高等數學教案ch 9 重積分

第九章重積分教學目的：1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理。2、掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。3、掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。4、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉動慣量、引力等）。教學重點：1、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；2、三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。3、二、三重積分的幾何應用及物理應用。教學難點：利用極坐標計算二重積分；利用球坐標計算三重積分；物理應用中的引力問題。§9.1二重積分的概念與性質一、二重積分的概念1曲頂柱體的體積設有一立體,它的底是xOy面上的閉區(qū)域D,它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),這里f(x,y)0且在D上連續(xù).這種立體叫做曲頂柱體.現在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積.首先,用一組曲線網把D分成n個小區(qū)域：s1,s2,,sn.分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于z軸的柱面,這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體.在每個si中任取一點(xi,hi),以f(xi,hi)為高而底為si的平頂柱體的體積為：f(xi,hi)si(i=1,2,×××,n).這個平頂柱體體積之和：可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值.為求得曲頂柱體體積的精確值,將分割加密,只需取極限,即其中l(wèi)是個小區(qū)域的直徑中的最大值.2.平面薄片的質量.設有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(x,y)處的面密度為r(x,y),這里r(x,y)0且在D上連續(xù).現在要計算該薄片的質量M.用一組曲線網把D分成n個小區(qū)域s1,s2,×××,sn.把各小塊的質量近似地看作均勻薄片的質量:r(xi,hi)si.各小塊質量的和作為平面薄片的質量的近似值:將分割加細,取極限,得到平面薄片的質量其中l(wèi)是個小區(qū)域的直徑中的最大值.定義設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數.將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域s1,s2,×××,sn.其中si表示第i個小區(qū)域,也表示它的面積.在每個si上任取一點(xi,hi),作和.如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時,這和的極限總存在,則稱此極限為函數f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,記作,即.f(xy)被積函數,f(xy)d被積表達式,d面積元素,xy積分變量,D積分區(qū)域,積分和.直角坐標系中的面積元素:如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D,那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設矩形閉區(qū)域si的邊長為xi和yi,則si=xiyi,因此在直角坐標系中,有時也把面積元素ds記作dxdy,而把二重積分記作其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素.二重積分的存在性:當f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時,積分和的極限是存在的,也就是說函數f(x,y)在D上的二重積分必定存在.我們總假定函數f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的.二重積分的幾何意義:如果f(x,y)0,被積函數f(x,y)可解釋為曲頂柱體的在點(x,y)處的豎坐標,所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積.如果f(x,y)是負的,柱體就在xOy面的下方,二重積分的絕對值仍等于柱體的體積,但二重積分的值是負的.二.二重積分的性質性質1設c1、c2為常數則.性質2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和例如D分為兩個閉區(qū)域D1與D2,則.性質3(s為D的面積).性質4如果在D上,f(x,y)g(x,y),則有不等式.特殊地.性質5設M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,s為D的面積,則有.性質6(二重積分的中值定理)設函數f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),s為D的面積,則在D上至少存在一點(x,h)使得.§9.2二重積分的計算法一、利用直角坐標計算二重積分X--型區(qū)域:D:j1(x)yj2(x),axb.Y--型區(qū)域:D:y1(x)yy2(x),cyd.混合型區(qū)域:設f(x,y)0,D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb}.此時二重積分在幾何上表示以曲面z=f(x,y)為頂,以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.對于x0[a,b],曲頂柱體在x=x0的截面面積為以區(qū)間[j1(x0),j2(x0)]為底、以曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形,所以這截面的面積為.根據平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體體積為.即V=.可記為.類似地,如果區(qū)域D為Y--型區(qū)域:D:y1(x)yy2(x),cyd,則有.例1.計算,其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.解:畫出區(qū)域D.解法1.可把D看成是X--型區(qū)域:1x2,1yx.于是.注積分還可以寫成解法2.也可把D看成是Y--型區(qū)域:1y2,yx2.于是.例2.計算,其中D是由直線y=1、x=-1及y=x所圍成的閉區(qū)域.解畫出區(qū)域D,可把D看成是X--型區(qū)域:-1x1,xy1.于是.也可D看成是Y--型區(qū)域：-1y1,-1x<y.于是.例3計算,其中D是由直線y=x-2及拋物線y2=x所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可以表示為D=D1+D2,其中;.于是.積分區(qū)域也可以表示為D:-1y2,y2xy+2.于是.討論積分次序的選擇.例4求兩個底圓半徑都等于r的直交圓柱面所圍成的立體的體積.解設這兩個圓柱面的方程分別為x2+y2=r2及x2+z2=r2.