七年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)練習(xí)專題2.8 數(shù)軸貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

第頁專題2.8數(shù)軸貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)軸上點(diǎn)的平移】 1【題型2數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)】 4【題型3判斷數(shù)軸上點(diǎn)的符號或原點(diǎn)位置】 6【題型4數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的和差倍分問題】 9【題型6數(shù)軸與方程思想的運(yùn)算】 18【題型7數(shù)軸上的動點(diǎn)定值問題】 20【題型8數(shù)軸上的折疊問題】 25【題型9數(shù)軸上點(diǎn)的規(guī)律問題】 29【題型1數(shù)軸上點(diǎn)的平移】【例1】（2022?惠安縣校級月考）在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，如圖所示．（1）將點(diǎn)B向左平移4個(gè)單位，此時(shí)該點(diǎn)表示的數(shù)是﹣3；（2）將點(diǎn)C向左平移3個(gè)單位得到數(shù)m，再向右平移2個(gè)單位得到數(shù)n，則m，n分別是多少？（3）怎樣移動A、B、C中的兩點(diǎn)，使三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)相同？你有幾種方法？【分析】（1）B點(diǎn)表示的數(shù)是1，再向左移動4個(gè)單位可得到表示的數(shù)是﹣3；（2）C點(diǎn)表示的數(shù)是3，向左移動3個(gè)單位得到數(shù)m＝3﹣3，再向右移2個(gè)單位得到數(shù)n＝0+2；（3）移動方法有3種，①把A、B兩點(diǎn)移到C點(diǎn)處；②把A、C兩點(diǎn)移到B點(diǎn)處；③把C、B兩點(diǎn)移到A點(diǎn)處．【解答】解：（1）點(diǎn)B表示的數(shù)是1，向左平移4個(gè)單位是1﹣4＝﹣3，即該點(diǎn)表示的數(shù)是﹣3；（2）點(diǎn)C表示的數(shù)是3，所以m＝3﹣3＝0，n＝0+2＝2；（3）有三種方法：①是C不動，將點(diǎn)A向右平移5個(gè)單位，將B向右平移2個(gè)單位；②是B不動，將A向右平移3個(gè)單位，將C向左平移2個(gè)單位；③是A不動，將B向左平移3個(gè)單位，將C向左平移5個(gè)單位．故答案為：﹣3【變式1-1】（2022?沂水縣一模）在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O的兩側(cè)，分別表示數(shù)a，1，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)B重合），若CO＝BO，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根據(jù)CO＝BO且點(diǎn)C不與點(diǎn)B重合可得點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣1，據(jù)此可得a＝﹣1﹣2＝﹣3．【解答】解：∵點(diǎn)C在原點(diǎn)的左側(cè)，且CO＝BO，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣1，∴a＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：D．【變式1-2】（2022?乳山市期中）已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣2，3，解決下列問題：（1）將點(diǎn)A在數(shù)軸上向左平移13個(gè)單位長度后記為A1，A1表示的數(shù)是﹣213，將點(diǎn)B在數(shù)軸上向右平移1個(gè)單位長度后記為B1，B1表示的數(shù)是（2）在（1）的條件下，將點(diǎn)B1向左移動123個(gè)單位長度后記為B2，則B2表示的數(shù)與A1（3）在（2）的條件下，將原點(diǎn)在數(shù)軸上移動5個(gè)單位長度，則點(diǎn)B2表示的數(shù)是多少？【分析】（1）把點(diǎn)A表示的數(shù)減13得到A1表示的數(shù)，把點(diǎn)B表示的數(shù)加上1得到B1（2）若B2表示的數(shù)與A1表示的數(shù)互為相反數(shù)，則B2表示的數(shù)為213（3）討論：若將原點(diǎn)在數(shù)軸上向右移動5個(gè)單位長度，相當(dāng)于把點(diǎn)B2向左平移5個(gè)單位，從而得到B2表示的數(shù)；若將原點(diǎn)在數(shù)軸上向左移動5個(gè)單位長度，相當(dāng)于把點(diǎn)B2向右平移5個(gè)單位，從而得到B2表示的數(shù)．【解答】解：（1）A1表示的數(shù)為﹣2-13=-21（2）在（1）的條件下，將點(diǎn)B1向左移動123個(gè)單位長度后記為B2，則B2表示的數(shù)與A1（3）在（2）的條件下，若將原點(diǎn)在數(shù)軸上向右移動5個(gè)單位長度，則點(diǎn)B2表示的數(shù)是﹣223；若將原點(diǎn)在數(shù)軸上向左移動5個(gè)單位長度，則點(diǎn)B2表示的數(shù)是71故答案為﹣213；4；左，12【變式1-3】（2022?工業(yè)園區(qū)期末）【理解概念】對數(shù)軸上的點(diǎn)P按照如下方式進(jìn)行操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以2，再把表示得到的這個(gè)數(shù)的點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右平移3個(gè)單位長度，得到點(diǎn)P′．這樣的操作稱為點(diǎn)P的“倍移”，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C、D、E、F經(jīng)過“倍移”后，得到的點(diǎn)分別為A′、B′、C′、D′、E′、F′．【鞏固新知】（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，則點(diǎn)A′表示的數(shù)為1．（2）若點(diǎn)B′表示的數(shù)為9，則點(diǎn)B表示的數(shù)為3．【應(yīng)用拓展】（3）若點(diǎn)C表示的數(shù)為5，且CD′＝3CD，求點(diǎn)D表示的數(shù)；（4）已知點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，將點(diǎn)E′、F′再次進(jìn)行“倍移”后，得到的點(diǎn)分別為E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的長．【分析】（1）由﹣1×2+3＝1，即可得出對應(yīng)點(diǎn)A'表示的數(shù)為1；（2）設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為x，2x+3＝9，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為d，則D′表示的數(shù)為2d+3，由|2d+3﹣5|＝3|d﹣5|，即可得出結(jié)論175（4）設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為e，點(diǎn)F表示的數(shù)為f，則e＜f，則點(diǎn)E′表示的數(shù)為2e+3，點(diǎn)F′表示的數(shù)為2f+3，進(jìn)而可表達(dá)E′′和F′′，再根據(jù)條件列等式求解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，∴﹣1×2+3＝1，∴點(diǎn)A'表示的數(shù)為1，故答案為：1．（2）設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為x，∵點(diǎn)B'表示的數(shù)是9，∴2x+3＝9，解得：x＝3，故答案為：3．（3）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為d，D′表示的數(shù)為2d+3，∵CD′＝3CD，∴|2d+3﹣5|＝3|d﹣5|，解得：d＝13或d=17∴點(diǎn)D表示的數(shù)為13或175（4）設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為e，點(diǎn)F表示的數(shù)為f，則e＜f，∴EF＝f﹣e，∴點(diǎn)E′表示的數(shù)為2e+3，點(diǎn)F′表示的數(shù)為2f+3，∴點(diǎn)E′′表示的數(shù)為2（2e+3）+3＝4e+9，點(diǎn)F′′表示的數(shù)為2（2f+3）+3＝4f+9，∴E′′F′′＝4f+9﹣（4e+9）＝4（f﹣e）＝2020，∴f﹣e＝505，即EF的長為505．【題型2數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)】【例2】（2022秋?