超幾何分布與二項(xiàng)分布辨析

試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)超幾何分布與二項(xiàng)分布辨析對(duì)于離散型隨機(jī)變量的這兩種分布列，學(xué)生經(jīng)常分不清楚，特別是對(duì)于同一個(gè)具體問題錯(cuò)誤的使用另一種分布列模型時(shí)所求的期望又是正確的，這更加使學(xué)生感到困惑。下面從兩個(gè)方面來區(qū)分這兩種分布列。一、基本概念1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)一般地，在相同條件下，重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．各次試驗(yàn)的結(jié)果不受其它試驗(yàn)的影響．(2)一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率都為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．2．超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，(其中m是M，n中的最小值，n≤N，M≤N，n、M、N∈N*)．則稱分布列X01…mP…為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布記作X～H(N、M、n).3．二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值、方差(1)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(2)若X～H(N、M、n)，則E(X)＝eq\f(nM,N).二、兩種分布列的區(qū)別（一）從抽樣方法來區(qū)分例1、盒子中有大小相同的4個(gè)紅球和6個(gè)黑球.（1）從中每次取出1個(gè)球然后放回，連續(xù)抽取三次，求取到紅球次數(shù)X的分布列。解：由已知X~N(3,0.4)，所以，X的分布列為:（2）從中逐個(gè)不放回的抽取出3個(gè)球（效果等同于一次同時(shí)取出3個(gè)球），求取到紅球個(gè)數(shù)Y的分布列。解：由已知Y服從超幾何分布，所以，Y的分布列為:問題（1）抽取1個(gè)球后放回，每次抽到紅球概率不變——獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此，X=1表示有1次抽到紅球，有可能是在第1、2、3次抽到，所以問題（2）抽取1個(gè)球后不放回，每次抽到紅球概率改變——非獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，從中逐個(gè)不放回的抽取出3個(gè)球（效果等同于一次同時(shí)取出3個(gè)球），因此Y=1表示抽到1個(gè)紅球，若逐個(gè)抽取，有可能是在第1、2、3次抽到，所以從以上對(duì)比可見，超幾何分布與二項(xiàng)分布從抽樣方法上來說，就是不放回抽樣和放回抽樣的區(qū)別。但具體到實(shí)際問題，學(xué)生還是搞不清，這時(shí)還需要從另一個(gè)角度來區(qū)分。（二）從抽取產(chǎn)品的總數(shù)N和其中所含次品的件數(shù)M是否明確來區(qū)分例2、某工廠為檢驗(yàn)其所生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量，從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，檢測(cè)出有兩件次品.（1）從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，其中次品件數(shù)為X，求X分布列和期望；（2）用頻率估計(jì)概率，若所生產(chǎn)的產(chǎn)品按每箱100件裝箱，從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，其中次品件數(shù)為Y，求Y分布列和期望;（3）用頻率估計(jì)概率，從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，其中次品件數(shù)為Z，求Z分布列和期望.分析：第（1）問中，抽取產(chǎn)品的總體N=10，所含次品件數(shù)M=2，都是明確的，所以該隨機(jī)變量的分布為超幾何分布。第（2）問是從一箱產(chǎn)品中抽取，產(chǎn)品的總體N=100是明確的，但其中有多少件次品M是不明確的，有的同學(xué)根據(jù)樣本可認(rèn)為M=20，但違背了題目中的“用頻率估計(jì)概率”這一條件，或者說沒有理解這句話的含義，本質(zhì)上就是概率的定義沒有理解。根據(jù)概率定義，“用頻率估計(jì)概率”這一條件應(yīng)理解為：從這100件產(chǎn)品中任意抽取1件產(chǎn)品，該件產(chǎn)品是次品的概率是0.2，同時(shí)抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，該隨機(jī)變量的分布為二項(xiàng)分布。第（3）問是從所生產(chǎn)的全部產(chǎn)品中抽取，而全部產(chǎn)品有多少件題目條件沒給出，這時(shí)總體N不明確（若總體N明確，就屬于第（2）問情況），其中所含次品件數(shù)M自然也是不明確的。因此，類似的，在“用頻率估計(jì)概率”這一條件，該隨機(jī)變量的分布為二項(xiàng)分布。解：（1）x的可能取值為0，1，2，根據(jù)題意X～H(10、2、3)，所以x分布列為：（2）Y的可能取值為0，1，2，3，根據(jù)題意Y～B(3,0.2)，所以Y分布列為：（3）Z的可能取值為0，1，2，3，根據(jù)題意Z～B(3,0.2)，所以Z分布列為：以上分析用一個(gè)表歸納如下：抽取總體個(gè)數(shù)N總體中所含次品M個(gè)數(shù)隨機(jī)變量分布類型明確明確超幾何分布明確不明確二項(xiàng)分布不明確不明確二項(xiàng)分布從例2可以看到，當(dāng)保持不變，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率與相差越小，因此，當(dāng)N很大時(shí)，超幾何分布可以近似看成二項(xiàng)分布。專題強(qiáng)化訓(xùn)練：1．在全國(guó)第五個(gè)“扶貧日”到來之際，某省開展“精準(zhǔn)脫貧，攜手同行”的主題活動(dòng)，某貧困縣調(diào)查基層干部走訪貧困戶數(shù)量.A鎮(zhèn)有基層干部60人，B鎮(zhèn)有基層干部60人，C鎮(zhèn)有基層干部80人，每人走訪了不少貧困戶.按照分層抽樣，從A,B,C三鎮(zhèn)共選40名基層干部，統(tǒng)計(jì)他們走訪貧困戶的數(shù)量，并將走訪數(shù)量分成5組，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，繪制成如下頻率分布直方圖.（1）求這40人中有多少人來自C鎮(zhèn)，并估計(jì)三鎮(zhèn)基層干部平均每人走訪多少貧困戶.