【高中物理競賽專題大全】競賽專題1力學50題競賽真題強化訓練解析版

【高中物理競賽專題大全】競賽專題1力學50題競賽真題強化訓練一、單選題1．（2019·全國·高三競賽）某同學經(jīng)過一段時間練習，掌握了控制籃球的技巧。如圖所示，在距離地面一定高度的地方，讓其轉(zhuǎn)動起來，初速度為0釋放，和地面發(fā)生彈性碰撞，即在豎直方向速度大小不變。下面說法中正確的有（）A．不考慮空氣影響，地面有摩擦，則碰撞前后相比動能總量增加B．不考慮空氣影響，地面有摩擦，摩擦系數(shù)為μ，則籃球彈起瞬間，速度方向和豎直方向的夾角的最大可能值為arctanμC．不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球一定豎直彈起D．考慮空氣影響，籃球的落點會比釋放點偏右【答案】C【解析】【詳解】A．動能包括平動動能和轉(zhuǎn)動動能，摩擦力做功總是損失動能，即增加的平動動能小于減少的轉(zhuǎn)動動能，故A選項錯誤；B．在碰撞過程中質(zhì)心速度反向，于是可知支持力沖量為2mv，對應(yīng)摩擦力沖量的最大值2μmv，摩擦力提供的最大的水平速度為2μv（相對運動一直存在，也即要求球一開始的轉(zhuǎn)動速度足夠大），那么彈起之后，速度與豎直方向的夾角最大值應(yīng)該為arctan（2μ），選項B錯誤；C．不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球落地時水平方向不受力，則籃球一定豎直彈起，選項C正確；D．考慮空氣影響，籃球順時針旋轉(zhuǎn)，則其落點會比釋放點偏左，選項D錯誤。故選C。2．（2020·全國·高三競賽）有兩個同樣的梯子，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某相對的位置用一輕繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，將兩個同樣的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的繩更長一些。當某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時，下述說法正確的是（）A．甲梯所受地面的支持力一定較大B．甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等C．繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大D．繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小【答案】B【解析】【分析】【詳解】本題考查現(xiàn)實模型的受力分析。將人字梯和人作為整體，甲、乙兩梯所受地面的支持力等于兩梯和人的重力之和，故甲、乙兩梯所受地面的支持力相等，A錯誤，B正確；輕繩完全張緊時，對整體分析可知，人形梯水平方向上不受地面的摩擦力作用，C、D錯誤。二、多選題3．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，某同學經(jīng)過段時間練習，掌握了利用在瓶中裝不同高度的水，在瓶口吹出不同頻率聲音，以演奏樂曲的技巧。以下說法中正確的有（）A．若瓶中水柱高度之比為2：3：4，則吹出來的聲音頻率之比也為2：3：4B．吹出來聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來決定C．空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹D．空氣柱長度越長，發(fā)出的聲音頻率越高【答案】BC【解析】【詳解】AD．用嘴吹瓶子時是靠里面的空氣柱發(fā)聲，空氣柱越短振動越快，發(fā)出的聲音頻率越高，音調(diào)越高，與水柱高度無關(guān)，則AD錯誤；B．吹出來聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來決定，駐波頻率越高，則吹出來的聲音頻率越高，選項B正確；C．空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹，選項C正確。故選BC。4．（2020·全國·高三競賽）甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，甲車在前，乙車在后，兩車距離100m。從時起，甲、乙兩車的加速度隨時間變化如圖所示。取運動方向為正方向，下面說法正確的是（）A．t=3s時刻兩車距離最近B．t=9s時刻兩車距離為100mC．3~9s內(nèi)乙車做勻減速運動D．t=9s時刻乙車速度為零【答案】CD【解析】【詳解】A．圖像的面積表示速度變化量，因此在３s末甲車的速度變化量為可知此時甲車的速度為零，甲車的位移為乙車的位移為則此時兩車之間的距離為此時乙車沒追趕上甲車，乙車速度比甲車速度大，因此距離進一步縮小，A錯誤；BCD．甲車9s末的速度為乙車9s末的速度為乙車在3~9s做勻減速運動，說明甲乙兩車在3~9s互逆向運動，因此位移大小相等，因此9s的距離和3s末相同為55m，故B錯誤CD正確；故選CD。三、填空題5．（2021·全國·高三競賽）一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)小球靜止在水平桌面上，小球和桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g。用一根水平輕桿擊打小球，擊打位置位于球心所在的水平面上，擊打方向正對球心，擊打時間極短，小球獲得的水平?jīng)_量為p。從擊打結(jié)束開始經(jīng)___________時間后小球開始純滾動，小球開始純滾動時的速度為___________。已知小球繞球心的轉(zhuǎn)動慣量為?！敬鸢浮?/p>

【解析】【詳解】[1]由于擊打方向正對球心，所以小球只獲得平動初速度，其大小為①根據(jù)牛頓第二定律可得小球平動的加速度大小為②由于摩擦力矩的作用，小球獲得了角加速度，其大小為③設(shè)從擊打結(jié)束開始經(jīng)時間t小球開始純滾動，此時小球邊緣轉(zhuǎn)動的線速度大小等于平動時的速度大小，根據(jù)運動學規(guī)律有④聯(lián)立①②③④解得⑤[2]小球開始純滾動時的速度為⑥6．（2020·全國·高三競賽）海平面能將無線電波全反射，反射波與入射波之間存在由于反射造成的半個波長的相位突變。一艘船在其離海平面高度為25m的桅桿上裝有發(fā)射天線，向位于海岸高處的山頂接收站發(fā)射波長在2~4m范圍內(nèi)的無線電波。當船駛至與接收站的水平距離L越接近2000m，山頂接收站所接收到的信號越弱；當L=2000m時失去無線電聯(lián)系。山頂接收站海拔高度為150m。船上天線發(fā)出的無線電波中有一部分直接傳播到接收站，另一部分經(jīng)海平面反射后傳播到接收站，兩列波的幾何波程差為___m，該無線電波的實際波長為___m。【答案】

3.74

3.74【解析】【詳解】[1][2]兩列波的傳播關(guān)系如圖所示則有波程差為因由半波損失，則信號站信號弱因為兩列波疊加減弱造成，因此應(yīng)有又因波長為2~4m，因此實際波長為3.74m7．（2019·全國·高三競賽）圖中的為等邊三角形，連接邊、邊的中點、，再連接、的中點、……如此繼續(xù)下去，構(gòu)成無限內(nèi)接等邊三角形系列．設(shè)所有線段的質(zhì)量線密度相同，邊的質(zhì)量為，長度為，那么等邊三角形系列的總質(zhì)量為_________，系統(tǒng)質(zhì)心與邊的距離為__________.【答案】

【解析】【詳解】依題意，等邊三角形系列的總質(zhì)量為.和的質(zhì)量同為，兩者的質(zhì)心與的距離同為.……各邊的質(zhì)量為、、、……各邊的質(zhì)心與邊的距離為、、、……系統(tǒng)的質(zhì)心與邊的距離為將大括號內(nèi)各項中的第一項相加得：將大括號內(nèi)各項中的第二項相加得：將大括號內(nèi)各項中的第三項相加得：…….8．（2020·全國·高三競賽）為了提高風力發(fā)電的效率，我國目前正逐步采用變槳距（即調(diào)節(jié)風機葉片與風輪平面之間的夾角，當風速小時使葉片的迎風面積增大，當風速超過一定限度時使葉片的迎風面積減小，以穩(wěn)定其輸出功率）控制風力發(fā)電機替代定槳距控制風力發(fā)電機。圖a所示中風力發(fā)電機每片葉片長度為54m，定槳距風機和變槳距風機的功率與風速的對應(yīng)關(guān)系如圖b所示，所處地域全天風速均為7.5m/s，空氣密度為1.29kg/m3，煤的燃燒值為2.9×107J/kg。每小時進入一臺變槳距控制風力發(fā)電機的風的初始動能與完全燃燒___kg煤所放出的熱量相當，變槳距控制風力發(fā)電機將風能轉(zhuǎn)化成電能的效率為___%。【答案】

3.1×102

16【解析】【詳解】[1][2]在一個小時內(nèi)空氣進入發(fā)電機的總質(zhì)量為則空氣的總動能為則等效燃燒的煤的質(zhì)量為則進風的原始功率為由圖可知當前風速的實際功率為，因此效率為9．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，我們以太陽為參照系，地球繞太陽的運動周期為T，以地球為參照系，月球繞地球的運動周期為T，則相鄰兩次月球-地球-太陽排列成幾乎一條直線的時間差約為____________。記地球繞太陽的軌道半徑為rE，月球繞地球的軌道半徑為rM（rE>>rM），以太陽為參照系，月球運動過程，加速度的最小值和最大值的大小比例為_______________?！敬鸢浮?/p>

