第三章-模糊邏輯和模糊邏輯推理

第三章模糊邏輯和

模糊邏輯推理3.1二值邏輯3.2模糊邏輯及其基本運(yùn)算3.3模糊語(yǔ)言邏輯3.4模糊變換3.5模糊邏輯推理模糊控制篇3.1二值邏輯對(duì)一句話，如果能夠判斷它表述的意思是真是假時(shí)，就可以稱為命題。一個(gè)簡(jiǎn)單的語(yǔ)句叫“簡(jiǎn)單命題”，用命題聯(lián)結(jié)詞把兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單命題聯(lián)結(jié)起來(lái)叫“復(fù)合命題”。命題聯(lián)結(jié)詞有：析取∨、合取∧、否定ˉ、蘊(yùn)涵→等價(jià)←→

一、命題的概念二、二值邏輯——非是即非析取∨：意思是“或”。復(fù)合命題P∨Q只有在P和Q都是假時(shí)，才是假。例如：P＝她喜歡吃雪糕，Q＝她喜歡喝可樂(lè)。

P∨Q＝她喜歡吃雪糕或喜歡喝可樂(lè)。合取∧：意思是“與”。復(fù)合命題P∧Q只有在P和Q都是真時(shí)，才是真。例如：P＝她喜歡吃雪糕，Q＝她喜歡喝可樂(lè)。

P∧Q＝她喜歡吃雪糕和（與）喝可樂(lè)。蘊(yùn)涵→：意思是“如果….那么….”例如：P＝是女孩子，Q＝她喜歡漂亮。

P→Q＝如果是女孩子那么她喜歡漂亮。等價(jià)←→：意思是“當(dāng)且僅當(dāng)”例如：P＝A是等邊三角形，Q＝A是等角三角形。

P←→Q＝A是等邊三角形當(dāng)且僅當(dāng)A是等角三角形。二值邏輯的運(yùn)算規(guī)則稱為布爾代數(shù)，布爾代數(shù)是描述邏輯運(yùn)算規(guī)律的數(shù)學(xué)，又稱邏輯代數(shù)。若

、

、

{0，1}，則布爾代數(shù)具有如下的運(yùn)算性質(zhì)：1)冪等律2)交換律3)結(jié)合律4)吸收律5)分配律6)雙否律7)互補(bǔ)律8)德

摩根律9)常數(shù)運(yùn)算法則3.2模糊邏輯及其基本運(yùn)算二值邏輯的特點(diǎn)是一個(gè)命題不是真命題便是假命題。但在很多實(shí)際問(wèn)題中要做出這種非真即假的判斷是困難的。比如說(shuō)“重慶的橋多”這顯然是一個(gè)命題，但是這個(gè)命題究竟是真是假？那要看跟誰(shuí)比較了，如果說(shuō)“重慶的橋比較多”可能更為合適。也就是說(shuō)如果命題的真值不是簡(jiǎn)單的取“1”或“0”，而是可以在[0，1]區(qū)間連續(xù)取值，這樣對(duì)此類命題的描述就更切合實(shí)際了。這就是模糊命題。模糊命題是指帶有模糊概念或模糊性的陳述句，是普通命題的推廣，而模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。一、模糊邏輯的定義模糊命題的真值不是絕對(duì)的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隸屬于“真”。因此，它不只是一個(gè)值，而是有多個(gè)值，甚至是連續(xù)量。

普通命題的真值相對(duì)于普通集合中元素的特征函數(shù)，而模糊命題的真值就是隸屬度函數(shù)，所以模糊邏輯的基本運(yùn)算，即真值的運(yùn)算，就是隸屬度函數(shù)的運(yùn)算。二、模糊邏輯的基本運(yùn)算設(shè)P、Q、R是三個(gè)模糊命題，那么1、模糊邏輯補(bǔ)：對(duì)命題否定，2、模糊邏輯析?。篜∨Q＝max（P，Q）3、模糊邏輯合?。篜∧Q＝min（P，Q）4、模糊邏輯蘊(yùn)涵：如P是真的，則

