數(shù)學(xué)建模-指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁數(shù)學(xué)建模-指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h2．2021年，鄭州大學(xué)考古科學(xué)隊在榮陽官莊遺址發(fā)現(xiàn)了一處大型青銅鑄造作坊．利用碳14測年確認是世界上最古老的鑄幣作坊．已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）．經(jīng)過測定，官莊遺址青銅布幣樣本中碳14的質(zhì)量約是原來的至，據(jù)此推測青銅布幣生產(chǎn)的時期距今約多少年？（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、解答題3．觀察實際情景，提出并分析問題（1）實際情景2022年2月，某地發(fā)生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一種傳染病，其傳染過程的強度和廣度分為：（1）散發(fā)：是指傳染病在人群中散在發(fā)生；（2）流行：是指某一地區(qū)或某一單位，在某一時期內(nèi)，某種傳染病的發(fā)病率，超過了歷年同期的發(fā)病水平；（3）大流行：指某種傳染病在一個短時期內(nèi)迅速傳播、蔓延，超過了一般的流行強度；（4）暴發(fā)：指某一局部地區(qū)或單位，在短期內(nèi)突然出現(xiàn)眾多的同一種疾病的病人.如果在新冠肺炎傳染的過程中不認為介入，切斷其傳染鏈，則對整個社會經(jīng)濟的發(fā)展帶來嚴(yán)重的后果.（2）提出問題如果沒有人工干預(yù)，不同時間段內(nèi)的病例數(shù)會按照怎樣的規(guī)律進行增長呢，對于某個時間內(nèi)新增的病例數(shù)是否可以預(yù)測，以期對其傳播蔓延進行必要的控制，減少人民生命財產(chǎn)的損失呢？（3）分析問題可以通過收集合適地區(qū)的新增病例數(shù)并結(jié)合建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，找出病例數(shù)增長規(guī)律，并對一定時間后新增病例進行估計以支持衛(wèi)生部門的防疫工作.2.收集數(shù)據(jù)利用互聯(lián)網(wǎng)等信息技術(shù)，我們可以搜索到一些原始的數(shù)據(jù).例如，我們搜集到某地區(qū)一周內(nèi)的累計病例數(shù)，日期1234567新增病例數(shù)請結(jié)合上述數(shù)據(jù)建立合理的數(shù)學(xué)模型，并估計第9天新增病例數(shù).3．分析數(shù)據(jù)累計病例數(shù)是時間的函數(shù)，但沒有現(xiàn)成的函數(shù)模型．因此，可以先畫出散點圖，利用圖象直觀分析這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而幫助我們選擇函數(shù)類型，散點圖如圖所示：當(dāng)然，我們可以利用信息技術(shù)，通過函數(shù)擬合的方法來幫助選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.4．建立模型根據(jù)散點圖的形狀可設(shè)函數(shù)模型近似為，利用表中的數(shù)據(jù)可求.5．檢驗?zāi)Ｐ彤嫵龊瘮?shù)的圖形，對比散點圖，吻合度很好.6．問題解決該地區(qū)病例數(shù)與時間t基本滿足的函數(shù)關(guān)系，第9天時，預(yù)計新增病例數(shù)為：，我們會發(fā)現(xiàn)累計病例數(shù)急劇增加，需衛(wèi)生防疫部門及時介入，采取相應(yīng)阻斷措施.7．問題拓展在上述模型的建立的過程中，我們根據(jù)散點圖選擇了函數(shù)模型，然后利用其中的兩個點求出模型的兩個參數(shù)，隨著點的選擇的不同，所得函數(shù)的模型也相異，那么請同學(xué)利用課余時間思考如何評價不同模型的優(yōu)劣？4．大氣壓強，它的單位是“帕斯卡”（，），已知大氣壓強隨高度的變化規(guī)律是，是海平面大氣壓強，．當(dāng)?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭娛呛Ｆ矫嫣幋髿鈮簭姷模蟾呱缴显撎幍暮０危?．牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同，假定保鮮時間與儲藏溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間約是192h，而在22℃的廚房中則約是42h.(1)寫出保鮮時間y（單位：h）關(guān)于儲藏溫度x（單位：℃）的函數(shù)解析式；(2)利用（1）中結(jié)論，指出溫度在30℃和16℃的保鮮時間；（參考數(shù)據(jù)，，精確到1h）(3)運用上面的數(shù)據(jù)，作此函數(shù)的圖象.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【解析】【分析】利用已知條件，該藥在機體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L時需要的時間為，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解：由題意得：設(shè)該要在機體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L需要的時間為故，故該新藥對病人有療效的時長大約為故選：C2．A【解析】【分析】根據(jù)題意列出不等式，求出，從而求出正確答案.【詳解】由題意得：，解得：，故選A.故選：A3．略【解析】【詳解】略4．約為【解析】【分析】解方程即可得解.【詳解】解：由可得，可得.5．(1)(2)儲藏溫度為保鮮時間約小時；儲藏溫度為保鮮時間約為小時．(3)圖象見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，且，則利用牛奶放在的冰箱中，保鮮時間約為，放在的廚房中，保鮮時間約為，即可得出函數(shù)