【解析】【詳解】[1]設(shè)地球繞太陽的角速度為ω1，月球繞地球的角速度為ω1，再經(jīng)過時間t后三個球排成幾乎一條直線，則解得[2]當月球運行到三球在一條直線且月球在中間時，加速度最小；當月球運行到三球在一條直線上，且地球在中間時，加速度最大，故有故有因為，所以有所以四、實驗題10．（2020·全國·高三競賽）實驗題一單擺法測定重力加速度和待測金屬球材料的電導率【實驗題目】根據(jù)下列給定的實驗器材和內(nèi)容，設(shè)計單擺實驗，測定當?shù)氐闹亓铀俣群痛郎y金屬球材料的電導率?！緦嶒炂鞑摹?1).單擺裝置一套：包括一個半徑為的測角儀，量程為，分度值為。(2).帶擺線的鋁球一個（質(zhì)量、電導率）；帶擺線的待測金屬球一個（質(zhì)量）。(3).螺旋測微器一把、卷尺一個，多通道計時秒表一個（使用方法詳見“秒表使用說明書”）。(4).釹鐵硼永磁鐵一塊。注意：磁鐵為易碎物品，使用中請勿掉落地面。(5).秒表盒一個、泡沫板幾塊和撲克一副（可用于墊高磁鐵）。(6).一次性口罩一個。【實驗注意事項】(1).擺球的懸線較細，測量過程中不能用力拉扯擺線。(2).擺球與懸線使用膠粘合，使用過程中不能人為拉扯，輕拿輕放，人為情況導致的球線分離不能更換擺球。(3).不得在擺線等儀器上做任何標記。(4).使用釹鐵硼永磁鐵時，請小心輕放，以免損壞，影響后續(xù)實驗測量。(5).實驗結(jié)束，必須將儀器設(shè)備整理為初始狀態(tài)。(6).實驗過程中全程高清視頻監(jiān)控，任何惡意損壞實驗伩器等不當行為將每次扣15分。(7).測量過程中請佩戴口罩，空氣的流動對測量結(jié)果有影響?！净A(chǔ)知識】(1).線性阻尼振動把一個金屬小球拴在一根細長的線上，當細線質(zhì)量遠小于小球質(zhì)量，小球的直徑遠小于細線的長度時，此裝置可以看作是一單擺。略去空氣的浮力以及擺線的伸長量，且當擺角較小時（小于等于），可以認為單擺的運動是簡諧振動。較長時間觀察單擺的運動就會發(fā)現(xiàn)，單擺的擺幅隨著時間衰減，這是空氣阻力在起作用。當小球擺動的速度很小時，空氣阻力近似與擺動速度成線性關(guān)系，小球的運動稱為線性阻尼振動，它的運動方程為，且有一般解，其中為擺角，為阻尼系數(shù)，為無阻尼簡諧振動的固有角頻率。線性阻尼振動的角頻率與簡諧振動的角頻率之間滿足。(2).運動金屬球在梯度磁場中受到的阻尼力梯度磁場指的是空間變化率（梯度）不為零的磁場。金屬球在這樣的磁場中運動時會在其內(nèi)部產(chǎn)生渦旋電流，因此會受到外磁場的作用。這個作用總是與金屬球的運動方向相反，稱之為磁阻尼力。金屬球在梯度磁場中運動時受到的磁阻尼力與金屬球的電導率有關(guān)。如果金屬球在一個梯度為（常數(shù)）的磁場中運動，磁阻尼力可以表達成：，其中是金屬球的半徑，為金屬球的運動速度，為金屬球材料的電導率?！緦嶒瀮?nèi)容及要求】實驗內(nèi)容：①.使用鋁球做為單擺擺球，準確測量長沙的重力加速度。(1)選擇合適的測量工具，多次測量鋁球的直徑、單擺擺線的長度，列出實驗數(shù)據(jù)，求出平均值，并計算各物理量的不確定度。(2)設(shè)計合理的實驗方案，觀測鋁球在線性空氣阻尼作用下，擺幅隨時間的變化，記錄實驗數(shù)據(jù)，計算周期；根據(jù)線性阻尼振動方程一般解的形式，擬合計算空氣阻尼系數(shù)，分別估算兩者的不確定度。(3)根據(jù)測量結(jié)果，利用阻尼振動周期的公式計算重力加速度，并估算其不確定度。②.測定鋁球在磁阻尼作用下做單擺運動的阻尼系數(shù)。(1)在擺球靜止時，釹鐵硼磁鐵應(yīng)放置在擺球質(zhì)心的正下方處，觀測鋁球在磁阻尼作用下，擺幅隨時間的變化，記錄實驗數(shù)據(jù)。(2)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)擬合計算出此條件下單擺的阻尼系數(shù)，并估算其不確定度。③.測量待測金屬球材料的電導率(1)選擇合適的擺長，分別在有、無磁鐵條件下，觀測待測金屬球單擺擺幅隨時間的變化，并記錄實驗數(shù)據(jù)。(2)根據(jù)上述測量結(jié)果分別計算出未知金屬球在有、無磁鐵時的阻尼系數(shù)和，并估算這兩個阻尼系數(shù)的不確定度。(3)根據(jù)上述實驗測量結(jié)果以及磁阻尼力公式：，推導出待測金屬球材料電導率的計算公式，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)求出待測金屬球材料的電導率，并估算其不確定度。實驗要求：(1).請學生自行調(diào)整測角儀（半徑為）到合適的位置進行實驗數(shù)據(jù)的測量。(2).寫出實驗原理、操作要點，列出實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗內(nèi)容保留必要的數(shù)據(jù)處理過程?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥俊驹斀狻吭u分標準1．使用鋁球做單擺擺球，準確測量當?shù)氐闹亓铀俣?1)8分實驗操作要點：1分①讓鋁球做小角度（小于）擺動，當擺球擺動到最低點時，使用多通道計時器記錄擺球擺動30次的所有的時間。②鋁球拉至擺角大于時釋放，當擺球角度達到時開始記錄實驗數(shù)據(jù)。實驗數(shù)據(jù)記錄螺旋測微器零點誤差：次數(shù)123456平均時間（）59.0359.159.0759.0659.0859.0359.06擺線（）950.1950.2950.0949.9949.8950.0950.0鋁球直徑（）20.00220.00019.99920.00419.99819.99820.000實驗數(shù)據(jù)處理根據(jù)算術(shù)平均值的不確定度公式求解各測量物理量的不確定度得：；；；則擺長為：評分：1）實驗操作要點1分：每一點各占0.5分；2）數(shù)據(jù)記錄6分：周期、擺線、小球直徑各占2分。6組以上數(shù)據(jù)6分；3-5組計3分；少于3組計1.5分；沒有螺旋測微器的零點誤差扣1分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；3）不確定度的計算1分：計算結(jié)果無單位扣1分。只有實驗結(jié)果，無對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)或者實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計零分。(2)8分實驗數(shù)據(jù)記錄和處理鋁球在空氣阻尼作用下，擺幅隨時間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時間（）角度（）角度（）角度（）角度（）角度（）00.005.005.005.005.005.001019.674.664.674.664.684.672039.344.344.354.334.364.333059.034.034.054.044.054.034078.713.783.793.793.793.785098.413.573.563.553.563.5760118.133.333.333.343.353.3370137.793.143.153.143.163.1480157.422.982.992.992.992.9890177.202.782.812.792.822.78100196.842.662.672.652.682.66110216.572.492.512.502.512.49120236.232.382.392.392.42.38130255.952.242.252.252.252.24140275.652.142.132.132.132.14150295.312.002.012.012.012.00160314.971.931.931.921.931.93170334.691.821.831.821.821.82180354.301.741.731.741.741.74190374.031.661.651.651.651.66200393.801.591.581.591.591.59210413.411.501.501.511.501.50阻尼系數(shù)求解：2分方法一：多組數(shù)據(jù)擬合使用公式進行擬合得到阻尼系數(shù)如下：鋁球12345平均擬合0.0041160.0040240.0040880.0040010.0041230.004070不確定度：方法二：單組數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可以得到阻尼系數(shù)：不確定度評分：1）實驗數(shù)據(jù)6分：三組及以上實驗數(shù)據(jù)并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計6分，少于3組數(shù)據(jù)或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計3分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；（多組數(shù)據(jù)線性擬合評分標準一致）或者單組實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減范圍大于3度并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計6分，單組及實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計3分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；2）擬合出阻尼系數(shù)：擬合出三組及以上阻尼系數(shù)、求出平均值并計算出不確定度計2分，少于三組擬合結(jié)果的減半計分；或者滿足單組實驗數(shù)據(jù)測量要求擬合出阻尼系數(shù)并計算出其不確定度計2分，計算結(jié)果無單位扣1分。