Q也是真的。

P→Q＝（1－P＋Q）

∧

1

＝min{1,（1－P＋Q）

}5、模糊邏輯等價(jià)：如P是真的，則

Q也是真的。

P←→Q＝（P→Q）

∧

（Q→P）模糊邏輯的基本運(yùn)算模糊邏輯的基本運(yùn)算6、模糊邏輯限界積：7、模糊邏輯限界和：8、模糊邏輯限界差：P＝她是個(gè)刁蠻的人，其真值P＝0.8Q＝她是個(gè)潑辣的人，其真值Q＝0.6那么

P∧Q＝min（P，Q）＝min(0.8,0.6)=0.6

P∨Q＝max（P，Q）＝max(0.8,0.6)=0.8

P→Q＝(1－P＋Q）∧1＝

(1－0.8＋0.6)∧1=0.8 模糊邏輯的基本運(yùn)算例：設(shè)有模糊命題

根據(jù)模糊邏輯的基本運(yùn)算定義，可以得出模糊邏輯運(yùn)算滿足模糊運(yùn)算的基本定律，除了互補(bǔ)律外，其它八條定律與二值邏輯類似，模糊運(yùn)算的互補(bǔ)律不成立，其互補(bǔ)運(yùn)算滿足：作用：利用模糊邏輯運(yùn)算滿足的基本定律公式可以化簡(jiǎn)模糊邏輯函數(shù)。3.3模糊語(yǔ)言邏輯所謂語(yǔ)言，通常指自然語(yǔ)言和人工語(yǔ)言。自然語(yǔ)言是指人類交流信息時(shí)使用的語(yǔ)言，它可以表示主、客觀世界的各種事物、觀念、行為、情感等。自然語(yǔ)言具有相當(dāng)?shù)牟淮_定性，其主要特征就是模糊性，這種模糊性主要是由于自然語(yǔ)言中經(jīng)常用到大量的模糊詞(如黎明、模范、優(yōu)美、擁護(hù)等)。人工語(yǔ)言主要是指程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，如我們熟悉的C語(yǔ)言、匯編語(yǔ)言等。人工語(yǔ)言的格式是非常嚴(yán)密、且概念十分清晰。顯然，模糊語(yǔ)言主要是指自然語(yǔ)言。一、模糊語(yǔ)言的概念廣義角度來(lái)講，一切具有模糊性的語(yǔ)言都稱為模糊語(yǔ)言。我們知道，人們?cè)谌粘Ｉ钪薪涣餍畔r(shí)，常常使用模糊語(yǔ)言來(lái)表達(dá)具有模糊性的現(xiàn)象和事物?？梢?jiàn)，模糊語(yǔ)言可以對(duì)自然語(yǔ)言的模糊性進(jìn)行分析和處理。另外，需要指出的是模糊語(yǔ)言又具有靈活性，在不同的場(chǎng)合，某一模糊概念可以代表不同的含義。如“高個(gè)子”，在中國(guó)，把大約在1.75—1.85m之間的人歸結(jié)于“高個(gè)子”模糊概念里，而在歐洲，大約在1.80一1.90m之間的人才能算作“高個(gè)子”。綜上所述，模糊語(yǔ)言實(shí)質(zhì)上是具有模糊性的語(yǔ)言。模糊語(yǔ)言邏輯是由模糊語(yǔ)言構(gòu)成的一種模擬人思維的邏輯。要將模糊語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，使機(jī)器能模擬人的思維、推理和判斷，就需要了解模糊數(shù)、語(yǔ)言值、語(yǔ)言變量和語(yǔ)氣算子這些概念.二、模糊數(shù)連續(xù)論域U中的一模糊數(shù)F是一個(gè)U上的正規(guī)凸模糊集。也就是說(shuō)，以實(shí)數(shù)集合為全集合，一個(gè)具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正規(guī)的有界凸模糊集合就稱為模糊數(shù)。模糊數(shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)模糊子集。而所謂“正規(guī)集合”的含義就是隸屬度函數(shù)的最大值為1，即通俗地講，模糊數(shù)就是那些諸如“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)值。三、語(yǔ)言值在語(yǔ)言系統(tǒng)中，那些與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，如長(zhǎng)、短、多、少、高、低、輕、重、大、小等或者由他們?cè)偌由险Z(yǔ)言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來(lái)的詞組，如不太大、非常高、偏重等都被稱為語(yǔ)言值。語(yǔ)言值一般是模糊的，可以用模糊數(shù)來(lái)表示。例如，成年男子身高的論域：E={130,140,150,160,170,180,190,200,210}={e1,e2,…,e9}在論域上定義語(yǔ)言值：[個(gè)子高]=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+0.95/e8+1/e9[個(gè)子矮]=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e5四、語(yǔ)言變量