三元區(qū)期中）如圖，半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)Q與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合（提示：圓的周長C＝2πr，本題中π的取值為3.14）（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向右滾動1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是6.28；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動情況記錄如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第幾次滾動后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最近？第幾次滾動后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？②當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動的路程共有多少？此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是多少？【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動周數(shù)即可得出滾動距離；（2）①利用滾動的方向以及滾動的周數(shù)即可得出Q點(diǎn)移動距離變化；②利用絕對值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運(yùn)算得出移動距離和Q表示的數(shù)即可．【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是6.28，故答案為：6.28；（2）①∵+2﹣1﹣5+4＝0，∴第4次滾動后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最近；∵（+2）+（﹣1）+（﹣5）＝﹣4，∴第3次滾動后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；②∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，∴17×2π×1＝106.76，∴當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動的路程共有106.76，∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，∴1×2π×1≈6.28，∴此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是6.28．【變式2-1】（2022秋?德惠市校級月考）東方紅中學(xué)位于東西方向的一條路上，一天我們學(xué)校的李老師出校門去家訪，他先向西走100米到聰聰家，再向東走150米到青青家，再向西走200米到剛剛家，請問：（1）如果把這條路看作一條數(shù)軸，以向東為正方向，以校門口為原點(diǎn)，請你在這條數(shù)軸上標(biāo)出聰聰家與青青家的大概位置（數(shù)軸上一格表示50米）．（2）聰聰家與剛剛家相距多遠(yuǎn)？（3）聰聰家向西20米所表示的數(shù)是多少？（4）你認(rèn)為可用什么辦法求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離？【分析】畫數(shù)軸要注意正方向，原點(diǎn)和單位長度；數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是|a﹣b|＝|﹣100+150|＝50；聰聰家向西20米所表示的數(shù)是﹣120；求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離可用右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)．【解答】解：（1）依題意可知圖為：（2）∵|﹣100﹣（﹣150）|＝50（m），∴聰聰家與剛剛家相距50米．（3）聰聰家向西20米所表示的數(shù)是﹣100﹣20＝﹣120．（4）求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離可用右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)．【變式2-2】（2022春?海淀區(qū)校級月考）直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)O'點(diǎn)，點(diǎn)O'對應(yīng)的數(shù)是（）A．3 B．3.1 C．π D．3.2【分析】計(jì)算出圓的周長即可知道點(diǎn)O′所表示的數(shù)，而圓的周長＝π×直徑．【解答】解：圓的周長＝π×1＝π，所以O(shè)′對應(yīng)的數(shù)是π，故選：C．【變式2-3】（2022?南安市模擬）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)為d，則數(shù)軸上與數(shù)﹣3d對應(yīng)的點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)D D．點(diǎn)E【分析】根據(jù)12＜d＜1，得到﹣3＜﹣3d【解答】解：∵12＜∴﹣3＜﹣3d＜-3故選：B．【題型3判斷數(shù)軸上點(diǎn)的符號或原點(diǎn)位置】【例3】（2022秋?岳池縣期中）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，有下列四個(gè)結(jié)論：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜1b；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)數(shù)軸上各數(shù)的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出結(jié)論．【解答】解：由數(shù)軸上a、b、c的位置關(guān)系可知：①a＜0＜b＜c，∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故①正確；②∵0＜b＜1，∴b2＜b，b＜1∴b2＜b＜1③∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故③錯(cuò)誤；④∵a＜b，c＞a，c＞b，a＜0，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+c﹣b+a＝a．故④正確．故正確的結(jié)論有①④，一共2個(gè)．故選：C．【變式3-1】（2022秋?新鄭市期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)軸是以小明所在的位置為原點(diǎn) B．?dāng)?shù)軸采用向北為正方向 C．小剛所在的位置對應(yīng)的數(shù)有可能是-5D．小剛在小穎的南邊【分析】根據(jù)數(shù)軸上四人的位置判斷即可．【解答】解：A、數(shù)軸以小明所在的位置為原點(diǎn)，說法正確，不符合題意；B、數(shù)軸采用向北為正方向，說法正確，不符合題意；C、小剛所在的位置的數(shù)可能為﹣2.4，說法不正確，符合題意；D、小剛在小穎的南邊，說法正確，不符合題意．故選：C．【變式3-2】（2022秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，那么原點(diǎn)的位置可能是（）A．線段AM上，且靠近點(diǎn)A B．線段AB上，且靠近點(diǎn)B C．線段BM上，且靠近點(diǎn)B D．線段BM上，且靠近點(diǎn)M【分析】由點(diǎn)A，B，M的位置可知，a和b的符號相反，則a＜0＜b，且|a|＜|b|，結(jié)合數(shù)軸的定義，可知原點(diǎn)一定在AB上，且靠近點(diǎn)A．【解答】解：由點(diǎn)A，B，M的位置可知，a＜0＜b，且BM＜AM，∴b﹣（a+b）＜（a+b）﹣a，即﹣a＜b，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴原點(diǎn)一定在AM上，且靠近點(diǎn)A．故選：A．【變式3-3】（2022秋?海陵區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別是m，n，點(diǎn)M在表示0，1的兩點(diǎn)（不包括這兩點(diǎn)）之間移動，點(diǎn)N在表示﹣1，﹣2的兩點(diǎn)（不包括這兩點(diǎn)）之間移動，則下列判斷正確的是（）A．m2﹣2n的值一定小于0 B．|3m+n|的值一定小于2 C．1m-D．1m【分析】根據(jù)m、n的取值范圍，這個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意得，0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴m2＞0，﹣2n＞0，∴m2﹣2n＞0，因此選項(xiàng)A不符合題意；∵0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴﹣2＜m+n＜0，0＜2m＜2，∴﹣2＜3m+n＜2，因此選項(xiàng)B符合題意；m﹣n＝m+（﹣n）＞1，∴1m-n1m的值無窮大，而﹣1＜1n＜-1故選：B．【題型4數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的和差倍分問題】【例4】（2022秋?盱眙縣期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B，其中A表示的數(shù)為﹣2，B表示的數(shù)為2，若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)C，使得AC+BC＝n，則稱點(diǎn)C叫做點(diǎn)A、B的“n節(jié)點(diǎn)”，例如圖1所示，若點(diǎn)C表示的數(shù)為0，有AC+BC＝2+2＝4，則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A、B的“4節(jié)點(diǎn)”．