平面的法向量2

平面的法向量1.直線的方向向量

如果向量與直線平行，就稱為直線的方向向量。2、直線的方向向量的應(yīng)用（1）證明兩直線平行設(shè)直線的方向向量為則（2）證明兩直線垂直設(shè)直線的方向向量為則新課講解：1、向量與平面平行，向量與平面垂直（1）如果有向線段AB所在的直線與平面平行，或者AB在平面上，就稱向量與平面平行（2）如果有向線段AB所在的直線與平面垂直，就稱向量與平面垂直2、平面的法向量與平面α垂直的非零向量稱為α的法向量，平面的法向量可以代表平面的方向．一個平面的法向量唯一嗎？提示：不唯一．思考感悟3、平面的法向量的求解與判定若要求出一個平面的法向量，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟為：(1)設(shè)出平面法向量n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；例1

在直棱柱中，與哪些棱平行的向量與平面ABC平行，這些向量是否兩兩互相平行？與哪些棱平行的向量與平面ABC垂直，這些向量是否兩兩平行？例2：已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，試求出平面ABC的一個法向量．【點評】任一平面的法向量有無數(shù)多個．自我挑戰(zhàn)1已知點A(1,0,-1)，B(3,2,0)，C(5,5,2)，求平面ABC的單位法向量．單位法向量4、平面法向量的應(yīng)用：（1）證線面平行（2）證面面平行（3）證線面平行（4）證面面垂直例2

已知正方體.求平面BDA1的一個法向量。例3：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC.【思路點撥】證明線面垂直可以轉(zhuǎn)化為線線垂直，也可以證直線的方向向量與平面的法向量平行．例3

在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，G是△PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：(1)平面EFG⊥平面PBC；(2)EG⊥BC，PG⊥EG.【思路點撥】面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直或兩平面的法向量相互垂直來證明．【證明】

(1)法一：如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明；二是證明兩個平面的法向量互相垂直．

[思路點撥]建立空間坐標(biāo)系．求出平面ADE與平面A1D1F的法向量求解．例5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A1BD∥平面CD1B1.設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且l?α，α與β不重合，則(1)l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(2)l⊥α?a∥u?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)；(3)α∥β?u∥v?(a2，b2，c