子式和代數(shù)余子式

3.4子式和代數(shù)余子式行列開(kāi)的依行依列展開(kāi)教學(xué)目的：掌握計(jì)算行列式的能力通過(guò)一些比較典型的例題分析和習(xí)題訓(xùn)練，掌握行列式計(jì)算中的一些技巧教學(xué)內(nèi)容：1.子式和余子式：定義1在一n階行列式D中任意取定k行k列.位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式D的一個(gè)k階子式.aaaa11121314aaaaD=21222324aaaa31323334aaaa41424344例1在四階行列式中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成D的一個(gè)二階子式TOC\o"1-5"\h\zM=^21 ^24aaa111j1nD=aaanjnaaan1nnnaa定義2n(n>1)階行列式的某一元素a^余子式M司指的是在D中劃去a^所在的行和列后所余下的n-1階子式.例2例子的四階行列式的元素 "aaa111214M=aaa23313234aaa414244TOC\o"1-5"\h\z定義3n階行列式D的元素a廣的余子式M廣附以符號(hào)(-1)F后，叫做元素a廣的代數(shù)余子式.元素a〃的代數(shù)余子式用符號(hào)A來(lái)表示：A=(-1)i+jM.

ij ij例3例1中的四階行列式D的元素a23的余子式是aaa111214M=(-1)2+3M=-M=-aaa23 23 23313234aaa414244現(xiàn)在先看一個(gè)特殊的情形，就是一個(gè)n階行列式的某一行（列）的元素最多有一個(gè)不是零的情形。定理3.4.1若在一個(gè)n階行列式^a ...a .a111j1n????D=^a ...aai1in^a ...aan1njnn中，第I行（或第j列）的元素除膈外都是零，那么這個(gè)行列式等于aij與它代數(shù)余子式Aj的乘積：D=aijAij證我們只對(duì)行來(lái)證明這個(gè)定理。1）先假定D的第一行的元素除aj外都是零。這時(shí)a0 ... 0iiaa...a21 22 2naa.an1 n2 nn我們要證明，D=a11A11=a11（-1）1+1M11=a11M11，也就是說(shuō)，aa? a22232naa? a32333nD=a11an2an3? ann（1）子式M11的每--項(xiàng)都可以寫(xiě)作a2j2a3j3 a聽(tīng)，此處j2，j3,…，jn是2，3，???n這n-1個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列。我們看項(xiàng)（1）與元素an的乘積a11a2j2a3j3 a嘰，這一乘積的元素位在D的不同的行與不同的列上，因此它是D的一項(xiàng)。反過(guò)來(lái)，由于行列式D的每一項(xiàng)都含有第一列的一個(gè)元素，而第一行的元素除a11外都零，因此D的每一項(xiàng)都可以寫(xiě)成（2）的形式，這就是說(shuō)，D的每一項(xiàng)都是a11與它的子式M11的某一項(xiàng)的乘積，因此D與a11M11有相同的項(xiàng)，乘積（2）在D的符號(hào)是（-1）兀'1j2…j）=（-1）兀（j2…

另一方面，乘積（2）在aI】Mu中的符號(hào)就是（1）在Mu中的符號(hào)。乘積（1）的元素既然位在D的第2,3,…，n行與第j2，j3，f.列，因此它位在Mu的第1,2,…，n-1行與j2-1，j3-1，…，jn-1列，所以（1）在M11中的符號(hào)應(yīng)該是（-1）Wjf...（"）。顯然，A（j2-jn）=A（（j2-1）???（jn-1））。這樣，乘積這（2）在a11M11中的符號(hào)與D中的符號(hào)一致。所以D=a11叫1a ??1,j+1. a1n現(xiàn)在我們來(lái)看-a11?般的情形。設(shè)??? ^11,j-1a1j0?0a0 ... 01jD—aD= n1?an,j—1anja ..n,j+1? ann我們變動(dòng)行列式D的行列，使aij位于第一行與第一列，并且保持aij的余子式不變。為了達(dá)到這一目的，我們把D的第I行依次與第I-1，I-2，-2，1行變換，這樣，一共經(jīng)過(guò)了I-1次交換兩行步驟，我們就把D的第I行換到第一行的位置。然后在把第j列依次與j-1，j-2，…，2,1列交換，一共經(jīng)過(guò)j-1次交換兩列的步驟，a〃就被換到第一行與第一列的位置上，這時(shí)，D變?yōu)橄旅嫘问降男辛惺?a0 ...00... 0jaa ...aa... a1j111,j+11,j+11naa ...aa...ai-1，ji—1,1i-1,j-1i-1,j+1i-1,naa ...aa...ai+1，ji+1,1i+1,j-1i+1,j+1i+1,r—_aa ...aa... aD1= njn1n,j—1n,j+1nnD1是由D經(jīng)過(guò)（i-1）+（j-1）次換行換列的步驟而得到的.由命題3.3.3,交換行列式的兩行或兩列,行列式改變符號(hào).因此（—1）（I）+（jT）D=（—1）'+iDD= 1_ 1.在D1中,匕位在第一行與第一列，并且第一行的其余元素都是零;由1）,^a ?11a1,j—1^a ?1,j+1a1n^a ?i-1,1^a ?i+1,1ai—1,j—1ai+1,j—1^a ?i—1,j+1^a ?i+1,j+1ai—1,nai+1,nD=因此aaaaMijn1n,j—1n,j+1nn=iiD=(-1)i+jD=(—1)'+ja..1= ijM^=a「(—1)i+jM廣=afAij.