只有實驗結(jié)果，無對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)或者實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計零分。(3)求重力加速度根據(jù)；可得根據(jù)測量和計算結(jié)果，將數(shù)值代入公式由不確定度傳遞公式得：（或者）得：評分：1）重力加速度的公式1分；2）實驗結(jié)果2分：重力加速度為（含不確定度的結(jié)果）2分；或者（含不確定度的結(jié)果）1分；實驗結(jié)果無單位扣1分；計算過程無不確定度的求解公式扣1分。只有實驗結(jié)果，無對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)或者實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計零分。2．測定鋁球在磁阻尼作用下做單擺運動的阻尼系數(shù)。(1)7分操作要點：1分①不改變第一問鋁球做單擺運動的條件，待鋁球靜止時，將釹鐵硼方形磁鐵放置于鋁球質(zhì)心正下方處。②將鋁球拉至擺角大于時釋放，使得擺球正好從磁鐵的正中心擺過，當擺球角度達到時開始記錄實驗數(shù)據(jù)。實驗數(shù)據(jù)：6分鋁球在空氣阻尼和磁阻尼的作用下，擺幅隨時間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時間（）角度（）角度（）角度（）角度（）角度（）00.005.005.005.005.005.0059.834.584.604.584.584.601019.684.184.194.194.184.181529.523.793.823.813.823.812039.363.493.483.493.483.492549.163.113.143.103.123.103058.972.792.812.802.812.803568.882.492.512.492.52.494078.712.112.122.112.122.114588.481.951.981.961.981.955098.351.701.721.701.721.7055108.231.491.501.501.501.49評分：1）實驗操作要點1分；2）實驗數(shù)據(jù)6分：三組及以上實驗數(shù)據(jù)并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計6分，少于3組數(shù)據(jù)或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計3分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；或者單組實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減范圍大于3度并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計6分，單組及實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計3分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分。(2)阻尼系數(shù)求解：2分方法一：多組實驗數(shù)據(jù)擬合同理使用公式進行擬合，得鋁球在磁場中擺動的磁阻阻尼系數(shù)：鋁球12345平均擬合0.0062070.0060480.0062240.0061450.0062020.006165不確定度：方法二：單組實驗數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可以得到阻尼系數(shù)：不確定度評分：擬合出三組及以上阻尼系數(shù)求出平均值并給出相應(yīng)的不確定度計算公式求出相應(yīng)的不確定度2分，少于三組擬合結(jié)果或者不給出不確定度求解公式減半計分；或者滿足單組實驗數(shù)據(jù)測量要求擬合出阻尼系數(shù)并給出相應(yīng)的不確定度計算公式求出相應(yīng)的不確定度計2分，計算結(jié)果無單位扣1分；只有實驗結(jié)果，無對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)或者實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計零分。擬合出來的磁阻作用下的阻尼系數(shù)要大于空阻作用下的阻尼系數(shù)，趨勢不對則擬合結(jié)果記零分。3．測定待測金屬球材料的電導率。(1)12分操作要點：2.0分①取下鋁球，保持磁鐵位置不變。②將待測金屬球掛上，調(diào)整擺線的長度使得擺線的長度與原鋁球擺線長度一致（球心到磁鐵距離與鋁球一致）。③將待測金屬球拉至擺角大于時釋放，使得擺球正好從磁鐵的正中心的豎直平面擺過，當擺球角度達到時開始記錄實驗數(shù)據(jù)（記錄待測金屬球在磁場中擺動時，擺角隨時間的衰減規(guī)律）。④當待測金屬球在磁場中擺動的數(shù)據(jù)記錄完畢后，將磁鐵取下，同樣將待測金屬球拉至擺角大于時釋放，當擺球角度達到時開始記錄實驗數(shù)據(jù)（記錄待測金屬球在空氣中擺動時，擺角隨時間的衰減規(guī)律）。實驗數(shù)據(jù)：10分待測金屬球在磁阻尼和空氣阻尼作用下，擺幅隨時間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時間（）角度（）角度（）角度（）角度（）角度（）00.005.005.005.005.005.002039.384.634.634.634.634.634078.774.304.294.294.284.2860118.133.983.983.983.973.9680157.513.663.653.653.673.67100196.943.383.393.393.383.38120236.233.103.113.103.093.10140275.662.872.862.872.892.89160315.062.622.612.622.592.59180354.452.402.392.382.392.40200393.842.192.192.192.192.19220433.231.991.991.991.991.99待測金屬球在空氣阻尼作用下，擺幅隨時間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時間（）角度（）00.005.003059.104.6560118.274.3190177.314.02120236.423.76150295.553.51180354.663.30210413.703.10240472.812.93270531.882.79300591.032.61330650.142.48360709.302.32390768.372.20420827.452.09450886.511.98待測金屬球直徑實驗數(shù)據(jù)記錄螺旋測微器零點誤差：次數(shù)123456平均待測金屬球直徑20.00220.00119.99920.00319.99819.99820.000評分：1）操作要點2分：2）待測金屬球在磁阻尼和空氣阻尼共同作用下的實驗數(shù)據(jù)6分：三組及以上實驗數(shù)據(jù)并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計6分，少于3組數(shù)據(jù)或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計3分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；（線性擬合多組數(shù)據(jù)評分標準一致）或者單組實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減范圍大于3度并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計6分，單組及實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計3分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；3）待測金屬球在空氣阻尼作用下的實驗數(shù)據(jù)3分：單組實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減范圍大于3度并且單組實驗數(shù)據(jù)大于等于11個數(shù)據(jù)點計3分，單組及實驗數(shù)據(jù)測量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個數(shù)據(jù)點計1.5分，單組數(shù)據(jù)少于8個數(shù)據(jù)點計0分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；或者說明在擺長、球的直徑、擺幅相同的情況下兩球的空氣阻尼阻尼系數(shù)一致并解釋其原因，實驗數(shù)據(jù)部分計3分；4）待測金屬球直徑數(shù)據(jù)1分：6組以上數(shù)據(jù)1分；少于6組計0.5分；沒有螺旋測微器的零點誤差扣0.5分。