2024屆廣東省信宜市高三上學期摸底數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2024屆廣東省信宜市高三上學期摸底數(shù)學試題一、單選題1．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合，根據(jù)并集的運算法則求得結果.【詳解】由，得，得即，則故選：A.2．已知復數(shù)滿足：（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】通過復數(shù)除法得，利用復數(shù)模的定義即可得到答案.【詳解】，故.故選：C.3．已知α：x>1，β：x≥2，則α是β的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)對應的范圍判斷邏輯關系即可.【詳解】α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，則α是β的必要不充分條件，故選：B．4．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（

）A．向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度B．向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度C．向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度D．向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求解即可.【詳解】由三角函數(shù)的圖象變換，把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移3個單位長度，可得，再向下平移2個單位長度可得.故選：C5．在中，點為邊的中點．記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D為邊的中點，所以，.故選：D.6．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)關系，當時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當時，，則.故選：C.7．設O為坐標原點，A為圓C：上一個動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與圓的位置關系解三角形即可.【詳解】

如圖所示，當直線與圓相切時，A為切點，此時最大，易得,由，即，所以.故選：C8．已知，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由二倍角余弦公式和兩角差的正弦公式化簡得到，再利用基本關系式求解.【詳解】解：因為，且，所以，化簡得，兩邊平方化簡得，所以，即，則，兩式聯(lián)立求得，所以，故選：A二、多選題9．已知，是平面外的兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【分析】利用線線、線面的平行關系，以及線線、線面的垂直關系，即可求解.【詳解】解：對于A，直線和可以相交或者異面，故A錯，對于B,，假設，，又，故，則，故B對,對于C,因為，，又，則，故C對,對于D,直線可以與平面平行，故D錯.故選：BC.10．有一組樣本數(shù)據(jù)，已知，，則該組數(shù)據(jù)的（

）A．平均數(shù)為2 B．中位數(shù)為2 C．方差為2 D．標準差為2【答案】AC【分析】結合題設中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和方差的定義和計算方法，即可求解.【詳解】由題意知，樣本數(shù)據(jù)，且，，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以A正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為中間的數(shù)據(jù)，所以不確定，所以B不正確.數(shù)據(jù)的方差為，所以C正確；標準差為，所以D錯誤；故選：AC.11．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點在軸的橢圓【答案】BD【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯；對于B選項，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；對于D選項，若，則，則，曲線的方程可化為，此時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D對.故選：BD.12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，關于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞增C．在上恰有三個零點 D．的最大值為2【答案】AD【分析】由的奇偶性與對稱性作出圖象，再由分段討論，對選項逐一判斷．【詳解】易知函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)．故A正確，因為，所以的圖象關于直線對稱，則，，所以是周期為4的函數(shù)，其部分圖象如下圖所示．所以當時，，當時，，單調(diào)遞減B錯誤．在上零點的個數(shù)等價于在上零點的個數(shù)，而在上有無數(shù)個零點，故C錯誤．當時，易知的最大值為2，由偶函數(shù)的對稱性可知，當時，的最大值也為2，所以在整個定義域上的最大值為2，故D正確．故選：AD三、填空題13．已知函數(shù)則.【答案】2【分析】先求內(nèi)層函數(shù)值，再求外層函數(shù)值即可【詳解】因為，所以，所以.故答案為：214．寫出一個定義域為，既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的函數(shù)．【答案】（答案不唯一，其它答案正確也可）【分析】按照函數(shù)單調(diào)性定義，奇偶性定義可判斷函數(shù)是上的減函數(shù)且為奇函數(shù).【詳解】對于函數(shù)，任取，均屬于，且，，由，所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，又，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)且為奇函數(shù).故答案為：.（答案不唯一，其它答案正確也可以）15．在的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】24【分析】寫出展開式的通項公式，求出的系數(shù).【詳解】的展開式通項公式為，令，得，故的系數(shù)為24.故答案為：24.16．若存在實數(shù)使得，則的值為.【答案】/【分析】由已知得，令，利用導數(shù)可得，再根據(jù)等號成立的條件可得答案.【詳解】由已知得，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，可得，所以，即，當且僅當即等號成立，此時的值為.故答案為：.四、解答題17．在△中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若的面積，求的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由正弦定理，將條件中的邊化成角，可得，進而可得的值；（2）由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，得最后結論．試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得【解析】正弦定理；余弦定理．【易錯點睛】解三角形問題的兩重性：①作為三角形問題，它必須要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及其有關三角形的性質(zhì)，及時進行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；②它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”（即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”）是使問題獲得解決的突破口．18．已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù).若分別從下表的第一?二?三列中各取一個數(shù)，依次作為，且中任何兩個數(shù)都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為.求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和定義即可求出；（2）求出，利用裂項相消法求出，即可證明.【詳解】（1）由題可得，故.（2）且，則于是.19．如圖，已知等腰直角三角形，其中，.點?分別是?的中點，現(xiàn)將沿著邊折起到位置，使，連接?.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明，一般先證明線面垂直即找到一個平面包含其中一條直線而另一條直線與此平面垂直，即可證明線線垂直；（2）取的中點，連接?.∵，∴.根據(jù)題意可證明平面，因為平面，所以.所以是二面角的平面角.再結合解三角形的知識求出答案即可.【詳解】（1）∵點?分別是?的中點，∴，.又∵，沿著邊折起到位置，∴.∴.∴，∵，，∴平面.∵平面，∴.（2）取的中點，連接?.∵，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在中，，在中，，.∴二面角的平面角的余弦值是.20．某地區(qū)對某次考試成績進行分析，隨機抽取100名學生的A，B兩門學科成績作為樣本．將他們的A學科成績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達到70分為良好．已知他們中B學科良好的有50人，兩門學科均良好的有40人．

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為這次考試學生的A學科良好與B學科良好有關；B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好A學科不夠良好合計(2)用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學生中隨機抽取3人，記這3人中A，B學科均良好的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072【答案】(1)填表見解析，有95%把握認為A學科良好與B學科良好有關(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算可得出A學科良好的人數(shù)，進而即可得出2×2列聯(lián)表.根據(jù)公式計算得出的值，比較即可根據(jù)獨立性檢驗得出答案；（2）根據(jù)（1）得出AB學科均良好的概率，可知.然后計算得出取不同值的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式即可得出答案.【詳解】（1）由直方圖可得A學科良好的人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表如下：B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好403070A學科不夠良好102030合計5050100假設：A學科良好與B學科良好無關，，所以有95%把握認為A學科良好與B學科良好有關．（2）AB學科均良好的概率，X的可能取值為0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列為X0123P因為，所以．21．已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數(shù)可判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可求出值域；（2）將代入不等式，分離參數(shù)，得在上恒成立，令，利用導數(shù)求出在上的最大值即可得解.【詳解】（1）當時，，，定義域為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時，取到最小值，，而，，，，因此函數(shù)值域為.（2）由，得，即在上恒成立，設，，則，∵，∴，，∴當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，，因此，即的取值范圍是．22．已知拋物線：（）上的一點到準線的距離為1．(1)求拋物線的方程；(2)若正方形的三個頂點、、在拋物線上，求這種正方形面積的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可求解；（2）設出，，點的坐標，的斜率為，根據(jù)斜率公式可得，，再根據(jù)，可得，可求出正方形面積的表達式，利用不等式放縮可求出面積的最小值.【詳解】（1）拋物線的準線方程為，由拋物線上點到準線的距離為1，結合拋物線的定義得，∴，拋物線的方程為.（2）方法一：如圖設三個頂