語(yǔ)言變量是用一個(gè)五元素的集合來(lái)表征的：其中：

X——語(yǔ)言變量名（如速度、年齡、顏色）；T（X）——語(yǔ)言變量名的集合；

U

——語(yǔ)言變量x的論域；

G——語(yǔ)法規(guī)則（用于產(chǎn)生語(yǔ)言變量

x的值）；

M

——算法規(guī)則（與每個(gè)語(yǔ)言變量含義相聯(lián)系）。所謂語(yǔ)言變量是以自然語(yǔ)言中的字或句作為變量，而不是以數(shù)值作為變量。10語(yǔ)言變量元素之間的關(guān)系示意圖

語(yǔ)言變量用以表征那些十分復(fù)雜或無(wú)法用精確術(shù)語(yǔ)進(jìn)行描述的現(xiàn)象，其必須遵守語(yǔ)法規(guī)則和算法規(guī)則。為了能夠更加確切地描述模糊語(yǔ)言變量，進(jìn)一步區(qū)分和刻劃模糊值得程度，常常還借用自然語(yǔ)言中的修飾詞，如“很”、“較”、“非?！?、“有點(diǎn)”、“大約”、“稍微”等來(lái)描述模糊值，為此引入模糊語(yǔ)言算子的概念。

語(yǔ)言算子分為語(yǔ)氣算子、模糊化算子和判定化算子三類：

語(yǔ)氣算子是指一類加強(qiáng)或削弱模糊語(yǔ)言表達(dá)程度的詞，可加在其他模糊詞的前面進(jìn)行修飾。

加強(qiáng)語(yǔ)氣的詞稱為集中算子，如“特別”、“很”、“相當(dāng)”等等；減弱語(yǔ)氣的詞稱為散漫化算子，如“較”、“稍微”、“有點(diǎn)”等。1、語(yǔ)氣算子記H

