一種多閾值準(zhǔn)則小波包去噪方法

一種多閾值準(zhǔn)則小波包去噪方法

1小波包去噪簡介由于時(shí)間頻帶的良好特性，小波分析被廣泛應(yīng)用于變形分析中，并取得了良好的效果。f'。例如對高層建筑的動(dòng)態(tài)監(jiān)測［２－３］,礦層的移動(dòng)分析［４］以及大壩的變形預(yù)報(bào)［５］等。但小波分析主要是提取低頻有用信息,容易忽略中頻以及高頻有用信息,這會(huì)對高精度GPS變形監(jiān)測的分析結(jié)果產(chǎn)生不良影響。例如對高層建筑進(jìn)行變形監(jiān)測,不僅要監(jiān)測出其主模態(tài)的振動(dòng)頻率,有時(shí)還需提取其風(fēng)致振動(dòng)變形、臺(tái)風(fēng)暴雨等極端天氣引起的變形信息,這些變形信息的振動(dòng)頻率已高達(dá)甚至超過10－１Hz［６］,當(dāng)采樣頻率較低時(shí)傳統(tǒng)的小波分析就容易產(chǎn)生過度去噪的現(xiàn)象,無法準(zhǔn)確提取有用信息。小波包分析是一種新的小波分析方法,具有更好的去噪能力,它不僅像小波分析一樣對觀測數(shù)據(jù)的低頻部分進(jìn)行分解,還能對觀測數(shù)據(jù)的高頻部分進(jìn)行分解,能相對有效地提取各頻段的有用信息［７］。目前,小波包分析已在數(shù)據(jù)去噪［８］、振動(dòng)信息提?。郏梗莸茸冃伪O(jiān)測領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。其中小波包應(yīng)用的關(guān)鍵是對小波包分解系數(shù)選取合適的閾值準(zhǔn)則并進(jìn)行閾值處理,現(xiàn)今已有了諸如改進(jìn)的單閾值處理［１０］和普通的多閾值處理［１１－１２］的方法,較傳統(tǒng)小波包去噪的效果有一定改善,但是上述方法并沒有完全充分考慮信號及其噪聲的分布,去噪精度有待進(jìn)一步提高。如何對小波包分解系數(shù)排序重組并進(jìn)行多閾值處理是高精度去噪的關(guān)鍵問題。文獻(xiàn)的方法是對小波包樹的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)和最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了特殊化處理,雖然提高了去噪精度,但是事實(shí)上最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)并不是頻率最高部分,如果不按照小波包樹節(jié)點(diǎn)的頻率順序,而利用小波包樹分解的自然順序進(jìn)行多閾值處理,雖然能夠?qū)Ω哳l部分的噪聲進(jìn)行相對有效地處理,但卻是一種比較粗糙的多閾值處理方法。文獻(xiàn)的方法是依據(jù)小波包分解系數(shù)的能量來進(jìn)行分組,同樣提高了去噪精度,并且比文獻(xiàn)的方法更為精確,但是當(dāng)各個(gè)頻段中噪聲污染不穩(wěn)定時(shí),即噪聲污染比較復(fù)雜,已嚴(yán)重影響了信號的能量分布,這時(shí)候根據(jù)能量來進(jìn)行分組會(huì)對有用信息的提取造成困難?；谶@些問題,本文提出了一種小波包去噪方法,即根據(jù)不同信號及其噪聲的分布,對小波包分解系數(shù)按照頻率大小的順序進(jìn)行排列,依據(jù)信息類型分段,對每個(gè)頻段選取合適的閾值準(zhǔn)則并進(jìn)行閾值處理。它是一種基于頻率順序的多閾值準(zhǔn)則(themulti-thresholdcriteriabasedonfrequencyorder)小波包去噪法,稱為FMC法。理論和實(shí)例證明,該方法去噪能力優(yōu)于傳統(tǒng)方法,并且能夠有效提取信號中各頻段的有用信息,可以高效處理變形監(jiān)測數(shù)據(jù)。2小波包閾值去除噪聲的關(guān)鍵技術(shù)2.1小波包去噪基本原理小波包理論的分解算法和重構(gòu)算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下［９］。