高中數(shù)學(xué)多變量問題解法研究 論文

2年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選PAGEPAGE1高中數(shù)學(xué)多變量問題解法研究摘要：多變量問題是高中數(shù)學(xué)常見問題之一，是高考，競賽熱點題型之一，以來都是高中生學(xué)習(xí)的一個難點。關(guān)鍵詞：單變量，多變量，存在性，恒成立于這類問題的求解策略。一、利用韋達(dá)定理消元化多變量問題為單變量問題例1已知函數(shù)f(x)=x2-axlnx．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2設(shè)函數(shù)f(x)有兩個極值點1,2(12)若f(1)2恒成立求實數(shù)m的取值范圍．分析：本題是涉及多個變量的不等式恒成立問題，看似條件復(fù)雜難以入手，建立,x2之間的等式關(guān)系，a也可以用多變量轉(zhuǎn)化為單變量的不等式恒成立問題。解：（1）由題知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,)

f=

2x2-axx

(x令g(x)=2x2-ax，則D=a2-16，當(dāng)0即-4時，ff(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)

，當(dāng)V>0即a4或a時，令g(x)a- a2a- a2-164

或x= ，aa+a2-16若a4，則

a- aa- a2-16a+a2-164 4∵x，∴g(x)，即f，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)若a，則

> ，令f，即g(x)，a+a+a2-16a- a2-16a- a2-a- a2-164

或x> ；aa+a2-16令f，即g(x)，解得

<x< ．a(chǎn)- a- a2-16a+a2-16?a-

a2-16?+

a2-16 ?∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?0,?

,? 4 ÷? 4 ÷è ? è ??單調(diào)遞減區(qū)間為-?

a2-16

,a+

a2-16?÷? 4 4 ÷è ?綜上，當(dāng)4時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)；當(dāng)a時，

?a-

a2-16?

+

a2-16 ?函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?0,?

,? 4 ÷? 4 ÷è ? è ??單調(diào)遞減區(qū)間為-?

a2-16

,a+

a2-16?÷? 4 4 ÷（2）f=

è ?( )2x2-ax( )(x，若f(x)有兩個極值點,x2<x2，則x2，x2是方程2x2

-ax的兩不等正實根，由（1）知，a，∴x=a，xx，∴0<x<x1 2 2 12 1 2f(1)2恒成立，即

f(1)x2

恒成立f(x)

x2-axlnx x2-2x2-2lnx1=1 1 1=

1 1 1x3-2xlnx

1 1 1 1 1令h(t)t3-2tlnt，則2lnt，當(dāng)0時，∴h(t)在(0,1)上為減函數(shù)，∴當(dāng)0時，h(t)3∴f(1)-3，∴?-3，∴實數(shù)m的取值范圍(-￥,-]x2二、齊次化化多變量為單變量問題例2已知函數(shù)f(x)=x2x,a?Rf(x)af(x)（2）若存在實數(shù),x2，使得f

'(x)+f'

(x2)，且x2<2x2，求1f(x1)-1

f(x2)的取值范圍.x求范圍問題，常見的如-x2， 等。x22解：由題意得，f'(x)=2x2(x，所以方程2x2有兩個x不相等的正實根m,n,不妨設(shè)m，則D=a2-8且ma，解得a的4取值范圍為(-￥,-22)，由題意知f(x)在x處取得極大值，在x處取得極小值，且有2m2，故f(m)m2m-1，令g(x)x2x-1，故g'(x)=1-2x(x1-2xx=

2，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值可知，x?2?g(x)￡g

ln2-

x2 232 2

f(m)

2f(x)22è ?至多有一個零點，又因為f(-a)a)，所以f(x)存在唯一零點.2x+1+1

a(x)-xx1 2由題意知： 1 2 ，即xx1 21 2

，故2x1x2f(x)-

f(x)=x2-x2(x-x1(-

x2)t=?2)1 2 1 2 1 2

2(h(t)t+1t，h'(t)11￡0h(t)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以(2 2th(t)?

(h(2),h(t)?

?32,0f(x)-

f(x)的取值范圍?32,0?

?41 24è ?4÷4è ?三、通過放縮法化多變量為單變量例3已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x，當(dāng)m￡2時，求證：f(x)分析：本題是含有雙變量不等式證明問題，如果直接在m￡2上證明這個結(jié)論，難度很大，我們可以考慮對這個式子進(jìn)行放縮處理，當(dāng)m￡2時f(x)=ex-ln(x3ex-ln(x我們只需證明ex-ln(x即可解：當(dāng)m￡2，x?

(-m,)時，ln(x￡ln(x，則有f(x)x-ln(x3ex-ln(x.故只需證明ex-ln(x即可在區(qū)當(dāng)mf'(x)=ex-1 f'(-在區(qū)x，f'(0)，故f'(x)，且'?'

(-0)當(dāng)x?

(-2,)時，f

'(x)；當(dāng)x?

(x0,)時f

(x)，從而當(dāng)x時，ex= 1

ln(x

xf(x)取得最小值.由f'(x)，得 0

, 0 0,故f(x)3

f(x)= 1

=(x0

，0 00 0綜上，當(dāng)m￡2時，f(x)四、通過主元法化多變量問題視為單變量問題例4已知函數(shù)f(x,t)x-2t(ex+x22x?

R,t?

Rf(x,t)的最小值.量tt視為自變量，x視為參數(shù)，通過配方，利用完全平方數(shù)的特征消去t，從而得到關(guān)于x的函數(shù)，然后求得最小值即可.+ ++ +解：f(x,t)2-2(ex

(e1e2x+x2 2 2

xex-

ex)2

1e2x+x

xex+22 2 2+2因為(t-

ex

)230，所以f(x,t)3

1e2x

12-xexx+令g(x)=1e2xx+

2 2 21x2-xexg'(x)x-ex-xex=(ex-x)(ex-+2 2設(shè)h(x)=ex-xh'(x)=ex-1h(x)在(-￥,)上單調(diào)遞增，所以h(x)3h(0)，ex-x恒成立令g'(x)，即不等式ex-1T

x，所以g(x)在(-￥,0)上單調(diào)遞減，在(0,)上單調(diào)遞增，所以g(x)3

g(0)=3，即f(x,t)最小值為3.2 2五、利用單調(diào)性化多變量為單變量問題例5已知函數(shù)f(x)=xex，g(x)=x-(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

f(x)x2

g(x1)-g(x2)<m(2)設(shè)對于任意,x2?e]，且<x2，都有

x-x xx

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

1 2 12m的取值范圍.2年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選解：（1）易知函數(shù)f(x)定義域為R，f'(x)=(x當(dāng)x1時，f'(x)，f(x)在(-)上單調(diào)遞增；當(dāng)x1時，f'(x)，f(x)所以，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-)g(x1)-g(x2)<m當(dāng),x2?e]，<x2時，

x-x xx

恒成立，即1 2 12m m

m 1-ex

m mexg(x1)+x

>g(x2)+x

恒成立.設(shè)h(x)=g(x)+ = + =

，由題意1 2可知，h(x)在e]上單調(diào)遞減.-ex-m-ex

x x x x(1-x)ex-(m即h'(x)= = ￡0在e]上恒成立.x2 x2所以(1-x)ex-(m￡0，即m3(1-x)ex設(shè)t(x)x)ex，x?