實驗數(shù)據(jù)或結(jié)果無單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過兩處有效數(shù)字錯誤則數(shù)據(jù)部分計0分；(2)2分待測金屬球在空氣阻尼和磁阻阻尼作用下的阻尼系數(shù)：1.5分方法一：多組實驗數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可得出待測金屬球在磁阻阻尼系數(shù)未知金屬球12345平均擬合0.0015570.0015550.0015510.0015620.0015610.001557不確定度：方法二：單組實驗數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可以得到阻尼系數(shù)：不確定度待測金屬球空氣阻尼系數(shù)0.5分方法一：指數(shù)擬合得不確定度：方法二：線性擬合得不確定度：評分：2分1）擬合出待測金屬球的磁阻阻尼系數(shù)并利用公式求解出不確定度計1.5分；擬合出三組數(shù)據(jù)及以上的阻尼系數(shù)求出平均值并利用不確定度計算公式求出不確定度計1.5分，少于3組或者無不確定度計算公式計1分；或者滿足單組實驗數(shù)據(jù)測量要求的擬合出阻尼系數(shù)并利用不確定度計算公式求出不確定度計1.5分；無不確定度計算公式扣1分；2）擬合出待測金屬球的空氣阻尼系數(shù)0.5分，無不確定度計算公式扣1；所有的計算結(jié)果無單位扣1分，只有實驗結(jié)果，無對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)或者實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計零分。擬合出來的磁阻作用下的阻尼系數(shù)要大于空阻作用下的阻尼系數(shù)，鋁球的阻尼大于相同條件下的銅球的阻尼，趨勢不對則擬合結(jié)果記零分。(3)導出電導率的求解公式和實驗結(jié)果處理電導率公式的推導因為阻力：；所以又因為；所以其中式中、為待測金屬球和鋁球的電導率，、為待測金屬球和鋁球的質(zhì)量，、為待測金屬球和鋁球的半徑。實驗結(jié)果處理將已知量代入公式求解待測金屬球的電導率得：不確定度：則：故評分：1）電導率公式推導10分：、、各2分；2）待測金屬球電導率結(jié)果6分：6分；或者3分；其余結(jié)果計0分；實驗結(jié)果無單位扣2分；只有實驗結(jié)果，無對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)或者實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計零分。3）實驗結(jié)果的不確定度分析2分。無不確定度計算公式扣1分。五、解答題11．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，在一次紅、藍兩軍的對抗模擬演習中，紅軍飛機在藍軍上空飛行，飛行高度，藍軍一高射炮發(fā)現(xiàn)目標．到飛機原飛行路徑（直線）在水平面上的投影（直線）的距離為，發(fā)射炮彈速度為（1）要使每炮均擊在飛機的原飛行路徑上，那么的對準線與平面的交點軌跡是怎樣的曲線，定量求之（2）如果飛機在距最近的處發(fā)現(xiàn)了，決定在的平面先作圓周運動再丟下一個和飛機速度相同的炸彈攻擊．．試求飛機做圓周運動半徑大?。?）當飛機在處并決定作出（2）中所述行動的同時，也發(fā)現(xiàn)了飛機的行動，設(shè)此時對準上方，水平角度調(diào)整速度，豎直方向調(diào)整時間忽略．定量計算并指出高射炮能否在飛機丟炸彈前擊下飛機【答案】(1)對準點軌跡為一個圓：(2)(3)高射炮能在飛機拋炸彈前打下飛機【解析】【詳解】（1）如圖作坐標系．對于處飛機路徑上的點，炮水平偏角，有，設(shè)瞄準的高度為，對于拋出的炮彈：將①式代入②式得出故對準點軌跡為一個圓：（2）設(shè)飛機飛地半徑為，于是拋出炸彈走的水平距離為對于炸彈，有由此得出（3）飛機飛到拋炸彈處所用時間為對于高射炮，只考慮其在一特殊情況下的時間：先對準飛機拋炸彈處再射出炮彈．調(diào)整時間對于炮彈，有由上述式子可得取較小的通過計算得，，由，高射炮能在飛機拋炸彈前打下飛機12．（2019·全國·高三競賽）小球A、B、在光滑的水平面上沿一直線靜止放置，A、B質(zhì)量不等，B、質(zhì)量相同，B與B'間有一輕彈簧連接，彈簧處于自由長度狀態(tài)，讓A對準B勻速運動，彈性碰撞后，接著又可觀察到A、B兩球間發(fā)生一次相遇不相碰事件，試求A質(zhì)量與B質(zhì)量的比值．（給出3位有效數(shù)值）【答案】【解析】【詳解】將B、的質(zhì)量同記為m，A質(zhì)量便是，再將A的初速度記為，A、B相碰后，A的速度和B的速度可由下面的方程組確定：，解得，．按圖中位置的x軸碰撞時刻t=0，而后A的運動可表述為，碰后，B、彈簧、系統(tǒng)質(zhì)心C將做勻速直線運動，速度為．B沿x軸方向相對C的初速度為設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，從B到C一段彈簧的勁度系數(shù)便是，B相對于C做簡諧振動，有，．由初始條件t=0時，，可得振幅和初相分別是，．于是，．相對于水平面沿x軸方向的運動便是，．某個時刻，A、B相遇而不相碰的條件是，，即，．移項后兩式平方相加及兩式相除，整理后得①（在第三象限），②由①得，，代入②得，．采用計算器二分逼近法可得【點睛】碰撞與彈簧相結(jié)合的題目自然是難題了．本題的另一個難度則是在解答過程中出現(xiàn)超越方程的處理方式，從目前的條件來看，功能強大的計算器自然能起到很大的幫助，但圖像的處理方式也是競賽學習中必須掌握的基本方法．需要提示的是，在研究復雜的振動過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)類似的超越方程，其處理方法應(yīng)掌握好．13．（2019·全國·高三競賽）一個原長為L、彈性系數(shù)為k的輕軟彈簧一端懸掛在轉(zhuǎn)軸上，另一端連接一個質(zhì)量為m的球體．彈簧自水平、自然伸長狀態(tài)釋放，如圖甲所示．當彈簧達到豎直位置時，彈簧的長度是多少？（軟彈簧意味著，因此彈簧內(nèi)部的張力始終直接正比于其伸長量）【答案】【解析】【詳解】由于彈簧很軟，初始時球體實際上做自由落體運動．彈簧的長度很快變?yōu)樵L度的數(shù)倍（原長度在后續(xù)運動中可以忽略不計）．在這樣的近似下，球體在水平和豎直兩個方向上均做簡諧振動．由于小球剛剛釋放時初速度為0，它到達懸掛點正下方時水平振動剛好經(jīng)過周期．同時，豎直方向的運動也相應(yīng)地完成周期，到達懸掛點正下方的平衡位置，距離遠遠大于彈簧的原長度為．小球的運動也可以用方程來定量描述，在如圖乙所示的坐標系中，小球在點處的運動方程為在小球運動的初期，彈簧的伸長量與原長度L相比很小，彈簧的彈力可忽略不計．另一方面，當時，彈簧的原長可以忽略，小球的運動方程可以簡化為和．這兩個方程描述的周期相同的簡諧振動，平衡位置分別為x方向的原點和y方向坐標為的位置．考慮振動的初始條件，有，小球位于懸掛點正下方時，，，與前面的結(jié)論是一致的．當然，小球最終還可以到達的位置．【點睛】這是一個平面振動系統(tǒng)的模型，而且，它們的平衡位置是錯位的，求解它們必須是在熟練地掌握運動的合成及振動的規(guī)律運用的基礎(chǔ)上進行．從另一方面講，本題仍然只是給出了一個基本的運動模型，命題人完全可以在此模型的基礎(chǔ)上增加一些附加的結(jié)構(gòu)，以增加難度，進而達到考查能力的目的．14．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，有一輛左右對稱的光滑小車，質(zhì)量為M，放在光滑水平面上，不考慮輪子質(zhì)量。重力加速度為g。將一個質(zhì)點。如圖放置，初態(tài)質(zhì)點和小車都靜止，然后自由釋放。小球下降r之后進入半徑為r的圓弧，經(jīng)過圓心角為后騰空一段距離l后恰好相對小車沿切線進入右側(cè)圓弧，最終上升到右側(cè)與初態(tài)相同高度的點。(1)求出質(zhì)點剛開始騰空時，小車的速度大小(2)為了使得質(zhì)點恰好進入右側(cè)圓弧，l應(yīng)當為多少?！敬鸢浮?1)；(2)【解析】【詳解】(1)假設(shè)小球在地面系中擁有水平速度v，豎直速度v，車擁有水平速度u由水平方向車球系統(tǒng)動量守恒知列出在脫離瞬間的能量守恒速度約束條件題目給出；在第一個和第二個式子中左右同除M，新的三個方程只含三個速度作為未知量，解得(2)在小車系中，球以的初始速度，在脫離后做斜拋運動，其射程即為l，列出方程帶入得15．（2019·全國·高三競賽）一質(zhì)量為，傾角為的斜面放置在光滑水平面上，另一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓柱體沿斜面無滑動滾下，如圖所示（1）建立斜面和圓柱體的動力學方程，并指出圓柱體作純滾動的運動學條件（2）確定此力學系統(tǒng)的守匣量，并給出具體的表達式（3）求解斜面的加速度，以及圓柱體質(zhì)心相對于斜面的加速度【答案】(1)即,圓柱體作純滾動的條件為(2)(3)解得斜面加速度和圓柱體質(zhì)心的相對加速度分別為,【解析】【詳解】選擇地面為定參考系，動參考系在斜面上，如圖所示．設(shè)斜面有向右的加速度，圓柱體質(zhì)心有相對于斜面的加速度（設(shè)其方向沿斜面向下），以圓柱體質(zhì)心為動點，斜面為動系，由加速度合成定理，而，故有．于是，得到，．對斜面應(yīng)用質(zhì)心運動定理，有．①對圓柱體質(zhì)點，其運動微分方程為，．考慮到，．于是，有，②．③設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動的角加速度為（設(shè)為逆時針轉(zhuǎn)，根據(jù)動量矩定理，有，即．④圓柱體作純滾動的條件為．⑤（2）設(shè)斜面有向右的速度，圓柱體質(zhì)心相對于斜面有向下的速度，如圖所示，根據(jù)速度合成定理，有，而，故有．