利用立體關于坐標平面的對稱性,只要算出它在第一卦限部分的體積V1,然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D={(x,y)|0y,0xr}為底,以頂的曲頂柱體.于是.二.利用極坐標計算二重積分有些二重積分,積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便,且被積函數用極坐標變量r、q表達比較簡單.這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分.按二重積分的定義.下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式.以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構成的網將區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域,小閉區(qū)域的面積為:,其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值.在si內取點,設其直角坐標為(xi,hi),則有,.于是,即.若積分區(qū)域可表示為j1(q)rj2(q),aqb,則.討論:如何確定積分限?..例5.計算,其中D是由中心在原點、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.解在極坐標系中,閉區(qū)域D可表示為0ra,0q2.于是.注此處積分也常寫成利用計算廣義積分:設D1={(x,y)|x2+y2￡R2,x30,y30},D2={(x,y)|x2+y2￡2R2,x30,y30},S={(x,y)|0￡x￡R,0￡y￡R}.顯然D1ìSìD2.由于,從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式.因為,又應用上面已得的結果有,,于是上面的不等式可寫成.令R?+￥,上式兩端趨于同一極限,從而.例6求球體x2+y2+z24a2被圓柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積.解由對稱性,立體體積為第一卦限部分的四倍.,其中D為半圓周及x軸所圍成的閉區(qū)域.在極坐標系中D可表示為0r2acosq,.于是.§9.3三重積分一、三重積分的概念定義設f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數.將任意分成n個小閉區(qū)域v1,v2,×××,vn其中vi表示第i個小閉區(qū)域,也表示它的體積.在每個vi上任取一點(xi,hi,i),作乘積f(xi,hi,i)vi(i=1,2,×××,n)并作和.如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時,這和的極限總存在,則稱此極限為函數f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分,記作.即.三重積分中的有關術語:——積分號,f(x,y,z)——被積函數,f(x,y,z)dv——被積表達式,dv體積元素,x,y,z——積分變量,——積分區(qū)域.在直角坐標系中,如果用平行于坐標面的平面來劃分,則vi=xiyizi,因此也把體積元素記為dv=dxdydz,三重積分記作.當函數f(x,y,z)在閉區(qū)域上連續(xù)時,極限是存在的,因此f(x,y,z)在上的三重積分是存在的,以后也總假定f(x,y,z)在閉區(qū)域上是連續(xù)的.三重積分的性質:與二重積分類似.比如;;,其中V為區(qū)域的體積.二、三重積分的計算1利用直角坐標計算三重積分三重積分的計算:三重積分也可化為三次積分來計算.設空間閉區(qū)域可表為z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,則,即.其中D:y1(x)yy2(x),axb.它是閉區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域.提示:設空間閉區(qū)域可表為z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,計算.基本思想:對于平面區(qū)域D:y1(x)yy2(x),axb內任意一點(x,y),將f(x,y,z)只看作z的函數,在區(qū)間[z1(x,y),z2(x,y)]上對z積分,得到一個二元函數F(x,y),,然后計算F(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,這就完成了f(x,y,z)在空間閉區(qū)域上的三重積分.,則.即.其中D:y1(x)yy2(x),axb.它是閉區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域.例1計算三重積分,其中為三個坐標面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.解作圖,區(qū)域可表示為:0z1-x-2y,,0x1.于是.討論:其它類型區(qū)域呢?有時,我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分.設空間閉區(qū)域={(x,y,z)|(x,y)Dz,c1zc2},其中Dz是豎坐標為z的平面截空間閉區(qū)域所得到的一個平面閉區(qū)域,則有.例2計算三重積分,其中是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域.解空間區(qū)域可表為:,-czc.于是.練習1將三重積分化為三次積分其中(1)是由曲面z=1-x2-y2,z=0所圍成的閉區(qū)域.(2)是雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域.(3)其中是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域.2將三重積分化為先進行二重積分再進行定積分的形式,其中由曲面z=1-x2-y2,z=0所圍成的閉區(qū)域.2利用柱面坐標計算三重積分設M(x,y,z)為空間內一點,并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為P(r,q),則這樣的三個數、q、z就叫做點M的柱面坐標,這里規(guī)定r、q、z的變化范圍為:0r<+,0q2,-<z<+.坐標面r=r0,q=q0,z=z0的意義:點M的直角坐標與柱面坐標的關系:xcosysinzz柱面坐標系中的體積元素:dv=rdrdqdz.簡單來說,dxdy=rdrdq,dxdydz=dxdy×dz=rdrdqdz.柱面坐標系中的三重積分:.例3利用柱面坐標計算三重積分,其中是由曲面z=x2+y2與平面z=4所圍成的閉區(qū)域.解閉區(qū)域可表示為:r2z4,0r2,0q2.于是.3利用球面坐標計算三重積分設M(x,y,z)為空間內一點,則點M也可用這樣三個有次序的數r、j、q來確定,其中r為原點O與點M間的距離,j為與z軸正向所夾的角,q為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段的角,這里P為點M在xOy面上的投影,這樣的三個數r、j、q叫做點M的球面坐標,這里r、j、q的變化范圍為0r<+,0j<,0q2.坐標面r=r0,j=j0,q=q0的意義:點的直角坐標與球面坐標的關系:x=rsinjcosq,y=rsinjsinq,z=rcosj.