2023學(xué)年完整公開(kāi)課版角的平分線

16.3角的平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)：會(huì)用尺規(guī)作角的平分線。通過(guò)操作、實(shí)驗(yàn)等方式，掌握角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。能運(yùn)用角的平分線定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題。復(fù)習(xí)：角平分線的定義：如圖所示，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的角平分線。OBACOBAC∠AOC=∠BOC=∠AOB/2∠AOB=2∠AOC=2∠BOC由角平分線得到的結(jié)論探究1：如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)上，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，則AE就是∠BAD的平分線。你能說(shuō)出它的道理嗎？D····CBAE在△ADC和△ABC中，AD=ABDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ABC∴∠DAE=∠DAE（SSS）觀察思考：可見(jiàn)，以上作圖中因?yàn)楸ＷC了兩個(gè)條件：(1)AB＝AD(2)DC＝BC所以作出來(lái)的射線OC是∠BAD的平分線！我們能否依據(jù)這個(gè)原理設(shè)計(jì)出一個(gè)作∠AOB角平分線的方法呢？ABOEDC尺規(guī)作圖已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺規(guī)作角的平分線.1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.3.作射線OC.請(qǐng)你說(shuō)明OC為什么是∠AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流.老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要準(zhǔn)確掌握.ABOC則射線OC就是∠AOB的平分線.ED探究2：角平分線有什么性質(zhì)呢？作∠AOB的平分線OC，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).

1.操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等AOBPED證明結(jié)論：CAOBEDPC∵OC平分∠AOB,∴

∠AOC＝∠BOC∵

PD⊥OA，PE⊥OB證明：∴

∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△POE中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴

PD＝PE已知：如圖所示，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.你能用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)嗎？

到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上。已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。角平分線的判定定理AOBPDEC用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠AOC=∠BOC.1.填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(2).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(___________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在角平分線上。角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等基礎(chǔ)練習(xí)：圖1圖2B（1）下列兩圖中，能表示直線l1上一點(diǎn)P到直線l2的距離的是（）圖12.選擇題：基礎(chǔ)練習(xí)：（2）下列兩圖中，能表示角的平分線上的一點(diǎn)P到角的邊上的距離的是（）圖1圖1圖2基礎(chǔ)練習(xí)：（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。BDCD基礎(chǔ)練習(xí)：3.判斷：（）×（2）∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。BDCD（×）基礎(chǔ)練習(xí)：4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，BC=8，BD=5，求DE。ABCDE12證明：∵∠C=90°（已知）∴DC⊥AC（垂直的定義）又∵AD是∠CAB的角平分線，

DE⊥AB（已知）∴CD=DE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）又∵BC=8，BD=5∴CD=BC－BD=8－5=3∴DE=3基礎(chǔ)練習(xí)：5.已知：如圖，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求證（1）∠ABC=

∠ABC

′

；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）CBAC′基礎(chǔ)練習(xí)：證明：∵∠C=∠C′=90°，AC=AC′

（已知）∴∠ABC=

∠ABC

′

（到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上）又∵∠ABC+∠BAC=∠ABC

′+∠BAC′=90°（直角三角形的兩銳角互余）∴

∠BAC=∠BAC′（等角的余角相等）又∵∠C=∠C′=90°

（已知）∴BC=BC′（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）1.已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：（1）點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

（2）AP平分∠A.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF（等量代換）.即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等∴AP平分∠A（在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）DEFABCPMN提高訓(xùn)練證明：∵AD平分∠CAB，

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì))在Ｒt△FCD和Rt△DBE中

CD=DE（已證）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）