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）如果把走訪貧困戶達(dá)到或超過25戶視為工作出色，以頻率估計(jì)概率，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選取3人，記這3人中工作出色的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.1.【詳解】（1）因?yàn)锳,B,C三鎮(zhèn)分別有基層干部60人，60人，80人，共200人，利用分層抽樣的方法選40人，則C鎮(zhèn)應(yīng)選取80×40所以這40人中有16人來自C鎮(zhèn)因?yàn)閤=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5所以三鎮(zhèn)基層干部平均每人走訪貧困戶28.5戶（2）由直方圖得，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選出1人，其工作出色的概率為3顯然X可取0，1，2，3，且X～B(3,3P(X=0)=(25P(X=2)=C3所以X的分布列為X0123P8365427所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0×2．在貫徹中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過程中，某單位定點(diǎn)幫扶甲、乙兩個(gè)村各50戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對(duì)這100戶村民的年收入情況、勞動(dòng)能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)x和y，制成下圖，其中“*”表示甲村貧困戶，“+”表示乙村貧困戶.若0<x<0.6，則認(rèn)定該戶為“絕對(duì)貧困戶”，若0.6≤x≤0.8，則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶”，若0.8<x≤1，則認(rèn)定該戶為“低收入戶”；若y≥100，則認(rèn)定該戶為“今年能脫貧戶”，否則為“今年不能脫貧戶”.（1）從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，求該戶為“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”的概率；（2）若從所有“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”中選3戶，用ξ表示所選3戶中乙村的戶數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)；（3）試比較這100戶中，甲、乙兩村指標(biāo)y的方差的大小（只需寫出結(jié)論）.2.解析：（1）由圖知，在甲村50戶中，“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”有5戶，所以從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，該戶為“今年不能脫貧的絕對(duì)貧困戶”的概率為P=（2）由圖知，“今年不能脫貧的非絕對(duì)貧困戶”有10戶，其中甲村6戶，乙村4戶，依題意，ξ的可能值為0，1，2，3.從而P(ξ=0)=C63P(ξ=2)=C42所以ξ的分布列為：故ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×1（3）這100戶中甲村指標(biāo)y的方差大于乙村指標(biāo)y的方差.3．某省高考改革實(shí)施方案指出:該省高考考生總成績(jī)將由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門統(tǒng)一高考成績(jī)和學(xué)生自主選擇的學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目共同構(gòu)成,該省教育廳為了解正在讀高中的學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)高考改革方案所持的贊成態(tài)度,隨機(jī)從中抽取了100名城鄉(xiāng)家長(zhǎng)作為樣本進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果顯示樣本中有25人持不贊成意見,如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖.(1)根據(jù)已知條件與等高條形圖完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為“是否贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”?注:,其中.(2)用樣本的頻率估計(jì)概率,若隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長(zhǎng)中抽取3個(gè),記這3個(gè)家長(zhǎng)中是城鎮(zhèn)戶口的人數(shù)為,試求的分布列及數(shù)學(xué)期望.3.解析：（1）完成列聯(lián)表，如下：代入公式，得觀測(cè)值：.∴我們沒有95%的把握認(rèn)為“贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”.（2）用樣本的頻率估計(jì)概率，隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長(zhǎng)中抽中城鎮(zhèn)戶口家長(zhǎng)的概率為0.6.抽中農(nóng)村戶口家長(zhǎng)的概率為0.4，的可能取值為0，1，2，3.，，，.∴的分布列為：.4．據(jù)報(bào)道，全國(guó)很多省市將英語(yǔ)考試作為高考改革的重點(diǎn)，一時(shí)間“英語(yǔ)考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長(zhǎng)在內(nèi)的社會(huì)人士對(duì)高考英語(yǔ)改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3000人進(jìn)行調(diào)查，就“是否取消英語(yǔ)聽力”問題進(jìn)行了問卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：態(tài)度調(diào)查人群應(yīng)該取消應(yīng)該保留無(wú)所謂在校學(xué)生2100人120人y人社會(huì)人士500人x人z人已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.06．（1）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取300人進(jìn)行問卷訪談，問應(yīng)在持“無(wú)所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？（2）在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中在校學(xué)生人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．