請根據(jù)上述規(guī)定回答下列問題：（1）若點(diǎn)C為點(diǎn)A、B的“n節(jié)點(diǎn)”，且點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣3，則n＝6．（2）若點(diǎn)D是數(shù)軸上點(diǎn)A、B的“5節(jié)點(diǎn)”，請你直接寫出點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣2.5或2.5；（3）若點(diǎn)E在數(shù)軸上（不與A、B重合），滿足B、E之間的距離是A、E之間距離的一半，且此時(shí)點(diǎn)E為點(diǎn)A、B的“n節(jié)點(diǎn)”，求出n的值．【分析】（1）根據(jù)“n節(jié)點(diǎn)”的概念解答；（2）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為x，根據(jù)“5節(jié)點(diǎn)”的定義列出方程分情況，并解答；（3）需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，根據(jù)BE=12AE，先求點(diǎn)E表示的數(shù)，再根據(jù)AC+BC＝【解答】解：（1）∵A表示的數(shù)為﹣2，B表示的數(shù)為2，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣3，∴AC＝1，BC＝5，∴n＝AC+BC＝1+5＝6．故答案為：6．（2）如圖所示：∵點(diǎn)D是數(shù)軸上點(diǎn)A、B的“5節(jié)點(diǎn)”，∴AD+BD＝5，∵AB＝4，∴D在點(diǎn)A的左側(cè)或在點(diǎn)A的右側(cè)，設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為x，則AD+BD＝5，∴﹣2﹣x+2﹣x＝5或x﹣2+x﹣（﹣2）＝5，x＝﹣2.5或2.5，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為2.5或﹣2.5；故答案為：﹣2.5或2.5；（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，∵不能滿足BE=12∴該情況不符合題意，舍去；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，可以滿足BE=12n＝AE+BE＝AB＝4；③當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，∵BE=12∴BE＝AB＝4，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為6，∴n＝AE+BE＝8+4＝12，綜上所述：n＝4或n＝12．【變式4-1】（2022秋?江夏區(qū)校級月考）在數(shù)軸上，點(diǎn)A代表的數(shù)是﹣12，點(diǎn)B代表的數(shù)是2，AB代表點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離．（1）①AB＝14；②若點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間的一個(gè)點(diǎn)，且AP＝6，則BP＝8；③若點(diǎn)P為數(shù)軸上一點(diǎn)，且BP＝2，則AP＝12或16．（2）若C點(diǎn)為數(shù)軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)C到點(diǎn)A點(diǎn)的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的和是35，求C點(diǎn)表示的數(shù)．（3）若P從點(diǎn)A出發(fā)，Q從原點(diǎn)出發(fā)，M從點(diǎn)B出發(fā)，且P、Q、M同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，P點(diǎn)的運(yùn)動速度是每秒6個(gè)單位長度，Q點(diǎn)的運(yùn)動速度是每秒8個(gè)單位長度，M點(diǎn)的運(yùn)動速度是每秒2個(gè)單位長度，當(dāng)P、Q、M同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動過程中，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)，求這時(shí)三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)各是多少？【分析】此題可借助數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的方法求解．（1）①根據(jù)距離定義可直接求得答案14．②根據(jù)題目要求，P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間，所以根據(jù)BP＝AB﹣AP進(jìn)行求解．③需要考慮兩種情況，即P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時(shí)和當(dāng)P不在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時(shí)．當(dāng)P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時(shí)，AP＝AB﹣BP．當(dāng)P不在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時(shí)，此時(shí)有兩種情況，一種是超越A點(diǎn)，在A點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)BP＞14，不符合題目要求．另一種情況是P在B點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)根據(jù)AP＝AB+BP作答．（2）根據(jù)前面分析，C不可能在AB之間，所以，C要么在A左側(cè)，要么在B右側(cè)．根據(jù)這兩種情況分別進(jìn)行討論計(jì)算．（3）因?yàn)镸點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長度，遠(yuǎn)小于P、Q的速度，因此M點(diǎn)永遠(yuǎn)在P、Q的右側(cè)．“當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)”這句話可以理解成一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)正中間．因此有幾種情況進(jìn)行討論，第一是Q在P和M的正中間，另一種是P在Q和M的正中間．第三種是PQ重合時(shí)，MP＝MQ，三種情況分別列式進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：（1）①AB之間的距離為2﹣（﹣12）＝14．②AB總距離是14，P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．③P在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時(shí)，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；當(dāng)P不在數(shù)軸上點(diǎn)A與B之間時(shí)，因?yàn)锳B＝14，所以P只能在B右側(cè)，此時(shí)BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16．（2）假設(shè)C為x，當(dāng)C在A左側(cè)時(shí)，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x=-當(dāng)C在B右側(cè)時(shí)，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x=25（3）設(shè)經(jīng)過時(shí)間T秒，則P點(diǎn)坐標(biāo)為﹣12﹣6T，Q點(diǎn)坐標(biāo)為﹣8T，M點(diǎn)坐標(biāo)為2﹣2T．當(dāng)Q在P和M的正中間，即Q為PM的中點(diǎn)時(shí)，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得T=54當(dāng)P在Q和M的正中間，即P為QM的中點(diǎn)時(shí)，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合題意，舍掉．當(dāng)PQ重合時(shí)，即M到P、Q距離相等時(shí)，此時(shí)MP＝MQ，∴﹣12﹣6T＝﹣8T，∴T＝6s．因此，當(dāng)T=54秒時(shí)，此時(shí)，M=-12，當(dāng)T＝6秒時(shí)，此時(shí)，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48．【變式4-2】（2022?長汀縣期中）點(diǎn)A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，如果點(diǎn)C在A、B之間且到A的距離是點(diǎn)C到B的距離3倍，那么我們就稱點(diǎn)C是{A，B}的奇點(diǎn)．