為語(yǔ)氣算子運(yùn)算符，則原語(yǔ)言值A(chǔ)經(jīng)語(yǔ)氣算子H

的作用，形成一個(gè)新的語(yǔ)言值H

(A)。設(shè)原語(yǔ)言值A(chǔ)的隸屬度函數(shù)為

A，新的語(yǔ)言值H

(A)的隸屬度函數(shù)為

H(A)，則

極λ＝4

非常λ＝3很λ＝2相當(dāng)λ＝1.5比較λ＝0.8略λ＝0.6稍λ＝0.4常用的語(yǔ)氣算子

定義為：當(dāng)然，語(yǔ)氣強(qiáng)弱的程度因人而異，對(duì)于某一特定語(yǔ)氣的詞,其

的取值不完全一樣，但是其取值應(yīng)與語(yǔ)氣的強(qiáng)弱程度一致。以“年老”這個(gè)詞(語(yǔ)言值)為例，來(lái)說(shuō)明語(yǔ)氣算子的作用則例：以及假設(shè)有兩個(gè)人，一個(gè)是60歲，另一個(gè)是70歲，那么他們分別屬于“年老”、“很老”、“有點(diǎn)老”這三個(gè)語(yǔ)言值的隸屬度可用公式求出為：從上面的隸屬度可以得出這樣的結(jié)論：70歲的人比60歲的人“年老”、“很老”和“有點(diǎn)老”的程度都高，也就是說(shuō)70歲的人比60歲的人更老。2、模糊化算子模糊化算子用來(lái)使語(yǔ)言中某些具有清晰概念的單詞或詞組的詞義模糊化，或者將原來(lái)就已經(jīng)是模糊概念的詞義更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大約”等，如果對(duì)數(shù)字進(jìn)行作用就意味著把精確數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊數(shù).例如數(shù)字“5”是一個(gè)精確數(shù)，而如果將模糊化算子“F”作用于“5”這個(gè)精確數(shù)就變成“F(5)”這一模糊數(shù)。若模糊化算子“F”是“大約”，則“F(5)”就是“大約5”這樣一個(gè)模糊數(shù)。在模糊控制中，實(shí)際系統(tǒng)的輸入采樣值一般總是精確量，要采用模糊邏輯推理方法進(jìn)行模糊控制，就必須首先把精確量進(jìn)行模糊化處理，而模糊化的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是使用模糊化算子來(lái)實(shí)現(xiàn)的。可見(jiàn)模糊化算子的重要性。設(shè)模糊前的集合為A，模糊化算子為F，則模糊化變換可表示為F(A)，并且它們的隸屬函數(shù)關(guān)系滿足如果A是清晰集，則

A(x)就是特征函數(shù)。

R(x，c)是表示模糊程度的一個(gè)相似變換函數(shù)，通常可取正態(tài)分布曲線,即參數(shù)

的取值大小取決于模糊化算子的強(qiáng)弱程度。例:

論域X上的清晰集A（x）的特征函數(shù)為取c＝5，則”大約是5”這一語(yǔ)言值的隸屬度函數(shù)可以定義為

如右圖所示：3、判定化算子判定化算子與模糊化算子的作用相反。它是將原來(lái)具有模糊詞義的詞進(jìn)行肯定化處理。如“趨向于”、“大半是”、“偏向于”等。設(shè)判定化前的集合為A，它的隸屬函數(shù)為μA(x)，判定化算子為P，則判定化變換可以表示為P（A），它們的隸屬函數(shù)關(guān)系滿足當(dāng)取

=1/2時(shí)，P1/2可用來(lái)表示“趨向于”。3.4模糊變換基于模糊關(guān)系的模糊變換是模糊控制中極為重要的運(yùn)算過(guò)程。

所謂模糊變換，是指給定兩個(gè)集合之間的一個(gè)模糊關(guān)系，據(jù)此將一個(gè)集合上的模糊子集經(jīng)運(yùn)算得到另一個(gè)集合上的模糊子集的過(guò)程。在模糊控制中，通過(guò)模糊變換可以從輸入的模糊量求出所需的輸出模糊量。R=A×BA’B’如圖所示，當(dāng)控制器的模糊關(guān)系R確定之后，若輸入為A’，則可經(jīng)運(yùn)算，求得控制器的輸出B’。上式就是模糊變換，結(jié)果B’實(shí)際上是模糊子集A’和模糊關(guān)系矩陣R的合成，它把X中的模糊集A’變?yōu)閅上的模糊集B’

