方差與標準差

數學·必修3（蘇教版）第2章統計2.3總體特征數的估計2.3.2方差與標準差情景切入

前面我們學習了通過對樣本數據的平均數的分析處理，對總體的水平有了初步的了解，但當兩組數據的平均數相同時，是不是它們的總體水平就相同呢？答案是否定的．這一節(jié)課我們就來看一下，還有哪些方法可以對總體的分布狀態(tài)進行比較分析．1．理解方差，標準差的定義．2．掌握方差，標準差的計算公式，并能用樣本的方差與標準差估計總體的方差與標準差．

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欄目鏈接自主學習1．數據的離散程度可以用極差、________或________來描述．樣本方差描述了一組數據圍繞平均數________的大?。话愕?，樣本的標準差用s表示，s＝________________________________，標準差的平方叫________，用s2表示，s2＝____________________________．2．一般地，樣本的數字特征是指________、________、_____標準差．方差標準差波動方差平均數方差

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注意

(1)方差與極差的區(qū)別：一組數據的最大值與最小值的差稱為極差．極差的大小反映了該組數據集中與分散的程度，但兩組數據集中差異程度不大時，不宜得出結論．(2)概念的理解：①標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大?。畼藴什?、方差越大，數據的離散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越?。虎跇藴什?、方差的取值范圍：[0，＋∞)；標準差、方差為0時，樣本各數據全相等，表明數據沒有波動幅度，數據

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欄目鏈接要點導航沒有離散性；③因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．

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例1為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換，已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如下表：天數/天151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390燈管數1111820251672

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欄目鏈接典例剖析(1)試估計這種日光燈的平均壽命．(2)若定期更換，可選擇多長時間統一更換合適？

總體的平均數與標準差往往很難求，甚至是不可求的，通常的做法就是用樣本的平均數與標準差去估計總體的平均數與標準差，只要樣本的代表性好，這種做法就是合理的．分析：

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(1)各組中值分別為165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得平均數為165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)將(1)組中值對于此平均數求方差：

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欄目鏈接典例剖析(1)在刻畫樣本數據的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．規(guī)律總結：

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欄目鏈接典例剖析(2)平均數和標準差是工業(yè)生產中監(jiān)測產品質量的重要指標，當樣本的平均數或標準差超過了規(guī)定界限的時候，說明這批產品的質量可能距生產要求有較大的偏離，應該進行檢查，找出原因，從而及時解決問題．

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欄目鏈接典例剖析變式訓練

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例2從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下(單位：cm)：甲：25

41

40

37

22

14

19

39

21

42乙：27

16

44

27

44

16

40

40

16

40問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？題型二用樣本平均數、方差(標準差)估計總體

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看哪種玉米的苗長得高，只要比較甲、乙兩種玉米的均高即可；要比較哪種玉米的苗長得整齊，只要看兩種玉米苗高的方差即可，因為方差是體現一組數據波動大小的特征數．分析：解析：

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特別要注意本題兩問中說法的不同，這就意味著計算方式不一樣．平均數和方差是樣本的兩個重要數字特征，方差越大，表明數據越分散；相反地，方差越小，數據越集中．規(guī)律總結：

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欄目鏈接典例剖析變式訓練2．甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，在10天中，兩臺機床每天生產出的次品數分別是：甲0102203124乙2311021101分別計算出兩個樣本的平均數與方差．從計算結果看，哪臺機床10天生產中出次品的平均數較??？出次品的波動較?。?/p>

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