球面坐標系中的體積元素:dv=r2sinjdrdjdq.球面坐標系中的三重積分:.例4求半徑為a的球面與半頂角a為的內接錐面所圍成的立體的體積.解該立體所占區(qū)域可表示為:0r2acosj,0ja,0q2.于是所求立體的體積為.提示球面的方程為x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐標下此球面的方程為r22arcos即r2acos§9.4重積分的應用元素法的推廣:有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理.這種元素法也可推廣到二重積分的應用中.如果所要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(就是說,當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時,所求量U相應地分成許多部分量,且U等于部分量之和),并且在閉區(qū)域D內任取一個直徑很小的閉區(qū)域ds時,相應的部分量可近似地表示為f(x,y)ds的形式,其中(x,y)在ds內,則稱f(x,y)ds為所求量U的元素,記為dU,以它為被積表達式,在閉區(qū)域D上積分:,這就是所求量的積分表達式.一、曲面的面積設曲面S由方程z=f(x,y)給出,D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域,函數f(x,y)在D上具有連續(xù)偏導數fx(x,y)和fy(x,y).現求曲面的面積A.在區(qū)域D內任取一點P(x,y),并在區(qū)域D內取一包含點P(x,y)的小閉區(qū)域ds,其面積也記為ds.在曲面S上點M(x,y,f(x,y))處做曲面S的切平面T,再做以小區(qū)域ds的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面.將含于柱面內的小塊切平面的面積作為含于柱面內的小塊曲面面積的近似值,記為dA.又設切平面T的法向量與z軸所成的角為g,則,這就是曲面S的面積元素.于是曲面S的面積為,或.設dA為曲面S上點M處的面積元素dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域dM在xOy面上的投影為點P(xy)因為曲面上點M處的法向量為n(fxfy1),所以提示dA與xOy面的夾角為(n^k)dAcos(n^k)dn×k|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|1討論:若曲面方程為x=g(y,z)或y=h(z,x),則曲面的面積如何求？,或.其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域,Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域.例1求半徑為R的球的表面積.解上半球面方程為,x2y2R2因為z對x和對y的偏導數在D:x2+y2R2上無界,所以上半球面面積不能直接求出.因此先求在區(qū)域D1:x2+y2a2(aR)上的部分球面面積,然后取極限..于是上半球面面積為.整個球面面積為A=2A1=4R2.提示:,,.解球面的面積A為上半球面面積的兩倍上半球面的方程為而,,所以例2設有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星距地面的高度為h36000km運行的角速度與地球自轉的角速度相同試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R6400km)解取地心為坐標原點地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸建立坐標系通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面被半頂角為的圓錐面所截得的部分的方程為x2y2R2sin2于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為其中Dxy{(xy)|x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影區(qū)域利用極坐標得由于代入上式得由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為由以上結果可知衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面二、質心設有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點P(x,y)處的面密度為r(x,y),假定(x,y)在D上連續(xù).現在要求該薄片的質心坐標.在閉區(qū)域D上任取一點P(x,y),及包含點P(x,y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為dMx=y(x,y)ds,dMy=x(x,y)ds.平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為,.設平面薄片的質心坐標為,平面薄片的質量為M,則有于是,.在閉區(qū)域D上任取包含點P(x,y)小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為dMx=y(x,y)ds,dMy=x(x,y)ds.平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為,.設平面薄片的質心坐標為,平面薄片的質量為M,則有于是,.提示:將P(x,y)點處的面積元素ds看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域.D上任取一點P(x,y),及包含的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為討論:如果平面薄片是均勻的,即面密度是常數,則平面薄片的質心(稱為形心)如何求？求平面圖形的形心公式為,.例3求位于兩圓=2sin和=4sin之間的均勻薄片的質心.解因為閉區(qū)域D對稱于y軸,所以質心必位于y軸上,于是.因為,,所以.所求形心是.類似地占有空間閉區(qū)域、在點(xyz)處的密度為(xyz)(假寬(xyz)在上連續(xù))的物體的質心坐標是其中例4求均勻半球體的質心.解取半球體的對稱軸為z軸,原點取在球心上,又設球半徑為a,則半球體所占空間閉區(qū)可表示為{(xyz)|x2+y2+z2a2,z0}顯然,質心在z軸上,故..故質心為.提示0ra,,0q2.,三、轉動慣量設有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點P(x,y)處的面密度為(x,y),假定r(x,y)在D上連續(xù).現在要求該薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量.在閉區(qū)域D上任取一點P(x,y),及包含點P(x,y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量的元素分別為dIx=y2(x,y)ds,dIy=x2(x,y)ds.整片平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量分別為,.例5求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常量)對于其直徑邊的轉動慣量.