高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 31 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件 新人教A版選修2-3

第三章統(tǒng)計(jì)案例§3.1回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念.2.會(huì)通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果.3.掌握建立線性回歸模型的步驟.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達(dá)標(biāo)檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)答案問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)知識(shí)點(diǎn)一線性回歸模型思考某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345請問如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關(guān)關(guān)系？y關(guān)于x的線性回歸方程是什么？答案畫出散點(diǎn)圖，由圖可知，樣本點(diǎn)散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關(guān)關(guān)系.答案1.函數(shù)關(guān)系是一種

關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種

關(guān)系.2.回歸分析是對具有

關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.確定性非確定性相關(guān)4.線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知參數(shù)，e稱為

，自變量x稱為

，因變量y稱為

.隨機(jī)誤差解釋變量預(yù)報(bào)變量答案知識(shí)點(diǎn)二線性回歸分析答案不一定.答案越小越好.答案2.殘差圖法殘差點(diǎn)落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較適宜，其中這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾?，說明模型的精確度越高.比較均勻地越窄答案3.利用相關(guān)指數(shù)R2刻畫回歸效果其計(jì)算公式為：R2＝1－

，其幾何意義：

，表示回歸效果越好.R2越接近于1返回知識(shí)點(diǎn)三建立回歸模型的根本步驟(1)確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.(2)畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等).(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，那么選用線性回歸方程).(4)按一定規(guī)那么估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法).(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常，假設(shè)存在異常，那么檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否適宜等.類型一求線性回歸方程例1

某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)解析答案題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(要求：點(diǎn)要描粗)解如圖：解析答案解析答案反思與感悟(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力.預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.反思與感悟1.求線性回歸方程的根本步驟：(1)列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系.(4)寫出線性回歸方程并對實(shí)際問題作出估計(jì).2.需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否那么求出的回歸方程毫無意義.解析答案跟蹤訓(xùn)練1某地區(qū)2007年至2021年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；解析答案解析答案(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2021年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2021年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：故2007年至2021年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.將2021年的年份代號t＝10代入(1)中的回歸方程，得＝0.5×10＋2.3＝7.3，故預(yù)測該地區(qū)2021年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.3千元.解析答案類型二線性回歸分析例2假定小麥根本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；解散點(diǎn)圖如右.解析答案(2)求y與x之間的回歸方程，對于根本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗；解由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系.估計(jì)成熟期有效穗為51.143.解析答案(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；解由于y＝bx＋a＋e，解析答案(4)求相關(guān)指數(shù)R2，并說明殘差變量對有效穗的影響占百分之幾？所以解釋變量小麥根本苗數(shù)對有效穗約奉獻(xiàn)了83.2%.殘差變量奉獻(xiàn)了約1－83.2%＝16.8%.反思與感悟反思與感悟1.該類題屬于線性回歸問題，解答此題應(yīng)先通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此根底上，借助回歸方程對實(shí)際問題進(jìn)行分析.2.刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較適宜.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070解析答案∴(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果.解析答案類型三非線性回歸分析例3

下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；解作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝

的周圍，其中c1、c2為待定的參數(shù).解析答案(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；解對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，那么有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差列表如下：yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675解析答案(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值.反思與感悟反思與感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象：②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.反思與感悟(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象：②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3某電容器充電后，電壓到達(dá)100V，然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U＝Aebt(b<0)表示，現(xiàn)測得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對時(shí)間t的回歸方程.(提示：對公式兩邊取自然對數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題)解析答案返回解對U＝Aebt兩邊取對數(shù)得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，那么y＝a＋bx,y與x的數(shù)據(jù)如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如下圖，從圖中可以看出，y與x具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，返回123解析答案達(dá)標(biāo)檢測41.關(guān)于回歸分析，以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A.在回歸分析中，變量間的關(guān)系假設(shè)是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確定B.線性相關(guān)系數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的C.在回歸分析中，如果r2＝1或r＝±1，說明x與y之間完全線性相關(guān)D.樣本相關(guān)系數(shù)r∈(－1,1)解析樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足－1≤r≤1.D解析答案12342.如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是(

)A.①② B.①③

C.②③ D.③④解析由圖易知①③兩個(gè)圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型.B解析答案12343.下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，那么y關(guān)于x的回歸直線必過()x1234y1357A.點(diǎn)(2,3) B.點(diǎn)(1.5,4)C.點(diǎn)(2.5,4) D.點(diǎn)(2.5,5)C1234解析答案4.x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，1234解析答案(2)變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程.返回規(guī)律與方法