小波包的分解算法是通過{dｔｊ＋１，ｋ}求{dｔｊ，２ｋ}以及{dｔｊ，２ｋ＋１}實(shí)現(xiàn)小波包的重構(gòu)算法是通過{dｔｊ，２ｋ}以及{dｔｊ，２ｋ＋１}求{dｔｊ＋１，ｋ}實(shí)現(xiàn)式中,h、g為濾波器系數(shù);d為小波包分解系數(shù);p、t為分解層數(shù);j、k為小波包節(jié)點(diǎn)號。由于噪聲在頻率域上的分布主要集中在頻率較高的部分［１３－１４］。因此在利用小波包去噪時(shí),假如不同頻段信息采用同一種閾值處理方法,或者同一個(gè)頻段信息采用不同閾值處理方法勢必會(huì)影響去噪精度。因此如何準(zhǔn)確劃分頻段是進(jìn)行多閾值去噪的關(guān)鍵問題。這里提出了一種按照頻率大小順序排列,并依據(jù)信息類型重組的劃分方法。根據(jù)小波包變換理論,它可以將隱含在低頻、中頻、高頻中的有用信息提取出來,以分3層為例,信號分解如圖1(a)所示。以采樣頻率為2Hz的GPS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為例,同時(shí)根據(jù)那奎斯特(Nyquist)采樣定理,將信號用小波包分解如圖1(b)所示。然后再將第3層每一個(gè)小波包樹節(jié)點(diǎn)與圖1(a)進(jìn)行逐一對應(yīng),得表1。通過表1可以發(fā)現(xiàn),小波包樹節(jié)點(diǎn)的自然順序與頻率順序存在不一致現(xiàn)象。最低頻部分對應(yīng)的是第1個(gè)節(jié)點(diǎn),最高頻部分對應(yīng)的是第5個(gè)節(jié)點(diǎn)。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是由于小波包分解時(shí),高通濾波器會(huì)進(jìn)行一次“翻轉(zhuǎn)”操作。可以通過小波包的性質(zhì)證明,任何小波包的分解都會(huì)產(chǎn)生自然順序與頻率順序不一致的現(xiàn)象,并且不一致的現(xiàn)象的情況是一樣的［１５］。因此,小波包每分解一層時(shí),低頻分解部分按頻率從小到大排列,高頻部分按頻率從大到小排列。在變形監(jiān)測領(lǐng)域,因?yàn)樵肼暦植己皖l率順序緊密相關(guān),因此需要的是頻率順序而不是自然順序。式中,小波包樹節(jié)點(diǎn)[n,m０]、[n,m１]、…、[n,m２n－１]按頻率順序從小到大進(jìn)行排列。2.2種無偏風(fēng)險(xiǎn)閾值(1)固定形式閾值準(zhǔn)則。它所采用的是固定形式的閾值,其公式為式中,σ為噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差;N為信號長度。(2)自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則。它是基于Stein的無偏似然估計(jì)原理的一種閾值,其公式為式中,σ為噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差;Qａ為依據(jù)無偏似然估計(jì)原理而得到的小波包分解系數(shù)的平方。(3)啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則。它是一種無偏風(fēng)險(xiǎn)閾值,是前兩種閾值準(zhǔn)則的綜合,選取規(guī)則為(4)極小化極大閾值準(zhǔn)則。也是一種固定形式的閾值,是在最壞條件下求最大均方誤差的最小值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上叫做“悲觀法”,選取規(guī)則為式中,σ為噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差;N為信號長度。4種閾值準(zhǔn)則都有其各自特點(diǎn)。