新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何第2講空間點直線平面之間的位置關(guān)系課件

第七章立體幾何第二講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一平面的基本性質(zhì)基本事實1.____________的三點確定一個平面．基本事實2.如果一條直線上的____________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且________________________的公共直線．不共線兩個點只有一條過該點推論1.經(jīng)過一條直線和________________________，有且只有一個平面．推論2.經(jīng)過兩條_________直線，有且只有一個平面．推論3.經(jīng)過兩條_________直線，有且只有一個平面．這條直線外一點相交平行知識點二空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l

直線與直線直線與平面平面與平面獨有關(guān)系圖形語言

符號語言a，b是異面直線a?α

知識點三異面直線所成角、基本事實4及等角定理(1)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的__________________叫做異面直線a與b所成的角．銳角或直角(2)基本事實4.(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線_________.(3)等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角__________.平行相等或互補異面直線的判定定理過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．用符號可表示為：若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線(如圖)．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(

)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(

)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(

)√

×

×(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(

)(5)兩兩相交的三條直線共面．(

)(6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．(

)√

×

×題組二走進教材2．(必修2P147例1)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(

)A．30° B．45°C．60° D．90°C[解析]

連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.故選C.3．(必修2P134例1)如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA上的點．共面(2)若E、F、G、H分別為棱AB、BC、CD、DA的中點，①當(dāng)AC，BD滿足條件__________________時，四邊形EFGH為菱形；②當(dāng)AC，BD滿足條件______________________時，四邊形EFGH為正方形．AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD題組三走向高考4.(2019·新課標(biāo)Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(

)A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B[解析]

連BD、BE，則BD過點N，∵點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，M是線段ED的中點，∴BM?平面BDE，EN?平面BDE，∵BM是△BDE中DE邊上的中線，EN是

△BDE中BD邊上的中線，∴直線BM，EN是相交直線，D[解析]

解法一：如圖，連接BC1，PC1，因為AD1∥BC1，所以∠PBC1或其補角為直線PB與AD1所成的角，因為BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，考點突破·互動探究

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．例1考點一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用——自主練透[解析]

(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)因為EF∥CD1，EF<CD1，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點．1．證明空間點共線問題的方法(1)基本事實法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)基本事實3證明這些點都在這兩個平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上．2．點、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．3．證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．〔變式訓(xùn)練1〕(多選題)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點共面的是()ABC[解析]

在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；如圖所示，在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點共面；D圖中PS與QR為異面直線，∴四點不共面，故選ABC.

(1)(多選題)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是()例2考點二空間兩條直線的位置關(guān)系——師生共研BD(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為______(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)．③④[解析]

(1)圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?HG，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN因此GH與MN異面，故選BD.(2)因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯；取DD1中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④正確，故填③④.1．異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．(2)判定定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．2．判定平行直線的常用方法(1)三角形中位線的性質(zhì)．(2)平行四邊形的對邊平行．(3)平行線分線段成比例定理．(4)公理：若a∥b，b∥c，則a∥c.〔變式訓(xùn)練2〕(多選題)如圖為正方體表面的一種展開圖，則在原正方體中，下列說法正確的是()A．AB與CD是異面直線B．GH與BD相交C．EF∥CDD．EF與GH是異面直線ACD[解析]

畫出該正方體的直觀圖如圖所示，其中異面直線有AB與CD、GH與BD、EF與GH，顯然EF∥CD，故選ACD.(1)(2021·廣西玉林模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，CD的中點，則異面直線D1E與A1F所成的角的余弦值為(

)例3考點三異面直線所成的角——師生共研AD(3)若兩條異面直線a、b所成角為60°，則過空間一點O與兩異面直線a、b所成角都為60°的直線有______條．[解析]

(1)解法一：(平移法)如圖，連接BE，BF、D1F，3解法二：(向量法)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，異面直線D1E與A1F所成角為θ，注：為便于“平移—作角”常將三棱柱補形成平行六面體，將三棱錐補形成三棱柱(如圖)請同學(xué)們自己完成解答．(3)如圖，過O分別作a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成角為60°，如圖易知過O與a′、b′所成角都為60°的直線有3條，即與a，b所成角都為60°的直線有3條．[引申]本例(3)中與異面直線a、b所成角都為75°的直線有______條．注：與異面直線所成角都為θ，則4求異面直線所成角的方法1．定義法定義法求異面直線所成角的步驟(1)找或作：在圖中找或平移異面直線中的一條或兩條構(gòu)造異面直線所成的角．(2)證：說明所作的角是異面直線所成的角．(3)算：尋找或作出含有此角的三角形并解之．(4)取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2022·重慶育才中學(xué)診斷)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，AC與BD所成角為60°，且AC＝BD＝2，E、F分別為BC、AD的中點，則EF＝(

)CD名師講壇·素養(yǎng)提升(1)若E、F、H分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CC1、A1D1的中點，則過E、F、H三點的截面圖形是_______________.例4空間幾何體的截面問題正六邊形[解析]

(1)取A1B1的中點M，連EM，連MC1、EF并延長交于Q，作直線HQ交C1D1于N，交B1A1的延長線于S，作直線SE交A1A于P，交B1B的延長線于R，連FR交BC于M，連EM、FN、HP得過E、F、H三點的截面EMFNHP，易證EMFNHP為正六邊形．(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性