜線相交。

垂直于同一直線的兩條直線或向平行。

存在相似的多邊形。