例如，如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)為1．表示0的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是3，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是{A，B}的奇點(diǎn)；又如，表示﹣2的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是3，那么點(diǎn)D就不是{A，B}的奇點(diǎn)，但點(diǎn)D是{B，A}的奇點(diǎn)．如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣3，點(diǎn)N所表示的數(shù)為5．（1）數(shù)3所表示的點(diǎn)是{M，N}的奇點(diǎn)；數(shù)﹣1所表示的點(diǎn)是{N，M}的奇點(diǎn)；（2）如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣50，點(diǎn)B所表示的數(shù)為30．現(xiàn)有一動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A停止．P點(diǎn)運(yùn)動到數(shù)軸上的什么位置時(shí)，P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)？【分析】（1）根據(jù)定義發(fā)現(xiàn)：奇點(diǎn)表示的數(shù)到{M，N}中，前面的點(diǎn)M是到后面的數(shù)N的距離的3倍，從而得出結(jié)論；根據(jù)定義發(fā)現(xiàn)：奇點(diǎn)表示的數(shù)到{N，M}中，前面的點(diǎn)N是到后面的數(shù)M的距離的3倍，從而得出結(jié)論；（2）點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為80，由奇點(diǎn)的定義可知：分4種情況列式：①PB＝3PA；②PA＝3PB；③AB＝3PA；④PA＝3AB；可以得出結(jié)論．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故數(shù)3所表示的點(diǎn)是{M，N}的奇點(diǎn)；數(shù)﹣1所表示的點(diǎn)是{N，M}的奇點(diǎn)．故答案為：3；﹣1；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，﹣50﹣80÷3＝﹣7623﹣50﹣80×3＝﹣290（舍去）．故P點(diǎn)運(yùn)動到數(shù)軸上的﹣30或10位置時(shí)，P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)．【變式4-3】（2022?湖里區(qū)校級期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A．B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣2和7，點(diǎn)M為數(shù)軸上一動點(diǎn)．（1）請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B；（2）若點(diǎn)M到A的距離是點(diǎn)M到B的距離的兩倍，我們就稱點(diǎn)M是【A，B】的好點(diǎn)．①若點(diǎn)M運(yùn)動到原點(diǎn)O時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M不是【A，B】的好點(diǎn)（填是或者不是）②若點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度從原點(diǎn)O開始運(yùn)動，當(dāng)M是【B，A】的好點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M的運(yùn)動方向和運(yùn)動時(shí)間（3）試探究線段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定發(fā)生變化？若變化，請說明理由：若不變，請求其值．【分析】（1）畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B即可；（2）①先根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離表示出BM和AM的長，再根據(jù)好點(diǎn)的定義即可求解；②分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與B之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)；代入計(jì)算即可；（3）同理按（2）②分三種情況計(jì)算．【解答】解：（1）如圖所示：（2）①AM＝2，BM＝7，2×7＝14≠2，故點(diǎn)M不是【A，B】的好點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，2（t+2）＝t﹣7，解得t＝﹣11（舍去）；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與B之間時(shí)，2（t+2）＝7﹣t，解得t＝1；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，2（﹣2+t）＝7+t，解得t＝11．故點(diǎn)M的運(yùn)動方向是向右，運(yùn)動時(shí)間是1或點(diǎn)M的運(yùn)動方向是向左，運(yùn)動時(shí)間是11秒；（3）線段BM與AM的差即BM﹣AM的值發(fā)生變化，理由是：設(shè)點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為c，由BM＝|c﹣7|，AM＝|c+2|，則分三種情況：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，BM﹣AM＝c﹣7﹣c﹣2＝﹣9；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與B之間時(shí)，BM﹣AM＝7﹣c﹣c﹣2＝5﹣2c，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，BM﹣AM＝7﹣c+c+2＝9．故答案為：不是．【題型5數(shù)軸上的行程問題】【例5】（2022秋?東阿縣期末）如圖，三點(diǎn)A、B、P在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣4，12（AB兩點(diǎn)間的距離用AB表示）（1）C在AB之間且AC＝BC，C對應(yīng)的數(shù)為4；（2）C在數(shù)軸上，且AC+BC＝20，求C對應(yīng)的數(shù)；（3）P從A點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度在數(shù)軸向右運(yùn)動，Q從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒在數(shù)軸上向左運(yùn)動．求：①P、Q相遇時(shí)求P對應(yīng)的數(shù)②P、Q運(yùn)動的同時(shí)M以3個(gè)單位長度/秒的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動．當(dāng)遇到P時(shí)，點(diǎn)M立即以同樣的速度（3個(gè)單位/秒）向右運(yùn)動，并不停地往返于點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間，求當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的總路程是多少？【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義可得；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，分點(diǎn)C在A、B之間，點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)三種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別列方程求解可得；（3）①設(shè)t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣4+t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為12﹣2t，根據(jù)相遇時(shí)點(diǎn)P、Q所表示的數(shù)相同，列方程求解可得；②由①知點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇用時(shí)163秒，據(jù)此知點(diǎn)M的運(yùn)動時(shí)間為16【解答】解：（1）根據(jù)題意知點(diǎn)C表示的數(shù)為-4+12故答案為：4；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在A、B之間時(shí)，由題意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合題意，舍去；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，由題意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，由題意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，即點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣6或14；（3）①設(shè)t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣4+t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為12﹣2t，由題意知﹣4+t＝12﹣2t，解得：t=16則相遇時(shí)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為﹣4+16②∵由①知點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇用時(shí)163∴點(diǎn)M的運(yùn)動時(shí)間為163則點(diǎn)M所經(jīng)過的總路程是3×16【變式5-1】（2022秋?