于是，得到，．以斜面和圓柱體組成系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向上不受外力，由系統(tǒng)水平方向上動量守恒，可得．兩邊對時間求導，并考慮到，，即得．⑥（3）聯(lián)立式①～⑥，解得斜面加速度和圓柱體質(zhì)心的相對加速度分別為，16．（2019·全國·高三競賽）兩相互咬合良好，且導通的金屬盤狀齒輪、均可繞水平軸無摩擦轉(zhuǎn)動，而由另一個與同軸絕緣滑輪上有細繩，下掛一重物，質(zhì)量為，、、的半徑分別為，，，質(zhì)量分別為，，，且兩軸、間連有電阻，大小為．其他電阻均不計，空間中分布有勻強磁場，大小為，方向垂直于金屬盤，試問：（1）對任一時刻（時，下落速度），與流過的總電量滿足：，，為常量，試求之（2）重物下落至勻速時的速度（3）當時，重物的加速度【答案】(1)，(2)(3)【解析】【詳解】(1)設(shè)輪角速度大小為，則也為，而角速度為，從而，電流再進行力學分析，電流對，輪產(chǎn)生的力矩分別為，設(shè)輪角加速度為，則其中為、輪切點作用力，為繩中的張力，而，，分別為、，輪的轉(zhuǎn)動慣量．①③式入②式得．④又，，即對上式求和，最終有故，（2）當重物勻速下降時，有即，且，解得所以，（3）當時，從而，代入④式得所以，17．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，空間中有一水平面，其右側(cè)為一垂直于水平面的墻面．現(xiàn)使空間內(nèi)具有一勻強磁場，大小為，方向如圖所示，已知一質(zhì)量為，帶電量為的小球，在距墻左處的水平面上以速度開始向右水平運動，設(shè)球與水平面動摩擦因數(shù)為，且與墻的碰撞為彈性的．試問：（1）要使小球曾經(jīng)運動到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與墻相碰，以上數(shù)據(jù)應(yīng)滿足的條件．（2）設(shè)小球可以運動到平面以上，并且為（1）中所滿足條件的次小值，而且由小球運動到靜止用時為．小球最終停在何處？（3）若小球始終緊貼水平面運動，且最終靜止于原出發(fā)點，則從出發(fā)到靜止耗時為多少？【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】【詳解】（1）若要小球可以運動到平面以上，則首先有，接下來，我們將分解成和，其中，則．于是小球的運動分解成水平向右的速度為的直線運動及速率為的逆時針方向的勻速圓周運動的合成，且易知此圓周運動中，有，．當小球速度垂直于墻時，此時，現(xiàn)討論如下：①，即，則此種情況下，小球運動的軌跡下方拐點處速度向右，上方拐點處速度向左，當小球垂直撞墻時，必有，則②，即，則此種情況下，小球運動的軌跡上、下方拐點處的速度都向右，則時，小球均可垂直撞墻，故有另外，當時，我們注意到小球軌跡為如圖所示，要使小球在處于時碰撞，則拐點面必須在面左方，即是說，對于任一，要求有其中，為圓周運動半徑，，對于上式右邊求最值，易知，即合速度豎直向上時，右邊最大，從而應(yīng)滿足化簡得綜上所述．數(shù)據(jù)應(yīng)滿足條件為（1*）或（2*）如下1*．2*．（2）當滿足（1）中條件1*時，我們知，，故由題意，碰后返回所用時間為．而這段時間內(nèi)，有支持力，且滿足．從而，直到小球停止時，總沖量．其中即小球碰后所有距離，由動量定理，則．故而得：．同理，當滿足（1）中條件2*時，得．（3）由題意，此時，對于碰墻前時刻，有．故而，．與（2）同理可知，碰墻時速度滿足．而對于碰撞后到靜止，同理有，故而．所以總時間．18．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，一水平光滑圓盤繞著通過點并垂直于盤面的定軸以勻角速度轉(zhuǎn)動．盤上有一個以為圓心的圓形軌道，一質(zhì)量為的質(zhì)點被約束在軌道內(nèi)運動，質(zhì)點與軌道的動摩擦因數(shù)為．開始時，質(zhì)點的相對速度為，試分析：（1）運動中質(zhì)點的相對運動速度（2）軌道對質(zhì)點約束反力的大?。?）質(zhì)點運動的相對路程與時間的關(guān)系．【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】（1）建立如圖所示的坐標系，質(zhì)點在水平面內(nèi)受軌道壓力，動摩擦力．應(yīng)用動靜法，則質(zhì)點還有離心慣性力，和科氏慣性力．，①．②方向如圖所示．質(zhì)點運動軌跡為圓周線，采用自然坐標系，質(zhì)點運動微分方程為，③④由式④可得⑤將式⑤代入式③中，可得⑥將式⑥分離變量，可得兩邊積分，化簡得⑦（2）將式⑦代入式⑤中，得到⑧即為軌道對質(zhì)點的約束反力．（3）根據(jù)，得⑨對式⑨兩邊積分，并考慮初始條件：時，有．于是，有19．（2019·全國·高三競賽）有一個豎直光滑輕軒固定在質(zhì)量的寬大底座中央．一不可伸長的輕繩長，一端固定在桿頂，另一端連接在一個套在桿上的小輕環(huán)上，小輕環(huán)可沿桿自由運動（桿長略大于）．另在輕繩上串一個可視為質(zhì)點且小孔光滑的小珠，質(zhì)量為．平衡態(tài)下，小珠靠在小輕環(huán)上．之后給小珠一個與水平面夾向上的速度．在整個過程中，底座處于水平面內(nèi)不會翻轉(zhuǎn)．問：小珠上升過程中，為使底座水平不動，地面和底座的靜摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多少？【答案】【解析】【詳解】由于環(huán)與桿無摩擦，又由繩張力的作用，輕環(huán)與小珠相連線時刻與桿垂直．如圖所示，以桿為軸，端點為原點，垂直方向為軸建坐標系，小珠運動軌跡應(yīng)滿足，即故小珠運動軌跡為一拋物線，頂點為為求每一點曲率半徑，建立以下模型：小球以由高處平拋至地面，有于是令，有設(shè)，則對任一點有，速度方向又由于，且，，有于是對任一處有，可知初時，，的方向正好沿軌道切線速度方向向心力方向受合力受向心力為再考慮，當坐標時，有而，即有解出不妨設(shè)，那么考慮底座的受力于是為求最大值，，有估計大約值為運用切線法，有做大略圖．由圖發(fā)現(xiàn)，處為極大值所以，20．（2019·全國·高三競賽）在行星繞太陽的橢圓運動中，若令，，其中，為周期，為半長軸，為離心率．在天文學上，稱為偏近點角，試證開普勒方程：．（當行星處子近日點時，取，即）注：偏近點角是過橢圓上的任意一點，垂直于橢圓半長軸，交半長軸外接圓的點到原點的直線與半長軸所成夾角．在橢圓的參數(shù)方程，中，參數(shù)角即為偏近點角【答案】證明見解析【解析】【詳解】方法1：由能量關(guān)系，得則．①由于，則．由于，其中，則．由于，則，②則，③．④把③④代入①，得．代入②，得．由開普勒第三定律，得，則．積分，得．由于處于近點時，，而此時，得，則，即．方法2：建立如圖所示的坐標系，則軌道方程為．同時，，．對于任意一點，有，而，則．為此，作以為圓心，以為半徑的圓，方程為．過作軸平行線交圓于，則，．為從近日點到任意點的時間，其間轉(zhuǎn)過了圈，則．為面積速度，，關(guān)鍵是求，由于對于同樣的，橢圓、圓上對應(yīng)的縱坐標、，易知，則，則．又，．則，則，則，則．上面計算中，只取了中的一個值，故只需再推廣的定義，上式即化為．21．（2019·全國·高三競賽）（1）質(zhì)量為的天體（例如太陽）固定不動，質(zhì)量為的質(zhì)點（例如小行星）以速度、瞄準距離從無窮遠處，在的萬有引力作用下沿雙曲線軌道靠近運動，最后又遠離而去．試求圖1所示的散射角（即運動方向的偏轉(zhuǎn)角）．（2）電量的帶電質(zhì)點（例如重原子核）近似不動，質(zhì)量為、電量為的帶電質(zhì)點（例如如粒子）以速度、瞄準距離從無窮遠處（或足夠遠處）靠近運動，又在庫侖力的作用下遠離而去，試求圖2所示的散射角．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】（1）如圖所示，雙曲線的參量記為、、，且．質(zhì)點位于內(nèi)焦點，雙曲線的頂點與坐標原點相距，質(zhì)點在處的速度大小記為．由能量守恒有，由角動量守恒有，可解得，，即．由幾何關(guān)系有，即有，所以，．（2）如同（1），如圖所示．由能量守恒有由角動量守恒有可解得由幾何關(guān)系有．所以，22．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，遙遠的太空中有一孤立星體，半徑為，質(zhì)量為，分布均勻．有一空間站在距球心的圓軌道上做無動力飛行．現(xiàn)考慮從空間站向星體發(fā)射飛船，需要討論飛船的著陸問題（1）人們提出了兩種著陸方案，方案一：飛船相對空間站發(fā)射時速度指向球心，大小為．方案二：飛船發(fā)射時相對空間站速度指向空間站運動的反方向，大小為，請分別求出與的大?。?）當空間站運動到圖示位置時發(fā)射飛船，為使飛船能精確著陸在圖中的點，試求飛船發(fā)射時的相對空間站的速度．（以上問題均不考慮空間站的反沖作用，且飛船總是沿切線方向著陸，飛船總是采取節(jié)省燃料的發(fā)射方式）【答案】（1）所以，，（2）相對速度的方向指向球心，大小為【解析】【詳解】（1）設(shè)空間站質(zhì)量為，飛行速度為．由牛頓第二定律得，所以，．對于方案一，由角動量守恒得飛船著陸前瞬間的速度．由機械能守恒得，所以，．對于方案二，由得，所以，．（2）如圖所示，以為極軸建立極坐標．設(shè)飛船的軌跡方程為．當時，有．當時，有．所以，，所以，所以，，所以，時，，所以，，①．設(shè)飛船發(fā)射時絕對速度為，相對速度為，著陸時速度為．由角動量守恒有．②由機械能守恒有．③聯(lián)立①②③得，由此得，，所以，相對速度的方向指向球心，大小為，與（1）中的方案一相同．23．