其中,sqt-wolog閾值準(zhǔn)則以及heursure閾值準(zhǔn)則兩種方法類似,都是將全部系數(shù)進(jìn)行了處理［１７－１８］,因此可以較強(qiáng)地去除噪聲,與之相對應(yīng)的,容易過度去噪,因而可以稱之為“激進(jìn)”的去噪準(zhǔn)則,適合處理GPS信號的高頻部分。rigrsure閾值準(zhǔn)則以及minimaxi閾值準(zhǔn)則是將部分系數(shù)進(jìn)行了處理［１７－１８］,是一種較為折中的處理方法,因此,它可以防止過度去噪,與之相對應(yīng)的容易出現(xiàn)去噪不明顯的現(xiàn)象,因而可以稱之為“保守”的去噪準(zhǔn)則,適合處理低頻部分。其中,中頻段更適合采用rigrsure閾值準(zhǔn)則以及minimaxi閾值準(zhǔn)則［１１，１５，１９］。為此,建立如表2所示的多閾值準(zhǔn)則選取表,以用于對小波包分解系數(shù)的閾值處理。2.3小波包閾值提取基于頻率順序并依據(jù)信息類型進(jìn)行分段的小波包多閾值準(zhǔn)則處理方法是一種精度較高的去噪方法。下面給出其算法步驟,以分高中低3個(gè)頻段為例。(1)小波包分解。根據(jù)所給信號選定一個(gè)合適的小波基函數(shù)ф以及決定所需的分解層次n,對信號進(jìn)行小波包分解,得到小波包樹。(2)優(yōu)化小波包樹(可選)。確定熵標(biāo)準(zhǔn)從而選定最優(yōu)小波基,得到最優(yōu)樹。(3)根據(jù)信號及其噪聲的分布,選定低頻段比例系數(shù)α和高頻段比例系數(shù)β。其中,有用信息集中的頻段越多,α越大;無用信息集中的頻段越多,β越大。通過排序重組,得到各頻段的小波包樹節(jié)點(diǎn)信息。(4)根據(jù)表2的選取標(biāo)準(zhǔn),決定低頻段閾值準(zhǔn)則A、中頻段閾值準(zhǔn)則B、高頻段閾值準(zhǔn)則C,對各頻段的小波包分解系數(shù)分別進(jìn)行閾值處理。(5)小波包重構(gòu)。對處理后的小波包分解系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu),最終得到去噪信號。3不同方法的去噪效果為了驗(yàn)證此法的有效性和優(yōu)越性,進(jìn)行了一系列的對比分析。以Matlab為平臺(tái),使用評價(jià)小波去噪效果質(zhì)量的兩種專用測試信號:blocks信號和doppler信號,在這些信號上加上高斯白噪聲,信噪比為10dB,信號長度為1024個(gè)采樣點(diǎn),采樣頻率為1Hz。這兩種信號都為非平穩(wěn)信號,前者具有突變性,后者具有漸變性,因此基本涵蓋了變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。其加噪信號如圖2所示。選用均方根誤差(RMSE)、信噪比(SNR)以及與真實(shí)信號的相關(guān)系數(shù)(r)為評價(jià)指標(biāo)［２０］,用來定量比較去噪效果,其中均方根誤差越小、信噪比越大、相關(guān)系數(shù)越高則去噪效果越好。為了較為全面地認(rèn)識基于頻率順序的多閾值準(zhǔn)則(FMC)小波包去噪法的去噪效果,將上述測試信號分別用小波通用去噪,小波包強(qiáng)制去噪,小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪(sqtwolog,rigrsure,heursure,minimaxi),文獻(xiàn)的方法以及FMC法進(jìn)行處理,每種方法得到對應(yīng)的RMSE、SNR以及r。上述各方法若涉及選取小波基的,均使用工程實(shí)際中被廣泛應(yīng)用的db4小波基,db4小波基具有正交性,可以任意分解,另外還有保證高頻信息不丟失的高度緊支撐性［２１］。根據(jù)信噪比,分解層數(shù)定為3層。涉及閾值類型的選取時(shí)都采用軟閾值,這樣可以更好地保護(hù)有用信息。參數(shù)的統(tǒng)一還可以保證去噪效果僅與分解方法(小波與小波包)、閾值準(zhǔn)則以及頻率順序有關(guān)。