市中區(qū)校級期中）如圖，A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣20，B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為100．（1）請寫出與A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)；（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，你知道C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是多少嗎？（3）若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動，請問：當(dāng)它們運(yùn)動多少時(shí)間時(shí)，兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長度？【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；（2）此題是相遇問題，先求出相遇所需的時(shí)間，再求出點(diǎn)Q走的路程，根據(jù)左減右加的原則，可求出﹣20向右運(yùn)動到相遇地點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)；（3）此題是追及問題，分相遇前兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長度，相遇后兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長度，列出算式求解即可．【解答】解：（1）A，B之間的距離為120，M點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是（﹣20+100）÷2＝40；（2）它們的相遇時(shí)間是120÷（6+4）＝12（秒），即相同時(shí)間Q點(diǎn)運(yùn)動路程為：12×4＝48（個(gè)單位），即從數(shù)﹣20向右運(yùn)動48個(gè)單位到數(shù)28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故當(dāng)它們運(yùn)動50秒或70秒時(shí)間時(shí)，兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長度．【變式5-2】（2022?越秀區(qū)二模）甲、乙兩個(gè)昆蟲分別在數(shù)軸原點(diǎn)和+8的A處，分別以1單位長度/s，1.5單位長度/s速度同時(shí)相向而行．（1）第一次相遇在數(shù)軸上何處；（2）若同時(shí)沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向而行，乙昆蟲在數(shù)軸上何處追上甲昆蟲？（3）在（1）的條件下，兩個(gè)昆蟲分別到達(dá)點(diǎn)A和O處后迅速返回第二次相遇于數(shù)軸何處？【分析】（1）設(shè)相遇時(shí)間為t，然后列出方程求出t值，再求解即可；（2）設(shè)追上的時(shí)間為t，利用追擊問題列出方程求解，再求解即可；（3）設(shè)第二次相遇的時(shí)間為t，然后求出相遇點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可．【解答】解：（1）設(shè)相遇時(shí)間為t，根據(jù)題意得，t+1.5t＝8，解得t＝3.2，所以相遇點(diǎn)在數(shù)軸上3.2處；（2）設(shè)追上的時(shí)間為t，根據(jù)題意得，1.5t﹣t＝8，解得t＝16，所以乙昆蟲在數(shù)軸上﹣16處追上甲昆蟲；（3）設(shè)第二次相遇的時(shí)間為t，根據(jù)題意得，t+1.5t＝3×8，解得t＝9.6，∴9.6×1.5﹣8＝6.4，所以第二次相遇于數(shù)軸6.4處．【變式5-3】（2022春?南關(guān)區(qū)校級月考）一次數(shù)學(xué)課上，小明同學(xué)給小剛同學(xué)出了一道數(shù)形結(jié)合的綜合題，他是這樣出的：如圖，數(shù)軸上兩個(gè)動點(diǎn)M，N開始時(shí)所表示的數(shù)分別為﹣10，5，M，N兩點(diǎn)各自以一定的速度在數(shù)軸上運(yùn)動，且M點(diǎn)的運(yùn)動速度為2個(gè)單位長度/s．（1）M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，在原點(diǎn)處相遇，求N點(diǎn)的運(yùn)動速度．（2）M，N兩點(diǎn)按上面的各自速度同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸正方向運(yùn)動，幾秒時(shí)兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長度？（3）M，N兩點(diǎn)按上面的各自速度同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，與此同時(shí)，C點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿同方向運(yùn)動，且在運(yùn)動過程中，始終有CN：CM＝1：2．若干秒后，C點(diǎn)在﹣12處，求此時(shí)N點(diǎn)在數(shù)軸上的位置．【分析】（1）根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間，即可解決問題；（2）由OA+OB大于6個(gè)單位長度，分兩種情況，一種B在右側(cè)，一種A點(diǎn)在右側(cè)，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷時(shí)間，即可解決問題；（3）要想始終保持CA＝2CB，則C點(diǎn)的速度應(yīng)介于A、B兩者之間，設(shè)出C點(diǎn)速度為x個(gè)單位/秒，聯(lián)立方程，解方程即可得出C點(diǎn)的運(yùn)動速度，再由速度求時(shí)間，由時(shí)間求得N點(diǎn)的運(yùn)動路程從而解得N點(diǎn)在數(shù)軸上的位置．【解答】解：（1）依題意，得10÷2＝55÷5＝1所以N點(diǎn)的運(yùn)動速度是1個(gè)單位長度/s；（2）∵OM+ON＝10+5＝15＞6，且M點(diǎn)運(yùn)動速度大于N點(diǎn)的速度，∴分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，運(yùn)動時(shí)間為＝（OM+OM﹣6）÷（2﹣1）＝（10+5﹣6）÷1＝9s．②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，運(yùn)動時(shí)間為＝（OM+ON+6）÷（2﹣1）＝（10+5+6）÷1＝21s綜合①②得，9秒和21秒時(shí)，兩點(diǎn)相距都是6個(gè)單位長度；（3）設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動速度為x個(gè)單位/秒，運(yùn)動時(shí)間為t，根據(jù)題意得知10+（2﹣x）×t＝[5+（x﹣1）×t]×2，整理，得2﹣x＝2x﹣2，解得x=43，即C點(diǎn)的運(yùn)動速度為∴當(dāng)C點(diǎn)在﹣12處運(yùn)動時(shí)間為12÷43=∴N點(diǎn)運(yùn)動路程是1×9＝9，∴N點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是﹣4．【題型6數(shù)軸與方程思想的運(yùn)算】【例6】（2022秋?越秀區(qū)校級期中）在數(shù)軸上有若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是1個(gè)單位長度，有理數(shù)a，b，c，d表示的點(diǎn)是這些點(diǎn)中的4個(gè)，且在數(shù)軸上的位置如圖所示．已知3a＝4b﹣3，則代數(shù)式c﹣5d的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根據(jù)3a＝4b﹣3求出b的值，進(jìn)而求出a，c，d的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：∵a＝b﹣2，3a＝4b﹣3，∴b＝﹣3，∴c＝﹣2，a＝﹣5，d＝2，則c﹣5d＝﹣2﹣5×2＝﹣12．故選：C．【變式6-1】（2022秋?余姚市期末）數(shù)軸上有6個(gè)點(diǎn)．