（2019·全國·高三競賽）根據(jù)現(xiàn)代大爆炸宇宙學說，整個宇宙是膨脹的．在某個特定的時刻，宇宙中相距為的兩點的相對退行速度為．這就是著名的哈勃定律，其中僅為時間的函數(shù)，在一段不太長的時間內(nèi)，可視為恒量（1）宇宙的膨脹會由于引力作用而不斷減速，隨著不同的宇宙平均密度，宇宙可能是開放的（即無限膨脹下去），也可能是閉合的（即會在某一時刻開始收縮），試求出這兩種情況下，宇宙平均密度的分界點（用與基本物理常量表示）（2）設(shè)目前宇宙的哈勃常量為，平均密度，試計算宇宙從大爆炸到開始收縮的時間（用含，及基本物理常量的式子表示）【答案】(1)(2)【解析】【詳解】（1）在空間中取一質(zhì)點作為宇宙中心，以為參考系，則對與距離為處的質(zhì)元，其總機械能為，其中又時，由題意有，故，所以，（2）由于，故質(zhì)元在從發(fā)出，到達處后，總機械能為從而又會回到，式中為以為中心，半徑為的球所包含的質(zhì)量，為了利用開普勒第三定律，我們認為直線是一個極端的橢圓，且此橢圓半長軸長滿足：而，是現(xiàn)在（即密度為的時刻）與的距離．且上式考慮了宇宙在膨脹過程中，彼此不會超越故由開普勒第三定律（為此運行一周的時間），有又由于題中所求為，則24．（2019·全國·高三競賽）飛機在空中以速度做水平飛行，它發(fā)出頻率為的聲波，當它從A飛往B處時，用了4s，而地面上觀測者某處觀察者E測得飛機在從A到B過程中，聲波頻率由降為．已知聲速，試求飛機飛行高度．【答案】【解析】【詳解】設(shè)飛機在A處時聽到的聲音是從處發(fā)出的，飛機在B處時聽到的聲音是從處發(fā)出的，兩處飛機飛行的方向與觀測者間的夾角分別為、，如圖所示．由多普勒效應(yīng)可知，，代入數(shù)據(jù)解得，．所以，，，聲音從傳到E用時：．聲音從傳到E用時：．由圖中的幾何關(guān)系知，即代入數(shù)據(jù)得．【點睛】對于聲源（或觀察者）的運動與波的傳播在同一直線上的多普勒效應(yīng)，我們并沒有關(guān)注看與聽之間的差別，而當聲源（或觀察者）的運動與波的傳播不在同一直線上時，觀察者聽到聲音時看到聲源的方位，并非此時聽到的聲音傳播的方位，這之間的差異極易被忽略，從而導致出錯25．（2019·全國·高三競賽）如圖甲所示，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O，一根勁度系數(shù)為k的輕而細的彈性繩穿過小孔O，繩的一端固定于小孔正下方的A點，另一端系一質(zhì)量甲為m的小球，彈性繩自由長度等于．現(xiàn)將小球沿桌面拉至B處，設(shè)，并將小球沿垂直于OB的方向以初速度沿桌面射出，試求：（1）小球繞O點轉(zhuǎn)過90°至C點所需時間；（2）小球到達C點時的速度及C點至O點的距離．【答案】(1)(2),【解析】【詳解】在桌面上建立M如圖乙所示的xOy坐標系．小球運動至r，位置時，受指向O點的彈性力kr，此力在x、y方向的分別為這兩個力都是線性恢復力，所以小球在x、y方向上的分運動均為簡諧振動，振動角頻率同為周期同為．（1）小球繞O點轉(zhuǎn)過90°至C點，相當在x、y方向上均經(jīng)過四分之一周期的簡諧振動，所需時間為（2）小球到達C點時x方向的振動位移為零，y方向的振動速度為零．由x和y方向簡諧振動機械能各自守恒，可將C點的速度、坐標分別與B點的坐標、速度聯(lián)系起來，有，，解得，．順便一提，小球x、y方向的振動振幅分別為，．x、y方向的振動方程為，．小球運動的軌道為橢圓：．26．（2019·全國·高三競賽）一個小球連接兩個相同的自然伸長的輕質(zhì)彈性繩，彈性繩的遠端都固定起來，并且兩根彈性繩都位于一條直線上（如圖所示）．現(xiàn)在把小球在垂直于彈性繩初始直線方向向上拉開1cm，然后釋放，后讀出小球的振動周期為2s．問：拉開距離為2cm時，小球振動的周期為多少？（彈性繩自然長度，重力不計）【答案】【解析】【詳解】當小球沿垂直于彈簧所處的初始直線位置發(fā)生位移時，彈簧將由伸長至l，則彈簧的伸長量為．每根彈簧由此產(chǎn)生的彈力為．則小球所受到的合力為．小球受到的合力即為小球的回復力，這顯然不是線性的．小球運動對應(yīng)的動力學方程為方程稱為非線性方程，它只有數(shù)值解，沒有解析解，但是，對于本問題，我們無需求解．方法一：量綱分析首先，我們來確定一下由上述動力學方程決定的小球的運動，其周期由哪些因素決定？ⅰ與方程中的有關(guān)；ⅱ與小球的振幅A有關(guān)．而，．因為，所以，所以，，即，，所以．故由，，可得．方法二：為了求出周期與振幅之間的關(guān)系，可以先利用機械能守恒，從中解出速度v，再由速度解出經(jīng)歷四分之一周期的時間．當小球的位移為x時，由前面的分析可知，每根彈簧的伸長量為，每根彈簧的彈性勢能為．由機械能守恒可得，即，所以，即，即．顯然，故有．【點睛】首先，有人認為，只要是在彈力作用下的小幅振動便是簡諧振動，本題給出明確的答案．其次，本題所給出的兩種解法在競賽領(lǐng)域均有一定的代表性，量綱分析法在物理領(lǐng)域有著普遍的應(yīng)用，是物理規(guī)律內(nèi)洽的一種體現(xiàn)，近年的競賽試題在這方面多有涉及．而類似于方法二的解題技巧，則往往在于學習的積累，僅靠臨場發(fā)揮是很難達到目的的，是一種基本功的表現(xiàn)．27．（2021·全國·高三競賽）6個小朋友在操場上玩追逐游戲。開始時，6個小朋友兩兩間距離相等，構(gòu)成一正六邊形。然后每個小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友（即小朋友1追2、2追3、3追4、4追5、5追6、6追1），在此過程中，每個小朋友的運動方向總是指向其前方的小朋友。已知某一時刻t0=0，相鄰兩個小朋友的距離為l，如圖所示。試問：（1）從t0時刻開始，又經(jīng)過多長時間后面的小朋友可追到前面的小朋友；（2）從t0時刻開始，直至追上前面的小朋友，每個小朋友又跑了多少路程；（3）在t0時刻，每個小朋友的加速度大小是多少?！敬鸢浮浚?）；（2）2l；（3）【解析】【分析】【詳解】由對稱性知，每個小朋友運動情況是一樣的，以小朋友1為例（1）在從小朋友1到小朋友的2連線方向上，小朋友1相對于小朋友2的速度分量為小朋友1追上2的時間為（2）從t0時刻開始，直至追上前面的小朋友每個小朋友所跑的路程為（3）取小朋友1的運動軌跡為自然坐標系，其切向加速度為如解題圖所示，設(shè)經(jīng)dt時間小朋友1運動到1′點，小朋友2運動到2′點，小朋友1的速度方向變?yōu)閺?′點指向2′點，轉(zhuǎn)過的角度為dθ。由余弦定理得由正弦定理得式中dθ為中兩邊與之間的夾角。小朋友1運動的角速度為小朋友1運動的法向加速度為則小朋友1的加速度大小為28．（2019·全國·高三競賽）某同學特別喜愛造橋游戲，如圖所示，用10根一樣的輕桿搭了一座橋，桿長l，所有連接的地方均為鉸接，在B點掛了小重物，重力大小為P。AG在同一水平高度。(1)求地面對AG點作用力的豎直分量大小NL，NR；(2)如果每根桿能承受的最大壓力或張力均為F，則為了保證橋不塌方最大為多少？【答案】(1)；；(2)【解析】【詳解】(1)我們將整個橋視為一個系統(tǒng)，受重物壓力P，左右兩側(cè)支持力，根據(jù)力矩平衡可以解出其大小。分別對左右兩個支點計算力矩平衡有得得(2)對于題目中的桿模型來說，其對外作用力T一定沿桿方向，如圖所示我們注意到在其它端點可以依據(jù)桿的張力們的豎直分量平衡分別解出BC、CD、DE、EF上的桿的作用力，它們大小都與TFG相等，但方向不同，其中BC和DE為支持力，CD和EF為拉力，繼而我們也可以得出剩下的四根水平桿的受力大小，其中TAC=TDF=TEG=TGF而剩下的BD桿不同TED=2TGF據(jù)此我們知道隨著重物重力P的增加，AB會最先達到臨界解得29．（2019·全國·高三競賽）2016年9月，G20峰會在杭州隆重召開，其會議廳的裝飾設(shè)計既展示出中國建筑的節(jié)能環(huán)保理念，又體現(xiàn)了浙江的竹文化特色．圖a給出了其部分墻面采用的微孔竹板裝飾的局部放大照片，該裝飾同時又實現(xiàn)了對聲波的共振吸收.竹板上有一系列不同面積、周期性排列的長方形微孔，聲波進入微孔后導致微孔中的空氣柱做簡諧振動.單個微孔和竹板后的空氣層，可簡化成一個亥姆霍茲共振器，如圖b所示.假設(shè)微孔深度均為l、單個微孔后的空氣腔體體積均為、微孔橫截面積記為S.聲波在空氣層中傳播可視為絕熱過程，聲波傳播速度與空氣密度及體積彈性模量的關(guān)系為，其中是氣體壓強的增加量與其體積V相對變化量之比，已知標準狀態(tài)(273K，latm=1.01×105Pa)下空氣(可視為理想氣體)的摩爾質(zhì)量Mmol=29.0g/mol，熱容比，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).(1)求標準狀態(tài)下空氣的密度和聲波在空氣中的傳播速度；(2)求上述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率(用、S、I、V0表示)；(3)為了吸收頻率分別為120Hz和200Hz的聲波，相應(yīng)的兩種微孔橫截面積之比應(yīng)為多少?【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】(1)由理想氣體狀態(tài)方程有(1)式中，P、V和T分別為空氣的壓強、體積和(絕對)溫度，M和Mmol分別為空氣總質(zhì)量和；摩爾質(zhì)量．由(1)式得空氣密度為在標準狀態(tài)下(以下標“標”表示)有，(2)理想氣體的絕熱過程滿足=常量式中γ是熱容比．對上式兩邊微分得(3)由(3)式可得，空氣的體積彈性模量為(4)聲波在空氣中的傳播速度為在標準狀態(tài)下有(5)(2)細管內(nèi)的空氣柱的質(zhì)量為(6)細管中的空氣柱的運動是由外界壓力與容器內(nèi)的壓力之差所引起的.