三角形的高中線與角平分線 省賽獲獎(jiǎng)

§11.1.2三角形的高、中線與角平分線1.垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。相關(guān)知識(shí)回顧你還記得“過一點(diǎn)畫已知直線的垂線”嗎?012345678910012345012345畫法012345678910012345012345012345678910012345012345三角形的高三角形高的定義：從三角形中的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形這邊的高。動(dòng)手：請(qǐng)你畫一個(gè)銳角△ABC

作BC邊上的高AD

作AC邊上的高BE

作AB邊上的高CF三角形的三條高請(qǐng)你畫一個(gè)直角三角形，并作出它的三條高請(qǐng)你畫一個(gè)鈍角三角形，并作出它的三條高BACDEF直角三角形的三條高ABC直角邊BC邊上的高是

;AB直角邊AB邊上的高是

;CB直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).D斜邊AC邊上的高是

;BD●鈍角三角形的三條高ABCDEF(1)

鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)O小結(jié):三角形的高注意：1、三角形的高有三條

2、三條高所在直線交于1點(diǎn)（垂心）

3、高是線段∵AD是△ABC的高（已知）∴∠ADC=∠ADB=90

（高的定義）幾何概念：BACD相關(guān)知識(shí)回顧1.線段中點(diǎn)的定義：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)。做一做動(dòng)手：請(qǐng)你任意畫△ABC

取BC中點(diǎn)D,連接AD

取AB中點(diǎn)F,連接CF

取AC中點(diǎn)E,連接BE三角形的中線中線的定義：在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形這邊的中線.問：對(duì)于任意一個(gè)三角形，中線的交點(diǎn)在哪里呢？ABCD●●三角形的中線ABCD∵AD是△ABC的中線（已知）∴BD=CD=

12BC●●EFO（中線的定義）注意：1三角形的中線有三條

2三條中線交于1點(diǎn)（重心）

3中線是線段相關(guān)知識(shí)回顧角平分線的定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。A BC

請(qǐng)你畫出任意一個(gè)△ABC所有的角平分線。三角形的角平分線ABCD●●︶︶12三角形的角平分線的定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角平分線。問：對(duì)于任意一個(gè)三角形，三角形的角平分線的交點(diǎn)在哪里呢？三角形的角平分線∵AD是△ABC的角平分線（已知）∴∠BAD=∠CAD=１２∠BAC注意：1三角形的角平分線有三條2三條角平分線交于1點(diǎn)（內(nèi)心）3三角形的角平分線是線段（角平分線定義）ABCD●●︶︶12例1、點(diǎn)D是△ABC的BC邊上的一點(diǎn)?！連D=CD，∴線段AD是△ABC的___∵∠BAD=∠CAD，∴線段AD是△ABC的_____∵∠ADC=90°，∴線段AD是△ABC的___中線角平分線高例題講解（一）例1、如圖，BD=DE=EF=FC。AD是△____的中線，____是△AEC的中線，AE是△____和△_____的中線。

BDEFCA例題講解（二）ABEAFABCADF2.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形B3.在下圖中，如果AE=ED=DC，則BE、BD分別是

的中線，圖中有沒有面積相等的三角形？△ABD、△BCE例3、如圖，AD是△ABC的角平分線，AC∥DE,DE交

AB于E，DF∥AB,DF

交AC

于F，圖中∠1與∠2有什么關(guān)系？為什么？解:相等,理由是:∵AD是△ABC的角平分線(已知)∵∠3=∠4(角平分線定義)∵AC∥DE(已知)∴∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵DF∥AB(已知)∴∠3=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∴∠1=∠2(等量代換)三角形的重要線段概念圖形表示法三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段∵AD是△ABC的BC上的高線.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中線三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中的線段∵

AD是△ABC的BC上的中線.∴

BD=CD=

?BC.

三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分線∴∠1=∠2=?∠BAC

小結(jié)：如果三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。三角形的穩(wěn)定性拓廣探索要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，