每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是1個(gè)單位長，有理數(shù)a，b，c，d所對應(yīng)的點(diǎn)是這些點(diǎn)中的4個(gè)，位置如圖所示：（1）完成填空：c﹣a＝3，d﹣c＝2，d﹣a＝5；（2）比較a+d和b+c的大??；（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．【分析】（1）根據(jù)題意求出所求式子的值即可；（2）利用作差法比較大小即可；（3）根據(jù)4c＝a+2b求出c的值，進(jìn)而求出a，b，d的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：c﹣a＝3，c﹣b＝1，d﹣a＝5；故答案為：3；2；5；（2）∵（a+d）﹣（b+c）＝a+d﹣b﹣c＝（a﹣b）+（d﹣c）＝﹣2+2＝0，∴a+d＝b+c；（3）∵a＝c﹣3，b＝c﹣1，∴4c＝c﹣3+2（c﹣1），解得：c＝﹣5，a＝﹣8，b＝﹣6，d＝﹣3，則原式＝﹣8﹣6+5﹣3＝﹣12．【變式6-2】（2022秋?武昌區(qū)校級月考）如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，請?jiān)趫D中標(biāo)出原點(diǎn)O，并求出3c+d﹣2a的值．【分析】此題用排除法進(jìn)行分析：分別設(shè)原點(diǎn)是點(diǎn)A或B或C或D．【解答】解：若原點(diǎn)是A，則a＝0，b＝4，此時(shí)b﹣2a＝﹣8，和已知不符，排除；若原點(diǎn)是點(diǎn)B，則a＝﹣4，b＝0，此時(shí)b﹣2a＝8，和已知相不符，排除；若原點(diǎn)是點(diǎn)D，則a＝﹣8，b＝﹣4，此時(shí)b﹣2a＝12，和已知不相符，排除；若原點(diǎn)是點(diǎn)C，則a＝﹣5，b＝﹣1，此時(shí)b﹣2a＝9，和已知相符，正確；當(dāng)點(diǎn)C是原點(diǎn)時(shí)，3c+d﹣2a＝3×0+3﹣2×（﹣5）＝13．【變式6-3】（2022?洛川縣校級期末）如圖所示，數(shù)軸（不完整）上標(biāo)有若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距一個(gè)單位長度，點(diǎn)A，B，C，D對應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，d，且有一個(gè)點(diǎn)表示的是原點(diǎn)．若d+2a+5＝0，則表示原點(diǎn)的應(yīng)是點(diǎn)C．【分析】此題用排除法進(jìn)行分析：分別設(shè)原點(diǎn)是點(diǎn)A或B或C或D．【解答】解：若原點(diǎn)為A，則a＝0，d＝7，此時(shí)d+2a+5＝12，與題意不符合，舍去；若原點(diǎn)為B，則a＝﹣3，d＝4，此時(shí)d+2a+5＝﹣3，與題意不符合，舍去；若原點(diǎn)為C，則a＝﹣4，d＝3，此時(shí)d+2a+5＝0，與題意符合；若原點(diǎn)為D，則a＝﹣7，d＝0，此時(shí)d+2a+5＝﹣9，與題意不符合，舍去．故答案為：C．【題型7數(shù)軸上的動點(diǎn)定值問題】【例7】（2022秋?普寧市期末）已知如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，所表示的數(shù)分別為﹣10，﹣4，點(diǎn)A以每秒5個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長度的速度也向右運(yùn)動，如果設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，解答下列問題：（1）運(yùn)動前線段AB的長為6；運(yùn)動1秒后線段AB的長為4；（2）運(yùn)動t秒后，點(diǎn)A，點(diǎn)B運(yùn)動的距離分別為5t和3t；（3）求t為何值時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B恰好重合；（4）在上述運(yùn)動的過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得線段AB的長為5，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，計(jì)算即可；（3）構(gòu)建方程即可解決問題；（4）分兩種情形構(gòu)建方程解決問題；【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，運(yùn)動1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，∴AB＝﹣1+5＝4．故答案為6，4．（2）運(yùn)動t秒后，點(diǎn)A，點(diǎn)B運(yùn)動的距離分別為5t，3t，故答案為5t，3t．（3）由題意：（5﹣3）t＝6，∴t＝3．（4）由題意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，解得t=12或∴t的值為12或112秒時(shí)，線段【變式7-1】（2022秋?綏寧縣期中）閱讀下面的材料：如圖1，在數(shù)軸上A點(diǎn)所示的數(shù)為a，B點(diǎn)表示的數(shù)為b，則點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離記為AB．線段AB的長可以用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)表示，即AB＝b﹣a．請用上面的知識解答下面的問題：如圖2，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動1cm到達(dá)A點(diǎn)，再向左移動2cm到達(dá)B點(diǎn)，然后向右移動7cm到達(dá)C點(diǎn)，用1個(gè)單位長度表示1cm．（1）請你在數(shù)軸上表示出A．B．C三點(diǎn)的位置：（2）點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離CA＝5cm；若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，且AD＝4，則點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣5或3；（3）若將點(diǎn)A向右移動xcm，則移動后的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣1+x；（用代數(shù)式表示）（4）若點(diǎn)B以每秒2cm的速度向左移動，同時(shí)A．C點(diǎn)分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動．設(shè)移動時(shí)間為t秒，試探索：CA﹣AB的值是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意容易畫出圖形；（2）由題意容易得出CA的長度；設(shè)D表示的數(shù)為a，由絕對值的意義容易得出結(jié)果；（3）將點(diǎn)A向右移動xcm，則移動后的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣1+x；（4）表示出CA和AB，再相減即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：（2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；設(shè)D表示的數(shù)為a，∵AD＝4cm，∴|﹣1﹣a|＝4，解得：a＝﹣5或3，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣5或3；故答案為：5，﹣5或3；（3）將點(diǎn)A向右移動xcm，則移動后的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣1+x；故答案為：﹣1+x；（4）CA﹣AB的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：根據(jù)題意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm，∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm），∴CA﹣AB的值不會隨著t的變化而變化．【變式7-2】（2022秋?黃陂區(qū)期末）數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)a，b，c滿足（a+40）2+|b+10|＝0，B為線段AC的中點(diǎn)．（1）直接寫出A，B，C對應(yīng)的數(shù)a，b，c的值．（2）如圖1，點(diǎn)D表示的數(shù)為10，點(diǎn)P，Q分別從A，D同時(shí)出發(fā)勻速相向運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為6個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q的速度為1個(gè)單位/秒．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到C后迅速以原速返回到A又折返向C點(diǎn)運(yùn)動；點(diǎn)Q運(yùn)動至B點(diǎn)后停止運(yùn)動，同時(shí)P點(diǎn)也停止運(yùn)動．求在此運(yùn)動過程中P，Q兩點(diǎn)相遇點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)．（3）如圖2，M，N為A，C之間兩點(diǎn)（點(diǎn)M在N左邊，且它們不與A，C重合），E，F(xiàn)分別為AN，CM的中點(diǎn)，求AC-【分析】（1）根據(jù)（a+40）2+|b+10|＝0，可求出a、b的值，B為線段AC的中點(diǎn)．