設(shè)這部分空氣柱運動的位移為x(向外為正)，容器內(nèi)的空氣體積的改變?yōu)?7)容器內(nèi)氣體壓力的變化滿足絕熱過程，由(3)式有(8)相應(yīng)地，對于細管內(nèi)運動著的空氣柱的作用力為(9)從而，細管內(nèi)空氣柱的運動方程可寫為(10)(10)式可寫成(11)這是簡諧振動的方程，o是簡諧振動的圓頻率(12)將代入(10)式得，所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率為(13)上式最后一步利用了單個微孔后的空氣腔體體積為.(3)按題設(shè)，兩種需要通過所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率和之比為(14)由(13)式可得，(15)式中，S1和S2是相應(yīng)的上述亥姆霍茲共振器的微孔的橫截面積.由(15)式有(16)即(17)30．（2019·全國·高三競賽）農(nóng)用平板車的簡化模型如圖a所示，兩車輪的半徑均為r(忽略內(nèi)外半徑差)，質(zhì)量均為m(車輪輻條的質(zhì)量可忽略)，兩輪可2m繞過其中心的光滑細車軸轉(zhuǎn)動(軸m的質(zhì)量可忽略)；車平板長為l、質(zhì)把手量為2m，平板的質(zhì)心恰好位于車輪的軸上；兩車把手(可視為細直桿)的長均為2l、質(zhì)量均為m，且把手前端與平板對齊，平板、把手和車軸固連成一個整體，車輪、平板和把手各自的質(zhì)量分布都是均勻的.重力加速度大小為g.(1)該平板車的車輪被一裝置(圖中未畫出)卡住而不能前后移動，但仍可繞車軸轉(zhuǎn)動.將把手提至水平位置由靜止開始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉(zhuǎn)動角速度.(2)在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時將車輪和軸鎖死，在碰后的瞬間立即解鎖，假設(shè)碰撞時間較短(但不為零)，碰后把手末端在豎直方向不反彈.已知把手與地面、車輪與地面之間的滑動摩擦系數(shù)均為μ(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力).求在車輪從開始運動直至靜止的過程中，車軸移動的距離.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】(1)車輪被一裝置卡住而不能前后移動，但仍可繞輪軸轉(zhuǎn)動.把手繞車軸的轉(zhuǎn)動慣量為平板繞車軸的轉(zhuǎn)動慣量為平板與把手整體繞車軸的轉(zhuǎn)動慣量為(1)把手和平板整體的質(zhì)心位置到車軸的距離(見解題圖a)為(2)設(shè)把手與地面碰撞前的瞬間的角速度為，由機械能守恒有(3)式中h是把手和平板整體的質(zhì)心下降的距離(見解題圖b)將(2)式代入上式得由上式和(1)(3)式得(4)(2)在把手與地面碰撞前的瞬間，把手和平板車的質(zhì)心的速度大小為由幾何關(guān)系有，碰前瞬間把手和平板質(zhì)心速度的水平與豎直分量(從把手末端朝向把手前端為正)分別為(5)(6)記碰撞時間間隔為△t，由題設(shè)，把手、平板與車輪組成的系統(tǒng)在碰撞過程中可視為一個物體.剛碰時，由于把手末端與地面之間有相對速度，把手末端與地面之間在碰撞過程中水平方向的相互作用力是滑動摩擦力.設(shè)碰撞過程中地面對系統(tǒng)在豎直方向上總的支持力為N′，在碰撞后的瞬間系統(tǒng)的水平速度為(≥0).在水平和豎直方向上分別對此系統(tǒng)應(yīng)用動量定理有(7)(8)值得注意的是，(8)式左端的沖量不可能等于零，因而(7)式左端的沖量也不可能等于零.由(7)(8)式得即當系統(tǒng)靜止，故(9)當系統(tǒng)開始運動，下面分兩階段討論系統(tǒng)開始運動后直至停止的過程:階段I.車輪又滑又滾階段兩車輪的受力如解題圖c所示，圖中是地面對兩車輪的正壓力，和是把手和平板通過軸對兩車輪分別在水平方向和豎直方向的作用力，地面對車輪的滑動摩擦力.把手和平板作為一個整體的受力解題圖d所示，圖中N是地面對把手末端的正壓力.地面與車之間的總滑動摩擦力為(10)把手、平板和車輪組成的系統(tǒng)的質(zhì)心加速度為(11)對把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運動定理有(12)(13)對把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用相對于過質(zhì)心的水平軸的轉(zhuǎn)動定理有由(11)(12)(13)式得將以上兩式代入(14)式得(14)于是因而對兩車輪在豎直方向上應(yīng)用質(zhì)心運動定理有(15)對兩車輪應(yīng)運用轉(zhuǎn)動定理有(16)由(15)式得再由(16)式得設(shè)車輪經(jīng)歷時間間隔t后開始純滾動，由純滾動條件有(17)此即由此得車輪開始做純滾動時的速度為(18)在整個又滑又滾階段，車軸移動的距離為于是有階段Ⅱ.車輪純滾動階段兩車輪的受力如解題圖e所示，圖中是地面對兩車輪的正壓力，和分別是把手和平板通過軸對兩車輪在水平方向和豎直方向的作用力，是地面對車輪的作用力(靜摩擦力)．把手和平板作為一一個整體的受力解題圖f所示，圖中是地面對把手末端的正壓力.對兩車輪運用質(zhì)心運動定理有(20)對兩車輪運用轉(zhuǎn)動定理有(21)由純滾動條件有(22)由(20)(21)(22)式得對把手和平板系統(tǒng)在水平方向上應(yīng)用質(zhì)心運動定理有聯(lián)立以上兩式有對把手和平板系統(tǒng)在豎直方向上應(yīng)用質(zhì)心運動定理有對把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用相對于過質(zhì)心C的水平軸的轉(zhuǎn)動定理有聯(lián)立以上三式消去和，得解得于是(23)在整個純滾動階段，車軸移動的距離滿足于是在車輪從開始運動直至靜止的整個過程中，車軸移動的距離為31．（2019·全國·高三競賽）如圖a，旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳(可視為剛性結(jié)構(gòu))，三個相同凳腳的端點連線(均水平)構(gòu)成邊長為a的等邊三角形，凳子質(zhì)心位于其軸上的G點.半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O點處，茶杯質(zhì)量為m(遠小于凳子質(zhì)量)，其中杯底質(zhì)量為(杯壁和杯底各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，杯高為H(與杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度為.重力加速度大小為g.(1)為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定，杯中茶水的最佳高度是多少?(2)現(xiàn)該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點時靜止(凳面邊有小凸緣，可防止物體滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，且OD⊥AC(見圖b)，求此時旅行車內(nèi)底板對各凳腳的支持力相對于滑移前(該茶水杯位于凳面中心處)的改變.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】(1)以凳面中心O為坐標原點，以過O點向上的豎直線為y軸.茶杯(包括茶水在內(nèi))的質(zhì)心位置為(1)式中h是杯中茶水的高度.令，(1)式即事實上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點的位置，故有(2)由(1)(2)式得(3)舍棄負值(不合題意)，杯中茶水的最佳高度為(4)【另一種解法】：事實上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點的位置.(1)式即它滿足代數(shù)不等式式中當h滿足即(4)時取等號，即杯中茶水的最佳高度.】(2)記凳子質(zhì)量為M.該茶水杯的底面邊緣剛好滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點靜止后，坐標系及三腳圓凳的受力分析分別如解題圖a和解題圖b所示，其中、和分別是車內(nèi)底板對凳腳A、B和C的支持力.由幾何關(guān)系有(5)(6)三腳圓凳處于力平衡狀態(tài)，豎直方向合力為零(7)(8)式中，，P=Mg.由(7)(8)式得以x軸為轉(zhuǎn)動軸，力矩平衡(9)記，由(5)(6)(9)式有【另一種解法】以AC為轉(zhuǎn)動軸，由力矩平衡條件有(9)即聯(lián)立以上各式得(10)(11)值得指出的是，解(10)滿足，即，(12)這已由題給條件保證了.由(7)(10)(11)式得，此時旅行車內(nèi)底板對各凳腳的支持力相對于茶水杯滑移前的改變?yōu)?13)(14)32．（2019·全國·高三競賽）一個半徑為和，重量為，可繞軸轉(zhuǎn)動的滑輪通過一個固定在墻上可轉(zhuǎn)動的叉子支撐，其中，，如圖所示．繩索在滑輪較小半徑的軸肩上纏繞了一圈，繩索右端用重力加載，滑輪與墻之間以及滑輪與繩之間的摩擦因數(shù)相同，靜摩擦因數(shù)為，動摩擦因數(shù)為．試問：（1）如果要使重物懸起，左邊繩子在的情況下，至少要施加多大力？（2）如果要使重物緩慢升起，左邊繩子在時需用多大為？（3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最?。