使用小波通用去噪的目的是作為一個(gè)基準(zhǔn),因?yàn)榇朔ň哂泻唵巍⒖焖?、穩(wěn)定的特點(diǎn),在實(shí)際工程應(yīng)用中被廣泛使用。使用小波包強(qiáng)制去噪的目的是為了比較沒有帶閾值準(zhǔn)則的處理與帶閾值準(zhǔn)則的處理的差別。分別利用4種閾值準(zhǔn)則進(jìn)行小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪是為了比較單一閾值準(zhǔn)則的處理與多閾值準(zhǔn)則的處理的差別。使用文獻(xiàn)的方法去噪是為了驗(yàn)證基于頻率順序并依據(jù)信息類型排序重組的有效性,其中,節(jié)點(diǎn)采用minimaxi準(zhǔn)則,節(jié)點(diǎn)采用sqtwolog準(zhǔn)則,其余節(jié)點(diǎn)采用rigrsure準(zhǔn)則。圖3是利用FMC法對兩種加噪信號進(jìn)行去噪的結(jié)果。具體過程如下:選定db4為小波基函數(shù),分解層數(shù)為3,對信號進(jìn)行小波包分解,得到小波包樹;熵標(biāo)準(zhǔn)定為Shannon,優(yōu)化小波基,得到最優(yōu)樹;根據(jù)信號及其噪聲的分布,設(shè)低頻段比例系數(shù)α=1/8,高頻段比例系數(shù)β=1/8,重組小波包樹節(jié)點(diǎn),具體而言,低頻段節(jié)點(diǎn)為,高頻段節(jié)點(diǎn)為,其余節(jié)點(diǎn)分在中頻段;依據(jù)表2,選低頻段閾值準(zhǔn)則A為minimaxi、中頻段閾值準(zhǔn)則B為rigrsure、高頻段閾值準(zhǔn)則C為sqtwolog,分別對小波包樹節(jié)點(diǎn)系數(shù)進(jìn)行閾值處理,具體而言,節(jié)點(diǎn)采用minimaxi準(zhǔn)則,節(jié)點(diǎn)采用sqtwolog準(zhǔn)則的,其余節(jié)點(diǎn)采用rigrsure準(zhǔn)則;對處理后的小波包分解系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu),得到去噪信號。將各種去噪方法后得到的信號的均方根誤差、信噪比以及相關(guān)系數(shù)列表如表3所示。由表3可知,FMC法去噪后的均方根誤差最小,信噪比最大,相關(guān)系數(shù)最高,因此去噪效果最好。通過分析可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論:所有方法都可以不同程度地去噪,因此可以應(yīng)用于GPS變形監(jiān)測領(lǐng)域;去噪效果最差的是小波包強(qiáng)制去噪,原因是因?yàn)闆]有利用到閾值準(zhǔn)則,這在調(diào)整系數(shù)時(shí),會(huì)產(chǎn)生很多誤差,因此必要的閾值準(zhǔn)則是提高去噪效果的有效方法;小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪效果優(yōu)于小波通用去噪,說明小波包去噪的精度整體上是優(yōu)于小波去噪的;4種閾值準(zhǔn)則的去噪效果相當(dāng),對于不同信號,各有優(yōu)劣,如何正確認(rèn)識信號以及閾值準(zhǔn)則的特點(diǎn)并靈活使用,是一個(gè)值得注意的問題;FMC法和文獻(xiàn)的方法去噪效果優(yōu)于小波包單一全局閾值準(zhǔn)則去噪,說明多閾值準(zhǔn)則處理能夠提高去噪精度;FMC法去噪效果優(yōu)于文獻(xiàn)的方法,證明基于頻率順序并依據(jù)信息類型排序重組可以切實(shí)提高精度。4去噪效果分析為了驗(yàn)證該法在實(shí)際工程中的去噪效果,進(jìn)行了一組試驗(yàn)。