進(jìn)而可求出c的值；（2）分兩種情況進(jìn)行解答，一種是在A、D之間首次相遇，二是點(diǎn)P到C后返回追及Q相遇，設(shè)運(yùn)動時(shí)間，根據(jù)相遇、追及問題數(shù)量關(guān)系列方程求出時(shí)間，進(jìn)而求出相應(yīng)時(shí)所對應(yīng)的數(shù)；（3）根據(jù)線段的中點(diǎn)的意義，用中點(diǎn)線段EF表示AC后即可得出答案．【解答】解：（1）∵（a+40）2+|b+10|＝0，∴a＝﹣40，b＝﹣10，∵B為線段AC的中點(diǎn)，∴-40+c∴c＝20，即：a＝﹣40，b＝﹣10，c＝20；（2）如圖1，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，①當(dāng)P與Q第一次相遇時(shí)，有6t+t＝10﹣（﹣40），解得，t=50此時(shí)相遇點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為10-50②當(dāng)點(diǎn)P到C返回追上點(diǎn)Q時(shí)，有6t﹣60＝t+10，解得，t＝14，此時(shí)相遇點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為10﹣14＝﹣4，答：在此運(yùn)動過程中P，Q兩點(diǎn)相遇點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為﹣4或207（3）如圖2，∵E，F(xiàn)分別為AN，CM的中點(diǎn)，∴AN＝2EN，CM＝2MF，∴AC＝2EN+2MF﹣MN∴AC-【變式7-3】（2022?荔灣區(qū)期末）數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C，D分別從原點(diǎn)O與點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向同時(shí)向左運(yùn)動．（1）如圖，若點(diǎn)N為線段OB上一點(diǎn)，AB＝16，ON＝2，當(dāng)點(diǎn)C，D分別運(yùn)動到AO，BN的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；（2）若點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動，點(diǎn)D在線段OB上運(yùn)動，速度分別為每秒1cm，4cm，在點(diǎn)C，D運(yùn)動的過程中，滿足OD＝4AC，若點(diǎn)M為直線AB上一點(diǎn)，且AM﹣BM＝OM，求ABOM【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，表示出CD的長，進(jìn)而用b﹣a＝16代入即可求出答案；（2）設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，由OD＝4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的不同的位置分4種情況進(jìn)行解答，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，分別表示出AM、BM、OM，由AM﹣BM＝OM得到m、a、b之間的關(guān)系，再計(jì)算ABOM【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，則，b﹣a＝16，∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BN的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為a2，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b+2∴CD=b+2答：CD的長為9；（2）設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m，則OC＝t，BD＝4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b﹣4t，∴AC＝﹣t﹣a，OD＝b﹣4t，由OD＝4AC得，b﹣4t＝4（﹣t﹣a），即：b＝﹣4a，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（m﹣b）＝m，即：m＝b﹣a；∴ABOM②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，如圖2所示：由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝m，即：m＝a+b；∴ABOM③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，如圖3所示：由AM﹣BM＝OM得，m﹣a﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m=a+b3∵此時(shí)m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：由AM﹣BM＝OM得，a﹣m﹣（b﹣m）＝﹣m，即：m＝b﹣a；而m＜0，b﹣a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，ABOM的值為1或5【題型8數(shù)軸上的折疊問題】【例8】（2022秋?豐臺區(qū)校級期中）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變化（1）平移運(yùn)動①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動3個(gè)單位長度，再向正方向移動2個(gè)單位長度，這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)？用算式表示以上過程及結(jié)果是DA．（+3）+（+2）＝+5B．（+3）+（﹣2）＝+1C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一機(jī)器人從原點(diǎn)O開始，第1次向左跳1個(gè)單位，緊接著第2次向右跳2個(gè)單位，第3次向左跳3個(gè)單位，第4次向右跳4個(gè)單位，…，依次規(guī)律跳，當(dāng)它跳2017次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是﹣1009．（2）翻折變換①若折疊紙條，表示﹣1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示2017的點(diǎn)與表示﹣2015的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2018（A在B的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A點(diǎn)表示﹣1008B點(diǎn)表示1010．③若數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為a，b，折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為a+b2．（用含有a，b【分析】（1）①根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可判斷；②探究規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題；（2）①根據(jù)對稱中心是1，即可解決問題；②由對稱中心是1，AB＝2018，則A點(diǎn)表示﹣1008，B點(diǎn)表示1010；③利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．【解答】解：（1）①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動3個(gè)單位長度，再向正方向移動2個(gè)單位長度，這時(shí)筆尖的位置表示的數(shù)為（﹣3）+（+2），故選D．②一機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)處O開始，第1次向負(fù)方向跳一個(gè)單位，緊接著第2次向正方向跳2個(gè)單位，第3次向負(fù)方向跳3個(gè)單位，第4次向正方向跳4個(gè)單位，…，依次規(guī)律跳，當(dāng)它跳2017次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是﹣1009．（2）①∵對稱中心是1，∴表示2017的點(diǎn)與表示﹣2015的點(diǎn)重合，②∵對稱中心是1，AB＝2018，∴則A點(diǎn)表示﹣1008，B點(diǎn)表示1010，③若數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為a，b，折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為a+b2故答案是；（1）①D；②﹣1009；（2）①﹣2015；②﹣1008，1010；（3）a+b2【變式8-1】（2022秋?蘇州期末）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣16、9，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對折，若點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)A′落在點(diǎn)B的右邊，并且A′B＝3，則C點(diǎn)表示的數(shù)是﹣2．