黄渲禐槎啻?？【答案】(1)(2)(3)因此，在滑輪開始轉(zhuǎn)動前，所需的最小拉力為;在滑輪進入滑動之后，最小拉力為【解析】【詳解】(1)首先分析滑輪是繞著軸轉(zhuǎn)動還是處于自鎖狀態(tài)．如果滑輪處于自鎖狀態(tài)，則一個任意大小的外力作用在滑輪上（在繩子不滑動的情況下）都能使滑輪保持平衡．自鎖時滑輪不能順時針轉(zhuǎn)動，下圖畫出了滑輪的受力分析，根據(jù)平衡條件，①，②，③④聯(lián)立式①～④，可得⑤由于因此，只要當時滑輪不會沿順時針方向轉(zhuǎn)動．此時，拉力必須由繩索的摩擦方程來計算，即⑥（2）同樣的，首先判斷滑輪是否會由于自鎖而逆時針方向轉(zhuǎn)動受到阻止．此時，應(yīng)將式①～③中前添加負號即可，解得⑦⑧由于且可見式⑧恒成立.只要當時滑輪逆時針轉(zhuǎn)動受到阻止．此時，要提起重物必須依靠繩索在滑輪上的滑動根據(jù)繩索的摩擦方程，在繩開始滑動前，拉力為⑨繩索滑動后，則為⑩（3）為了提升重物，必有．此時，在任意的角度，根據(jù)平衡條件，有，?，?，．?在滑輪沒有轉(zhuǎn)動的情況下，即?聯(lián)立式???及?，可得?為了分析方便，令?當角度為時并未超出滑輪的自鎖極限，由此有由此，可解得在情況下，滑輪可能轉(zhuǎn)動并提起重物，因此需要確定滑輪發(fā)生轉(zhuǎn)動時的臨界角．此時，式?應(yīng)取等號，并聯(lián)立式⑩和式?求得臨界角，即當時，滑輪轉(zhuǎn)動并提起重物為了求繩索拉力的最小值，根據(jù)式?可知考慮到，當時，取到最大值．于是，有因此，在滑輪開始轉(zhuǎn)動前，為克服滑輪與墻之間的靜摩擦力，所需的最小拉力為?在滑輪進入滑動之后，為克服滑動摩擦力所需的最小拉力為?下面，可以驗證，滑輪轉(zhuǎn)動比滑輪自鎖時提取重物所需的拉力要小，當滑輪自鎖時，提升重物只能依靠繩索在滑輪軸肩上的滑動來實現(xiàn).當滑輪自鎖時，繩索滑動前，繩索的拉力根據(jù)式⑩，有．當滑輪自鎖時，繩索滑動后，繩索拉力根據(jù)式?，有顯然，式?與式?就是所要求的最小拉力33．（2019·全國·高三競賽）均質(zhì)桿長為，豎直地放在桌面邊緣上，點與桌面的邊緣接觸．給一微小擾動，桿將繞點向外轉(zhuǎn)動．當桿受到桌子的反力為零時，桿將離開桌子，試求：（1）當桿離開桌子時，桿轉(zhuǎn)過的角度，并求此時桿的角速度？（2）如果桿垂直地打擊地面，則桌子的高度應(yīng)為多少？【答案】(1)(2)【解析】【詳解】桿的受力分析如圖所示．（1）取桿為研究對象，在桿未離開桌子時，可以將桿的運動看作繞的轉(zhuǎn)動，根據(jù)動能定理，有．①由于繞點轉(zhuǎn)動，有，將其代入式①中，可解得．質(zhì)心的法向加速度為．根據(jù)質(zhì)心運動定理，有，，②解之得．當桿離開桌面時有，即，即．故桿離開桌子時，桿轉(zhuǎn)過的角度為．此時，桿轉(zhuǎn)動的角速度為（2）當桿脫離桌子時，僅受重力作用，桿作平面運動，如圖所示．根據(jù)桿對質(zhì)心的動量矩定理，即，可得，因此桿轉(zhuǎn)動的角速度不變．桿質(zhì)心運動的速度為，于是有，．要使桿垂直地打擊地面，其轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)滿足，，2，3，…．因此，桿在離開桌子到打擊地面所運動的時間為桿質(zhì)心在鉛直方向的位移為于是，桌子的高度應(yīng)滿足34．（2019·全國·高三競賽）打樁機的鐵塔高度為，錘的質(zhì)量；鋼筋混凝土樁的質(zhì)量，樁的橫截面為正方形，其邊長．樁在被打入地下的過程中，其阻力可以認為主要來自樁側(cè)面泥土對其的黏滯作用，且阻力系數(shù)為，當樁已被打入地下時，再把錘升高，然后自由落下打擊樁．假設(shè)碰撞過程是完全非彈性碰撞，試回答下列問題：（1）這一錘能把樁再打多深？（2）打樁的效率（用于推進樁的能量與錘打擊樁的能量之比）為多少？（3）如果碰撞過程是彈性碰撞，其恢復因數(shù)，重新分析問題（1）和（2）．【答案】（1）（2）％（3）％【解析】【詳解】（1）當錘下落高度時，根據(jù)機械能守恒定律，其速度為①由于是非彈性碰撞，對于樁和錘組成的系統(tǒng)，根據(jù)動量守恒定律，有②聯(lián)立式①與式②，可得碰撞后樁和錘的共同速度為③設(shè)這一錘能把樁打入的深度為，取豎直向下為軸正向，樁下降時受到的阻力為④對于樁、錘系統(tǒng)損失的能量用于克服阻力做功，有⑤將式④代入式⑤化簡得⑥代入數(shù)值得解得（2）碰撞前，錘的動能為⑦碰撞后，樁、錘系統(tǒng)用于克服阻力做功的動能為．⑧故打樁效率為％．（3）設(shè)錘與樁碰撞結(jié)束時，錘、樁的速度分別為和，根據(jù)動量守恒定律有⑨根據(jù)恢復因數(shù)的定義，有．⑩聯(lián)立式⑨與式⑩解得，，即得，．?顯然，碰撞后錘被反彈．與式⑤類似，有．?聯(lián)立式④、式?和式?并代入數(shù)值得，解得可知，這一錘打進的深度為此時，打樁的效率為％可見，有了彈性后，打樁的效率提高了，這是由于因變形和裂損的能量損失更小，使效率提高．35．（2019·全國·高三競賽）質(zhì)點或光滑球以某一角度入射到硬質(zhì)表面上發(fā)生的反跳，通常呈現(xiàn)“反射角等于入射角”的現(xiàn)象．但是對于一種粗糙的硬質(zhì)橡皮球，當其與硬質(zhì)表面碰撞且滿足動能守恒時，它在反跳過程中卻表現(xiàn)出許多奇異的現(xiàn)象，這種粗糙的高彈性人造硬質(zhì)橡皮球稱為超級彈性球，簡稱為超球．這種超球在硬質(zhì)表面上的反跳幾乎是完全彈性的，用它可以直觀地演示粗糙物的彈性碰撞現(xiàn)象．試回答下列問題：（1）若將一個小超球放在一個大超球的頂上，讓這兩個超球一起自由下落并撞擊地面，就會發(fā)現(xiàn)小超球又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當，那么小超球?qū)⒎刺母叨却蠹s是原先下落高度的9倍，如圖1所示．若將大超球、小超球和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球的質(zhì)量選擇恰當，那么在它們碰撞地面后，乒乓球?qū)⒎刺母叨葞缀跏窃认侣涓叨鹊?9倍．試建立力學模型進行說明（2）如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉(zhuǎn)的角速度與硬質(zhì)地面碰撞，旋轉(zhuǎn)的超球在、兩點之間來回反跳，如圖3所示．試說明發(fā)生這種現(xiàn)象的條件【答案】（1）說明見解析（2）說明見解析【解析】【詳解】（1）在大超球碰撞地面之前，兩超球均自由下落，它們之間未發(fā)生碰撞，大超球先與地面相碰撞，隨后立即與小超球發(fā)生碰撞，假設(shè)大超球與地面以及超球間的碰撞都是完全彈性的．兩超球自由下落結(jié)束時，都有向下的速度，由機械能守恒可得；大超球與地面彈性碰撞后，速度大小不變，方向向上．設(shè)大超球與小超球彈性碰撞后的速度大小分別為和，且方向向上．由動量守恒和機械能守恒，可得①②式中，為大超球的質(zhì)量；為小超球的質(zhì)量由式①與式②，可解得，③碰撞后小超球以初速度為豎直向上運動，由機械能守恒可得小超球反跳的高度：④即得⑤若選擇大超球半徑為小超球半徑的10倍，即，則．于是，由式⑤得到對于題圖2所示的三個緊貼的球，設(shè)由上至下三個球的質(zhì)量分別為、和，且滿足．根據(jù)前面的分析，當大球與地面碰撞后，立即與球發(fā)生碰撞，由式③可知，當球以相對于地面的速度反跳時，小球正以速度下落題圖2-b1．在相對球為瞬時靜止的慣性系里，小球相對于球以速度與球相碰撞（題圖2-b2）．由于，碰撞后球相對于球以速度反跳（題圖2-b3），即小球相對于地面以速度反跳（題圖2-b4）．因此，小球反跳的高度為⑥（2）首先，討論旋轉(zhuǎn)超球在硬質(zhì)地面上的碰撞問題．假設(shè)碰撞是完全彈性的，且碰撞瞬間超球與地面接觸點處沒有相對滑動，但受到摩擦力的作用，同時忽略重力的影響．為討論方便，碰撞前的運動狀態(tài)用下標“0”表示，第一次碰撞后用“1”、第二次碰撞后用“2”表示，依此類推．取超球運動的平面為平面，如圖所示，設(shè)超球的質(zhì)量為，半徑為，在第一次碰撞前超球質(zhì)心的速度（以和表示速度的兩個分量）和旋轉(zhuǎn)角速度（超球?qū)τ谕ㄟ^質(zhì)心的軸的角速度）；碰撞后的速度分量為和，角速度為，設(shè)接觸點處的摩擦力為，法向力為，作用時間為．根據(jù)質(zhì)點的動量定理，在方向有⑦根據(jù)動量矩定理，對通過質(zhì)心的軸有⑧其中，為超球?qū)τ谕ㄟ^質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，對于均質(zhì)實心球，有此外，對于彈性碰撞，因摩擦力不做功，由機械能守恒定律可得⑨考慮到完全彈性碰撞，可知⑩由式⑦和式⑧，可得?再由式⑨，并利用式⑩與式?，得到?現(xiàn)在，要實現(xiàn)在、兩點之間來回反跳，要求、兩處反跳后的運動狀態(tài)左右對稱，因此反跳前后超球質(zhì)心的速度與角速度應(yīng)滿足：，，?將式?代入式?中，得到?可見，若超球以角速度旋轉(zhuǎn)，同時以的水平分速度與地面碰撞，則反跳后超球以的水平分速度和以再次與地面相撞，這樣超球就來回反跳36．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，豎直平面內(nèi)有懸點和，上有一原長為0的彈性輕繩，彈性繩的勁度系數(shù)為，懸于點，另一端掛一質(zhì)量為的小球，靜止于處，另有一個同樣的彈性繩懸于點，和小球一樣的小球系在繩的另一端．現(xiàn)將球拉至水平，且，點左邊處有一豎直的彈性墻．初始時可使具有豎直方向的速度，且能擊中，求速度．（繩與繩之間不會相纏繞，球懸繩