數(shù)據(jù)是從某教學(xué)樓頂連續(xù)觀測所得的GPS數(shù)據(jù),基線長度約為13m,數(shù)據(jù)采樣率為1Hz,連續(xù)觀測7d,經(jīng)雙差解算、多路徑重復(fù)性周期對齊之后等預(yù)處理而得到y(tǒng)方向的坐標(biāo)殘差數(shù)據(jù)。這7d數(shù)據(jù)具有高度相關(guān)性,其中存在著多路徑效應(yīng)、建筑物主模態(tài)的振動(dòng)頻率,以及風(fēng)致振動(dòng)變形等信息,所有這些有用信息的振動(dòng)頻率達(dá)到10－１Hz數(shù)量級。利用FMC法對該GPS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。根據(jù)原始信號特點(diǎn),選定具有正交性以及保證高頻信息不丟失的高度緊支撐性的db4為小波基函數(shù),熵標(biāo)準(zhǔn)定為shannon;根據(jù)小波包分解性質(zhì)以及那奎斯特采樣定理,采樣頻率為1Hz,所需要的小波包分解系數(shù)分辨率為0.01Hz,分解層數(shù)為5時(shí)分辨率為0.015625Hz,符合要求,確定分解層數(shù)為5;根據(jù)原理,0.015625為每一個(gè)小波包分解系數(shù)的頻段大小,而有用信息高達(dá)10－１Hz,因此低頻段和中頻段的分界點(diǎn)為0.1Hz,即低頻段比例系數(shù)α=8/32,又噪聲污染情況一般,即高頻段比例系數(shù)β=4/32;依據(jù)表2,選定閾值準(zhǔn)則A為minimaxi、B為rigrsure、C為sqtwolog。具體而言,節(jié)點(diǎn)、、、、、、、采用minimaxi準(zhǔn)則,節(jié)點(diǎn)、、采用sqtwolog準(zhǔn)則,其余節(jié)點(diǎn)采用rigrsure準(zhǔn)則。以第1天為例,原始信號和去噪信號如圖4所示,從結(jié)果可以看出去噪后信號的噪聲得到了有效剔除。此外,還使用小波通用去噪、文獻(xiàn)的方法對該數(shù)據(jù)進(jìn)行了去噪。并計(jì)算了第一天與后面各天坐標(biāo)殘差間的原始相關(guān)系數(shù)與各種方法得到的新的相關(guān)系數(shù)r,如表4所示;表5同時(shí)計(jì)算了各天坐標(biāo)殘差的標(biāo)準(zhǔn)偏差。通過分析能夠發(fā)現(xiàn),所有經(jīng)去噪后的信號中,FMC法處理后的相關(guān)系數(shù)提高最明顯,標(biāo)準(zhǔn)偏差最小,由此最大程度地去除了噪聲的污染,去噪效果最好。為更直觀地說明本方法去噪效果好的原理,圖5給出了利用welch平均周期圖法得到的原始信號、FMC法去噪信號以及傳統(tǒng)小波去噪信號的功率譜密度估計(jì)圖。由圖5能夠看出,兩種去噪信號的功率譜密度在10－２Hz以下的信息都得到了很好的保留,已基本滿足去噪需要;而在大于10－１Hz的信息部分,FMC法的去噪之后的功率譜從形狀以及減弱情況來看也比小波去噪要好。通過圖5放大圖可以發(fā)現(xiàn),在高精度GPS變形監(jiān)測所需要保留的10－２~10－１Hz的信息,傳統(tǒng)小波去噪之后的功率譜密度與原信號的功率譜密度相差較大,而FMC法則更接近原信號,保留了有用信息。因此,在高精度GPS變形監(jiān)測中,FMC法去噪能夠防止去噪不明顯或去噪過度等現(xiàn)象,是一種穩(wěn)定的去噪方法。5小波包分解系數(shù)的設(shè)立通過試驗(yàn)分析與工程應(yīng)用,可以發(fā)現(xiàn)本文方法去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)的小波、小波包去噪方法以及其他改進(jìn)的小波包去噪方法。本文的創(chuàng)新點(diǎn)如下:1傳統(tǒng)小波、小波包去噪并沒有充分考慮信號及其噪聲的分布,而基于頻率順序并依據(jù)信息類型劃分的多閾值準(zhǔn)則處理方法,可以在剔除噪聲的同時(shí)有效保護(hù)各頻段的有用信息;2基于頻率順序并依據(jù)信息類型劃分的觀點(diǎn)用于