新教材適用2024版高考數(shù)學一輪總復習第8章解析幾何第7講拋物線課件

第八章解析幾何第七講拋物線知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一拋物線的定義平面內(nèi)______________________________________________的點的軌跡叫拋物線．點_____叫拋物線的_______，直線_____叫拋物線的_______.注：l經(jīng)過F時，與定點F和定直線l距離相等的點的軌跡為過F與l垂直的一條直線．與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等F焦點l準線知識點二拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離對稱軸y＝0x＝0焦點F_____F_______F________F________離心率e＝_____準線方程____________________________________________1標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝________|PF|＝_________|PF|＝_________|PF|＝____________拋物線焦點弦的處理規(guī)律如圖，直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N，(l為拋物線的準線)．×××√√BBCBCD考點突破·互動探究角度1軌跡問題

動圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是(

)A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線例1考點一拋物線的定義及應用——多維探究D[解析]

設(shè)動圓的圓心為C半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓到直線x＝2距離為r＋1，即動圓圓心到定點(－2,0)和定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線的定義知，動圓的圓心軌跡為拋物線，所以答案為D.角度2到焦點與到定點距離之和最小問題(2021·河北保定七校聯(lián)考)已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2

＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為(

)A．2 B．3C．4 D．5例2B[解析]

設(shè)拋物線x2＝4y的準線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識可知，當C，M，E在一條直線上時，此時CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為|CE|＝2－(－1)＝3，故選B.[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值為______；最小值為________；(ⅱ)若N為⊙C上任一點，則|MF|＋|MN|的最小值為_____.2例3B角度4到兩定直線的距離之和最小問題(2022·陜西西安質(zhì)檢)已知直線l：4x－3y＋6＝0，拋物線y2＝8x上一動點P(x0，y0)到直線l的距離為d，則d＋|x0|的最小值是______.例4利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．(2)距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離問題時，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化．注：看到準線想焦點，看到焦點想準線，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．x2＝8yB(3)(角度3)(2021·山西大學附中模擬)已知點Q(2，0)及拋物線y＝上一動點P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是_____.2C(1)過點P(－3,2)的拋物線的標準方程為________________________.(2)焦點在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標準方程為______________________，準線方程為___________________.例2考點二拋物線的標準方程——自主練透y2＝16x或x2＝－8yx＝－4或y＝2(3)(2022·河南豫北名校模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點A(2，y0)，F(xiàn)為焦點，直線FA交拋物線的準線于點M，滿足2＝，則拋物線方程為(

)A．y2＝8x B．y2＝16xC．y2＝24x D．y2＝32xC32求拋物線的標準方程的方法(1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，若焦點位置確定，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可．(2)因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．一般焦點在x軸上的拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)；焦點在y軸上的拋物線的方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．注：數(shù)形結(jié)合解題時，注意圖形的對稱性，不要丟解．已知焦點坐標或準線方程可確定拋物線標準方程的形式；已知拋物線過某點不能確定拋物線標準方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定．A(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點P(m，－3)到焦點的距離為5，則拋物線方程為(

)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8yD例6考點三拋物線的幾何性質(zhì)——師生共研BB1A1．求拋物線的焦點及準線方程的步驟：(1)把拋物線解析式化為標準方程形式；(2)明確拋物線開口方向；(3)求出拋物線標準方程中參數(shù)p的值；(4)寫出拋物線的焦點坐標或準線方程．2．解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義的應用，通過定義將焦點弦長轉(zhuǎn)化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．3．在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此．注意拋物線上點到焦點距離與到準線距離的轉(zhuǎn)化，關(guān)注圖中的直角梯形(直角三角形)．Bx＋2＝0D(1)(多選題)(2023·湖南湘潭摸底)已知直線l：y＝k(x－1)(k≠0)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，點O為坐標原點，若線段AB的中點是M(m,1)，則()A．k＝2 B．m＝3C．|AB|＝5 D．OA⊥OB例7考點四直線與拋物線的綜合問題——師生共研AC(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程聯(lián)立，消元，用根與系數(shù)的關(guān)系“整體代入”求解．注意根據(jù)拋物線方程確定消x還是消y，一般消一次項變量．(2)求解拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點(設(shè)焦點在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)“中點弦”問題的處理方法——點差法．〔變式訓練4〕(1)(2023·廣東清中、河中、北中、惠中聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則|AF|＋|BF|＝(

)A．4 B．5C．6 D．8C名師講壇·素養(yǎng)提升(1)(多選題)(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝－8y的焦點為F，過F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，分別過A，B兩點作C的切線l1，l2，且l1，l2相交于點P，則()A．|PF|＝4B．點P在直線y＝2上C．△PAB為直角三角形D．△PAB面積的最小值為16例8巧解拋物線的切線問題BCD(2)(2022·河南鄭州質(zhì)檢)已知拋物線C：x2＝4y，過拋物線外一點N作拋物線C的兩條切線，A，B是切點．①若點N的縱坐標為－2，求證：直線AB恒過定點；②若|AB|＝m(m>0)，求△ABN面積的最大值(結(jié)果用m表示)．又直線NA和直線NB都過N(x0，y0)，則x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，從而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在方程x0x＝2(y0＋y)表示的直線上，故直線AB的方程為x0x＝2(y0＋y)，其中y0＝－2，直線AB的方程為：x0(x－0)＝2(y－2)，則直線AB恒過定點(0,2)．利用導數(shù)工具解決拋物線的切線問題，使問題變得巧妙而簡單，若用判別式解決拋物線的切線問題，計算量大，易出錯．注意：(1)過拋物線C：x2＝2py外一點P(x0，y0)引拋物線的兩條切線，切點分別為A、B，則AB：x0x＝p(y0＋y)．(2)直線與拋物線只有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件，過拋物線外一點與拋物線只有一個公共點的直線有0條或3條；過拋物線上一點和拋物線只有一個公共點的直線有2條．〔變式訓練5〕(1)已知拋物線x2＝8y，過點P(b,4)作該拋物線的切線PA，PB，切點為A，B，若直線AB恒過定點，則該定點為(

)A．(4,0)