，實(shí)現(xiàn)了論域的轉(zhuǎn)換。當(dāng)R表示的是某種邏輯因果關(guān)系時(shí)，則模糊變換就是一種模糊推理。設(shè)R為X×Y上的模糊關(guān)系，A’是X上的模糊子集，則可求出相應(yīng)的B’為3.5模糊邏輯推理常規(guī)的邏輯推理方法如演繹推理、歸納推理都是嚴(yán)格的。用傳統(tǒng)二值邏輯進(jìn)行推理時(shí)，只要推理規(guī)則是正確的，小前提是肯定的，那么就一定會(huì)得到確定的結(jié)論。例如，前提：如果A，則B，如果B，則C。結(jié)論：如果A，則C。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中人們常常獲得的信息是不精確的、不完全的、或者事實(shí)本身就是模糊而不能完全確定的。但又需要人們利用這些信息進(jìn)行判斷和決策。例如，若A大，則B小。已知A較大，則B應(yīng)該多少?顯然這樣一類問(wèn)題利用傳統(tǒng)的二值邏輯是無(wú)法得到結(jié)果的，而人們?cè)诖蟛糠智闆r下能夠?qū)ζ溥M(jìn)行推理和判斷，那么這種不確定性推理的規(guī)則是什么呢?目前有關(guān)這方面的理論和方法還不成熟，尚在發(fā)展之中目前已知的主要不確定性推理方法可歸結(jié)為四類：MYCIN法、主觀貝葉斯方法、證據(jù)理論法和模糊邏輯推理法模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。雖然它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)沒(méi)有形式邏輯那么嚴(yán)密，但用這種推理方法得到的結(jié)論與人類的思維推理結(jié)論是一致或相近的，并在實(shí)際使用中得到了驗(yàn)證，因此模糊邏輯推理方法已經(jīng)受到了廣泛的重視。模糊邏輯推理是以模糊判斷為前提的，運(yùn)用模糊語(yǔ)言規(guī)則，可推出一個(gè)新的模糊判斷結(jié)論的方法。例大前提：腿長(zhǎng)則跑步快小前提：小王腿很長(zhǎng)結(jié)論：小王跑步很快大前提：腿長(zhǎng)則跑步快小前提：小王腿很長(zhǎng)結(jié)論：小王跑步很快它近似于二值邏輯的三段論推理模式。在這里“腿長(zhǎng)”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判斷和大前提的前件不是嚴(yán)格相同的。因此這一推理的結(jié)論也不是從前提中嚴(yán)格地推出來(lái)的而是近似邏輯地推出的結(jié)論。通稱為假言推理或是似然推理。

判斷是否屬于模糊邏輯推理的標(biāo)準(zhǔn)是看推理過(guò)程是否具有模糊性，具體表現(xiàn)看為推理規(guī)則是不是模糊的。在模糊邏輯推理中有兩種重要的推理方法，廣義取式（肯定前提）推理和廣義拒式（否定結(jié)論）推理：（1）廣義取式（肯定前提）推理前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果x是A’

，結(jié)論：y是B’（2）廣義拒式（否定結(jié)論）推理前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果y不是B’

，結(jié)論：x不是A’其中A，B，A’，B’均為模糊集合，x和y為語(yǔ)言變量。后面的介紹將以廣義取式為例模糊邏輯的推理方法還在發(fā)展之中，比較典型的有扎德(Zadeh)方法、瑪達(dá)尼(Mamdani)方法、鮑德溫(Baldwin)方法、耶格(Yager)方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法。

從條件變量的多少、模糊規(guī)則多少的角度來(lái)劃分，模糊規(guī)則推理方法又可分為四種模糊推理規(guī)則：近似推理、模糊條件推理、多輸入模糊推理和多輸入多規(guī)則推理。

值得指出的是，這四種推理規(guī)則都可以選用不同的推理方法(如扎德法、瑪達(dá)尼法、鮑德溫法等)，但通常最簡(jiǎn)單、最方便的推理法還是瑪達(dá)尼的極大極小推理法。下面以模糊取式推理為例，從近似推理、模糊條件推理、多輸入模糊推理和多輸入多規(guī)則推理四種推理方法來(lái)進(jìn)行介紹。一、近似推理規(guī)則ifAthenB在控制系統(tǒng)中經(jīng)常存在此類現(xiàn)象，“如果溫度低，則控制電壓就增大”這樣一個(gè)前提下，要問(wèn)“如果溫度很低，則控制電壓將該是多少呢?”。很自然用人們的常識(shí)可以推知：“如果溫度很低，則控制電壓就很大”，這種推理方式就稱為模糊近似推理。這種推理方式可以這樣來(lái)表達(dá)：要得到結(jié)論B’關(guān)鍵在于如何計(jì)算模糊關(guān)系矩陣R=A

B前提1：如果x是A，則y是B前提2：如果x是A’

，結(jié)論：y是B’=A’

R=A’

(A

B)1、Zadeh

推理法根據(jù)不同的推理方法可以得到模糊關(guān)系矩陣R的元素μA

B(x,y)的不同計(jì)算方法，主要有兩種：R=（A

B）=（A

B）

（1-

A）其隸屬度函數(shù)為推理結(jié)果為B’=A’