這樣,定理得到證明.定理3.4.2行列式D等于它任意一行（列）的所有元素與它們的對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和.換句話說(shuō)，行列式有依行或依列的展開(kāi)式：D=aA+aA+...aA（1=12 n） （3）Di1i1 i2i2 inin（11，2， ，n）， （3/aA+aA+...aAD=1j1j2j2j nnnn(J=1，2,…,在證明這一定理這前，設(shè)我們先注意以下事實(shí)：aa.? aaa.a11121n11121naa.? abb.bi1i2ini1i2inD-aa.? aD-aa.a1n1n2nn， 2n1n2nn是兩個(gè)N階行列式，在這兩個(gè)行列式中除去第I行外，其余的相應(yīng)行都不得相同。那么，D1的第I行的對(duì)應(yīng)元素有相同的代數(shù)余子式。事實(shí)上，aij的子式是劃去D1的第I行第J列后所得的N-1階行列式。由于。1與D2只有第I行不同，所以劃去這兩個(gè)行列式的第I行和第J列，我們得到同一的行列式。因此aij與bij的子式相同，而它們的代數(shù)余子式也相同。顯然對(duì)列來(lái)說(shuō)，也有同樣的事實(shí)。現(xiàn)在我們來(lái)證明定理3.4.2.我們只對(duì)行來(lái)證明，換句話說(shuō)，只證明公式（3）.公式（4）的證明是完全類似的.先把行列式D寫(xiě)成以下形式：D=a11a12D=a11a12a+0+...+0 0+a+0+...+0i1i20+...+0+ainan1ann也就是說(shuō)，把D的第I行的每一元素寫(xiě)成N項(xiàng)的和.根據(jù)命題3.3.9,D等于個(gè)行列式的和:a11a12? a1na11a12a1nai10. 00ai20D=an1an2? ann+an1an2ann

a11a .12a1n00 .ain+ +an1a .n2ann在這N個(gè)行列式的每一個(gè)中，除了第I行外，其余的行都不得與D的相應(yīng)行相同。因此，每一行列式的第，行的元素代數(shù)余子式與D的第，?行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。這樣，由定理3.4.1，D=aA+aA+…+aAi1i1 i2i2 in以下定理在某種意義下和定理3.4.2平行。定理3.4.3行列式a11a12a1naa?，ai1i2inD=-…???aa?aj1j2jnan1an2 …ann的某一行（列）的元素與另外一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零。換句話說(shuō)：aA+aA+??+aA=0(i。j),（5）i1 j1 i2j2injnaA+aA+…+"An,=0(s尹t).（6）證我們只證明等式（5）?？葱辛惺絘a…a11…12?1n… …aa…a (i)i1i2inD=????.??....aa…a (j)j1…j2?j… …aa…an1n2nnD1的第1行與第j行完全相同，所以D1=0。另一方面，D1與D僅有第j行不同，因此D的第j行的元素的代數(shù)余子式與D的第j行的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同。把D1依第j行展開(kāi)，得D=aA+aA+…+aA1i1j1i2j2 injn因而aA+aA+…+aA=0例4計(jì)算四階行列式2 ""

TOC\o"1-5"\h\z-5 1 3 -4D=2 0 1 -11 -5 3 -3在這個(gè)行列式里，第三行已有一個(gè)元素是零。由第一列減去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得51-11-11D=13-10010-5根據(jù)定理3.4.1-530511D=1X(-1)3+3-111-1-5-50把所得三階行列式的第一行加到第二行，得5 11-6 2-6 20=1X(-1)1+3 =40-5-5-5-50所以D=40。例5計(jì)算階行列式A=nx00…-1x0…0-1x…?? 0?? 0?0??000?按第一列展開(kāi)x00A=x，得-1 0x -10x… …0an-1…………0an-2000…0an-3000+…?x?-ax2(-1)n+1an-1+a1-1x00 0 0-1 0 0x 0 00an-1這里的第一個(gè)0 0 …a a …n-2 n-3n-1階行列式和Ax -1ax+a21n有相同的形式，把它記作?0An-1… …0 …x-1；第二個(gè)n-1階行列式等于J)"'所以A=xA +a.這個(gè)式子對(duì)于任何n(-2)都成立。因此有n-1但。所以例6計(jì)算行列式xn—1A.+axn-2+ +ax+a.n-1111aaa12na2a2a21…2… ?n*? …2n-1a2n-1 ?‘…a2n-112na這個(gè)行列式叫做一個(gè)階范得蒙(Vandermonde)行列式。由最后一行開(kāi)始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以a1，得根據(jù)定理3.4.1a3—aaD=n2 2…133…1…nn…1提出每an—2(a—a)一列的公因子后，an-23得(a3—a).??an—2(ann—a)111D=(a—a)(a—a)…1(an—a)a2a22.?.a3a23???.ana2n.?.?.an