【分析】設(shè)出點(diǎn)C所表示的數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A、B所表示的數(shù)，可以表示出AC的距離，在根據(jù)A′B＝3，表示出A′C，由折疊得，AC＝A′C，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，∵A′B＝3，B點(diǎn)表示的數(shù)為9，∴點(diǎn)A′表示的數(shù)為9+3＝12，根據(jù)折疊得，AC＝A′C∴x+16＝12﹣x，解得，x＝﹣2，故答案為：﹣2．【變式8-2】（2022秋?豐城市期中）操作探究：小聰在一張長條形的紙面上畫了一條數(shù)軸（如圖所示），操作一：（1）折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣3表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合；操作二：（2）折疊紙面，使﹣2表示的點(diǎn)與6表示的點(diǎn)重合，請你回答以下問題：①﹣5表示的點(diǎn)與數(shù)9表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為20，其中A在B的左側(cè)，且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)各是多少③已知在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)是m，點(diǎn)M到第②題中的A、B兩點(diǎn)的距離之和為30，求m的值．【分析】（1）直接利用已知得出中點(diǎn)進(jìn)而得出答案；（2）①利用﹣2表示的點(diǎn)與6表示的點(diǎn)重合得出中點(diǎn)，進(jìn)而得出答案；②利用數(shù)軸再結(jié)合A、B兩點(diǎn)之間距離為20，即可得出兩點(diǎn)表示出的數(shù)據(jù)；③利用②中A，B的位置，利用分類討論進(jìn)而得出m的值．【解答】解：（1）折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則對稱中心是0，∴﹣3表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，故答案為：3；（2）∵﹣2表示的點(diǎn)與6表示的點(diǎn)重合，∴對稱中心是數(shù)2表示的點(diǎn)，①﹣5表示的點(diǎn)與數(shù)9表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為20（A在B的左側(cè)），則點(diǎn)A表示的數(shù)是2﹣10＝﹣8，點(diǎn)B表示的數(shù)是2+10＝12．③當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，則12﹣m+（﹣8﹣m）＝30，解得：m＝﹣13；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，則m﹣（﹣8）+m﹣12＝30，解得：m＝17；綜上，m＝﹣13或17【變式8-3】（2022秋?邗江區(qū)校級月考）已知在紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合（2）若﹣2表示的點(diǎn)與4表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①數(shù)7對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)﹣5對應(yīng)的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2019（點(diǎn)A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？（3）點(diǎn)C在數(shù)軸上，將它向右移動4個(gè)單位，再向左2個(gè)單位后，若新位置與原位置到原點(diǎn)的距離相等，則C原來表示的數(shù)是多少？請列式計(jì)算，說明理由．【分析】（1）由折疊后1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，可知折疊中心為0，進(jìn)而得出答案為2，（2）由（1）的方法可知折疊中心表示的數(shù)為1，①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法，列方程求解即可，②設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列方程組求解，（3）由題意得點(diǎn)C的新位置在原位置的右邊，又關(guān)于原點(diǎn)對稱，且新位置與原位置的距離為2，列方程可求．【解答】解：（1）∵折疊后1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，∴對折的中心所表示的數(shù)為0，∵﹣2到原點(diǎn)0的距離為2，∴只有2到原點(diǎn)0的距離為2，故答案為：2．（2）∵折疊后﹣2表示的點(diǎn)與4表示的點(diǎn)重合∴折疊中心表示的數(shù)為（﹣2+4）÷2＝1，①設(shè)這個(gè)數(shù)為m，則有：7﹣1＝1﹣m，解得：m＝﹣5，故答案為：﹣5．②設(shè)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，由題意得，b﹣1＝1﹣a且b﹣a＝2019，解得，a＝﹣1008.5，b＝1010.5，答：A點(diǎn)表示的數(shù)是﹣1008.5，B點(diǎn)表示的數(shù)是1010.5．（3）設(shè)點(diǎn)C原位置表示的數(shù)為c，則點(diǎn)C的新位置表示的數(shù)為c+2，根據(jù)題意得，c+2＝﹣c，解得，c＝﹣1，答：C原來表示的數(shù)是﹣1．【題型9數(shù)軸上點(diǎn)的規(guī)律問題】【例9】（2022秋?茅箭區(qū)校級月考）已知數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，它們分別表示數(shù)a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互為相反數(shù)．（1）求a，b，c的值．（2）若有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/秒，乙的速度為6個(gè)單位/秒，當(dāng)兩只螞蟻在數(shù)軸上點(diǎn)m處相遇時(shí)，求點(diǎn)m表示的數(shù)．（3）若電子螞蟻從B點(diǎn)開始連續(xù)移動，第1次向右移動1個(gè)單位長度；第2次向右移動2個(gè)單位長度；第3次向左移動3個(gè)單位長度；第4次向左移動4個(gè)單位長度；第5次向右移動5個(gè)單位長度；第6次向右移動6個(gè)單位長度；第7次向左移動7個(gè)單位長度；第8次向左移動8個(gè)單位長度…依次操作第2019次移動后到達(dá)點(diǎn)P，求P點(diǎn)表示的數(shù)．【分析】（1）由|a+6|+（b+3）2＝0，可得a、b，由b，c互為相反數(shù)，可得c；（2）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度求出相遇的時(shí)間，即可得出點(diǎn)m表示的數(shù)．（3）設(shè)y秒后丙到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為40個(gè)單位，分丙應(yīng)位于AB或BC之間兩種情況討論即可求解．【解答】解：（1）∵|a+6|+（b+3）2＝0，∴a＝﹣6，b＝﹣3，∵b，c互為相反數(shù)，∴b+c＝0．解得c＝3，（2）（3+6）÷（4+6）＝0.9，點(diǎn)m表示的數(shù)為：3﹣0.9×6＝﹣2.4；（3）第1次向右移動1個(gè)單位長度是﹣2；第2次向右移動2個(gè)單位長度是0；第3次向左移動3個(gè)單位長度是﹣3；第4次向左移動4個(gè)單位長度是﹣7；第5次向右移動5個(gè)單位長度是﹣2；第6次向右移動6個(gè)單位長度是4；第7次向左移動7個(gè)單位長度是﹣3；第8次向左移動8個(gè)單位長度是﹣11．依次規(guī)律可得﹣2每四次出現(xiàn)一次，2019÷4＝504…3，所以第2017次是﹣2，第2018次是﹣2+2018＝2016，第2019次是2016﹣2019＝﹣3．答：點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣3．【變式9-1】（2022秋?成都期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)P表示的數(shù)是a，點(diǎn)P′表示的數(shù)是11-a，我們稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P的“相關(guān)點(diǎn)”，已知數(shù)軸上A1的相關(guān)點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2的相關(guān)點(diǎn)為A3，點(diǎn)A3的相關(guān)點(diǎn)為A4…，這樣依次得到點(diǎn)A1、A2、A3、A4，…，An．若點(diǎn)A1在數(shù)軸表示的數(shù)是12，則點(diǎn)A【分析】先根據(jù)已知求出各個(gè)數(shù)，根據(jù)求出的數(shù)得出規(guī)律，即可得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A1在數(shù)軸表示的數(shù)是12∴A2=1A3