新教材適用2024版高考數(shù)學一輪總復習第7章立體幾何第3講空間直線平面的平行課件

第七章立體幾何第三講空間直線、平面的平行知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理文字語言如果平面外的一條直線與__________________一條直線平行，那么該直線與此平面平行.一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與_____平行．此平面內(nèi)的交線

判定定理性質(zhì)定理圖形語言符號語言知識點二面面平行的判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理文字語言如果一個平面內(nèi)的_____________直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線_________兩條相交平行

判定定理性質(zhì)定理圖形語言符號語言1．若α∥β，a?α，則a∥β.

2．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．

3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．

4．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．

題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．(

)(2)平行于同一條直線的兩個平面平行．(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)×××(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(

)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(

)√××題組二走進教材2．(必修2P142T2)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是(

)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD[解析]

對于選項A，若α存在無數(shù)條直線與β平行，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行，所以選項A的是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到—個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的是α∥β的一個充分條件．故選D.3．(必修2P138T2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為_________.平行[解析]

連BD交AC于F，則F為BD中點，連EF，又E為DD1的中點，∴EF∥BD1，又EF?平面AEC，BD1?平面AEC，∴BD1∥平面AEC.題組三走向高考4．(2017·課標全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(

)A[解析]

B選項中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ.故選A.5．(2021·天津卷(節(jié)選))如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．求證：D1F∥平面A1EC1.解法二：取AD的中點H，連D1H，HE，HF，AC，∴E為BC的中點，∴EH綉CD綉C1D1，∴四邊形C1D1HE為平行四邊形，∴D1H∥C1E，又D1H?平面A1EC1，C1E?平面A1EC1，∴D1H∥平面A1EC1，又F為CD的中點，∴HF∥AC∥A1C1又HF?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1，∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，∴平面HFD1∥平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC1.解法三：以A為原點，AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標系，則考點突破·互動探究(1)(多選題)(2022·河南名校聯(lián)盟質(zhì)檢改編)設有不同的直線a，b和不同的平面α，β，給出下列四個命題中，其中正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，a∥β，則α∥βC．若a⊥α，b⊥α，則a∥bD．若a⊥α，a⊥β，則α∥β例1考點一空間平行關系的基本問題——自主練透CDl?α[解析]

(1)對于A，若a∥α，b∥α，

則直線a和直線b可以相交也可以異面，故A錯誤；對于B，若a∥α，a∥β，則平面α和平面β可以相交，故B錯誤；對于C，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，a∥b，故C正確；對于D，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立，∴D正確；故選CD.(2)①l∥m，m∥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α；②l?α，m?α，l∥m?l∥α；③l⊥m，m⊥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α.故答案為l?α.解答例1(1)這類的判斷題，動手演示比畫圖更準確快捷．將筆、桌面(或墻面)看作直線、平面，當直線與平面平行時，可將筆旋轉(zhuǎn)或平移再做判斷．〔變式訓練1〕(2022·廣東惠州二模)已知m，n，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列說法正確的是(

)A．若m∥α，n?α，則m∥nB．若m?α，n?β且α∥β，則m∥nC．α∥β，m∥β，則m∥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝n，γ∩α＝c且m∥n，則m∥cD[解析]

對于A，m∥α，n?α?m∥n或m與n異面，∴A錯誤；對于B，若m?α，n?β，α∥β?m∥n或m，n異面，∴B錯誤；對于C，若α∥β，m∥β?m∥α或m?α，∴C錯誤；對于D，∵m∥n，n?γ，m?γ，∵m∥γ.∵α∩γ＝c，m?α，∴m∥c.∴D正確．故選D.角度1線面平行的判定例2考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)——多維探究證明：BE∥平面PAD.[證明]

證法一(構造平行四邊形)：如圖，取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)A.證法二(構造中位線)：延長DA、CB相交于H，連PH，證法三(構造平行平面)：取CD的中點H，連BH，HE，∵E為PC中點，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，∴平面BHE∥平面PAD，∴BE∥平面PAD.判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(5)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．注：線面平行的關鍵是線線平行，證明中常構造三角形中位線或平行四邊形．角度2線面平行的性質(zhì)

如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.例3[證明]

如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH.空間中證明兩條直線平行的常用方法(1)利用線面平行的性質(zhì)定理，即a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.已知l∥α，一般找或作過l且與α相交的平面探求解題方向．(2)利用平行公理：平行于同一直線的兩條直線互相平行．(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行．〔變式訓練2〕(1)(角度1)(2022·廣東佛山質(zhì)檢，節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為AD、PC的中點．求證：EF∥平面PAB.B[解析]

(1)證法一：取PB的中點H，連FH、HA，證法二：取BC的中點H，連FH，HE，∵F為PC的中點，∴FH∥BP，又FH?平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E為AD的中點，且四邊形ABCD為平行四邊形，∴HE∥BA，又HE?平面PAB，∴HE∥平面PAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.證法三：連CE并延長交BA的延長線于H，連PH.∵E為平行四邊形ABCD的邊AD的中點，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F為PC的中點，∴EF∥PH，又EF?平面PAB，PH?平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)如圖，取BB1上一點F，使B1F＝1，延長DC1至點E，使DE＝2，連接EF，EF∩B1C1＝N，則由DE綉B(tài)F知EF∥BD，連接ME，(2021·山東泰安市月考節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD為正三角形，E，F(xiàn)，G分別在線段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.證明：平面GBD∥平面PEF.例4考點三兩個平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研[證明]

∵DF＝2FC，BE＝2EC，故△BCD中EF∥BD.∵EF?平面PEF，BD?平面PEF，∴BD∥平面PEF.連接AF交BD于點H，連GH，另解：延長FE與AB延長線交于H，連PH，證明面面平行的方法有(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．*(6)向量法：證明兩平面的法向量平行．注：為便于構造平行線，常對錐體補形．〔變式訓練3〕(2022·南昌模擬節(jié)選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD.設M，N分別為PD，AD的中點．求證：平面CMN∥平面PAB.[證明]

∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.

名師講壇·素養(yǎng)提升(2022·安徽皖北聯(lián)考)如圖，在四棱錐C－ABED中，四邊形ABED是正方形，點G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由．例5平行關系中的探索性問題[解析]

(1)∵四邊形ABED為正方形，F(xiàn)為BD的中點，∴E、F、A共線，連AE，又G為EC的中點，∴GF∥AC，又GF?平面ABC，AC?平面ABC，∴GF∥平面ABC.注：本題也可取BE的中點Q，連GQ、FQ，通過證平面GFQ∥平面ABC來證；或取BC的中點M，AB的中點N，連GM、MN、NF，通過證四邊形GMNF為平行四邊形得GF∥MN來證．(2)當H為BC的中點時，平面GFH∥平面ACD.證明如下：∵G、H分別為EC、BC的中點，∴GH∥BE，又BE∥AD，∴GH∥AD，又GH?平面ACD，AD?平面ACD，∴GH∥平面ACD，又GF∥AC，GF?平面ACD，