（大學(xué)課件）隨機(jī)變量及其分布：邊緣分布

2.5.1邊緣分布函數(shù)與邊緣分布密度2.5.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性2.5.3條件分布§2.5邊緣分布

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)則X和Y的邊緣分布函數(shù)FX(x),FY(y)分別為:2.5.1邊緣分布函數(shù)與邊緣分布密度1

p.1

p.2…p.j

…P{Y=yj}

p1.

p2.

pi.

p11p12…p1j…

p21

p22…

p2j…

pi1

pi2…pij………

x1

x2

xi

P{X=xi}

y1

y2

…yj

…XY

(i=1,2,…)(j=1,2,…)

例如1.離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布(i=1,2,…)(j=1,2,…)

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為pij

=P{X=xi,Y=yj},則(X,Y)的邊緣分布列為FY(y)=F(+∞,y)=

FX(x)=F(x,+∞)=(X,Y)的邊緣分布函數(shù)為：即P1.

p2.···pi.···

pi.x1

x2···xi···

Xp.1

p.2···p.j···

p.jy1

y2···yj···

Y1.離散型二維隨機(jī)向量的邊緣分布

你只要把每列的概率相加放在該列的最下面，把每行的概率相加放在該行的最右面，就大功告成了。把第一行和最后一行拿出來就是X的分布；把第一列和最后一列拿出來就是Y的分布。

例1

已知隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布如下表，求關(guān)于X

和Y的邊緣分布。

邊緣分布pi.和p.j分別是聯(lián)合分布表中第i行和第j列各聯(lián)合概率之和．

YX-10200.10.2010.30.050.120.1500.1

YX-102pi.0120.10.30.150.20.05000.10.10.30.450.25p.j0.550.250.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)由于所以

例2

設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為試求參數(shù)k的值及X和Y的邊緣密度。通常分別稱上式為二維隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)或邊緣密度。2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣概率密度函數(shù)解

根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，有所以

X的邊緣密度函數(shù)

當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)0>x或x>1時(shí),故同理可得

解令可見X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22).

例3

設(shè)(X，Y)服從N(μ1，σ12；μ2，σ22；ρ)，求邊緣密度。

定義設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y有F(x，y)=FX(x)FY(y)P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}則稱隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的。1.(X,Y)是離散型

若(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj)(i,j=1,2,…),則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)一切i,j=1,2,…,有P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yi}

即2.5.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性

定理1

若(X,Y)的f(x,y)處處連續(xù)，則X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是

f(x,y)=fX(x)·fY(y)2.(X,Y)是連續(xù)型證明

充分性：若f(x,y)=fX(x)·fY(y)，則

必要性：若X、Y互相獨(dú)立，則F(x,y)=FX(x)·FY(y)，故f(x,y)=fX(x)·fY(y)即例4

如果二維隨機(jī)變量的概率分布用下列表格給出

那么當(dāng)

,

取什么值時(shí)，X與Y才能相互獨(dú)立？

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)PYX123pi.11/61/91/181/321/3

1/3+

+

p.j1/21/9+

1/18+

解先寫出聯(lián)合分布的表格形式，并計(jì)算邊緣分布．聯(lián)立以上兩式求得

若與相互獨(dú)立，則對(duì)于所有的i,j，都有

pij=pi.p.j

因此

例5

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)x=2和y=1的指數(shù)分布，求

解據(jù)題意，X的密度函數(shù)為

Y的密度函數(shù)為

因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X與Y的聯(lián)合密度為：于是

今向一個(gè)半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，則點(diǎn)落在圓內(nèi)面積相等的不同區(qū)域內(nèi)的概率相等，即落點(diǎn)坐標(biāo)(X,Y)服從D：x2+y2≤r2區(qū)域上的均勻分布.

（1）判斷X與Y是否相互獨(dú)立；（2）計(jì)算落點(diǎn)（X，Y）到原點(diǎn)的距離不超過a的概率(0<a<r).

例6(二維均勻分布)

設(shè)D為平面上面積為A的有界區(qū)域,若(X,Y)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在D內(nèi)面積相等的不同區(qū)域中的概率相等，則（X，Y）稱在區(qū)域D上服從均勻分布.類似于一維隨機(jī)變量均勻分布的密度函數(shù)，二維均勻分布的密度函數(shù)為

解把坐標(biāo)原點(diǎn)置于圓心建立直角坐標(biāo)系,該圓域的面積為

r2，則的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）判斷X與Y是否獨(dú)立，即判斷對(duì)于一切的，等式

是否成立.先求邊緣分布密度fX(x)和fY(y),當(dāng)

x≤r時(shí)當(dāng)

x＞r時(shí)fX(x)=0,

即（2）落點(diǎn)(X,Y)與原點(diǎn)的距離為

求落點(diǎn)(X,Y)到原點(diǎn)的距離不超過a的概率，即同理，可求得Y的邊緣密度函數(shù)

很顯然fX(x)fY(y)≠f(x,y)

，所以X與Y不獨(dú)立.

(X,Y)的分布(X,Y)的邊緣分布

一般F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}FX(x)=P{X≤x,Y≤+∞}FY(y)=P{X≤+∞,Y≤y}

離散型

F(x,y)=P{X=xi,Y=yj}=pijpi.=P{X=xi}=p.j=P{Y=yj}=

連續(xù)型條件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0

稱為在Y=yi的條件下，X的條件分布。

一、離散型隨機(jī)向量(X,Y)的條件分布1.定義

設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列為

在已知Y=yj的條件下(P{Y=yj}＞0)，X的條件概率pij=p{X=xi,Y=yj}(i,j=1,2,…)2.2.3條件分布

類似地，當(dāng)P{X=xi}＞0時(shí),在X=xi的條件下，Y的條件分布為2.條件分布的性質(zhì)（1）P{X=xi|Y=yj}≥0（2）3.2.3條件分布條件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0

一、離散型隨機(jī)向量(X,Y)的條件分布1.條件分布函數(shù)

設(shè)對(duì)于任意小的Δx>0，有P{x<X<x+Δx}>0若存在,則稱此極限為X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)。且有P{Y≤y|X=x}或FY|X(y|x)記作

二、連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的條件分布

事實(shí)上，若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，fx(x)連續(xù)，且fx(x)>0,則有

對(duì)y求導(dǎo)，得到在條件X=x下Y的條件概率密度

類似地，在條件Y=y下，X的條件分布函數(shù)及條件概率密度為

例7