R=A’

[（A

B）

（1-

A）]其隸屬度函數(shù)為2、Mamdani

推理法R=（A

B）=A×B=A

B其隸屬度函數(shù)為Mamdani把模糊蘊(yùn)涵關(guān)系用A和B的笛卡爾積（直積）表示：推理結(jié)果為B’=A’

R=A’

（A

B）其隸屬度函數(shù)為論域X＝Y(jié)＝{1，2，3，4，5}，在X和Y上有三個(gè)模糊子集“大”、“小”、“較小”，分別如下： “大”＝0.4/3+0.7/4+1/5 “小“＝1/1+0.7/2+0.3/3 “較小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4已知規(guī)則：為若x小，則y大，那么當(dāng)x＝較小時(shí)，y＝？例已知解：（1）由Zadeh推理法且可以得到x小到y(tǒng)大的模糊關(guān)系矩陣Rzd由上面的隸屬度值可知，當(dāng)x較小時(shí)“y較大”，因此可以得到x較小時(shí)的推理結(jié)果：從中可以看出，Zadeh的推理結(jié)果與人們的思維是一致的。模糊關(guān)系合成：（2）由Mamdani推理法也可以得到x小到y(tǒng)大的模糊關(guān)系矩陣Rmin由上面的隸屬度值可知，當(dāng)x較小時(shí)“y大”，因此可以得到x較小時(shí)的推理結(jié)果：在這里,Zadeh推理比Mamdani推理更符合人們的思維。ifAthenB的Mamdani推理法即單個(gè)前提單個(gè)規(guī)則推理：二、模糊條件推理ifAthenBelseC要實(shí)現(xiàn)模糊推理的關(guān)鍵是找出模糊關(guān)系矩陣，根據(jù)邏輯表達(dá)式，其模糊關(guān)系R是X×Y

的子集：由Mamdani推理法可得模糊關(guān)系R的隸屬度函數(shù)為：前提1：如果x是A，則y是B，否則y是C前提2：如果x是A’

，結(jié)論：y是B’=A’

R輸入為A’時(shí)模糊控制器的輸出B’：輸出B’的隸屬度函數(shù)為：一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入為A（溫度高）時(shí)，輸出為B（濕度?。?，否則輸出C（濕度不?。Ｒ阎?/p>

A＝1/x1+0.4/x2+0.1/x3B=0.8/y1+0.5/y2+0.2/y3C=0.5/y1+0.6/y2+0.7/y3問(wèn)題：當(dāng)輸入A’=0.2/x1+1/x2+0.4/x3時(shí)，輸出B’？例：先求關(guān)系矩陣R：所以A＝{10.40.1}B={0.80.50.2}C={0.50.60.7}因?yàn)镸amdani推理法：因此A’=[0.210.4]又因?yàn)閯t三、多輸入單規(guī)則推理（采用Mandani推理法）多輸入單規(guī)則推理在多輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到，如在速度設(shè)定值控制系統(tǒng)中，“速度誤差較大且速度誤差的變化量為正大，那么加大輸入控制電壓”這樣一類規(guī)則就需要用多輸入模糊推理方式來(lái)解決。這種規(guī)則的一般形式為（以雙輸入單規(guī)則為例）：其中(A’×B’)T2

為由模糊關(guān)系矩陣(A’×B’)n×m構(gòu)成的nm維行向量，n和m分別為模糊集合A與B的論域元素?cái)?shù)。前提1：如果x是A且y是B，那么z

是C前提2：現(xiàn)在x是A’

且y是B’結(jié)論：z是C’=(A’ANDB’)

R=(A’×B’)T2

R前提1：如果x是A且y是B，那么z

是C前提2：現(xiàn)在x是A’

且y是B’結(jié)論：z是C’=(A’ANDB’)

R=(A’×B’)T2

R多輸入單規(guī)則推理的模糊關(guān)系矩陣R：前提1所決定的三元模糊關(guān)系R為而(A×B)T1

為由模糊關(guān)系矩陣(A×B)n×m構(gòu)成的nm維列向量，n和m分別為模糊集合A與B的論