函數(shù)的圖像及數(shù)字特征

第5講函數(shù)圖像及數(shù)字特征一．【基礎(chǔ)知識】畫法性質(zhì)變換(平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換)二．【能力提升】識圖作圖：從圖像的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖像與性質(zhì)一些綜合性問題；思想方法：數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。三．【要點(diǎn)精講】1．函數(shù)圖像（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖像的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖像變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。作函數(shù)圖像的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖像。運(yùn)用描點(diǎn)法作圖像應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對所要畫圖像的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個(gè)大概的研究。而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖像變換法作函數(shù)圖像要確定以哪一種函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個(gè)難點(diǎn)（2）三種圖像變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；①平移變換：Ⅰ、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；Ⅱ、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h。②對稱變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅲ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅳ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到。y=f(x)x=f(y)Ⅴ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱即可得到；y=f(x)y=f(2ax)。③翻折變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到④伸縮變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到；y=f(x)y=af(x)Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面2．冪函數(shù)在第一象限的圖像，可分為如圖中的三類：圖 在考查學(xué)生對冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時(shí)，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值 冪函數(shù)有如下性質(zhì)： ⑴它的圖像都過（1，1）點(diǎn)，都不過第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都不相交； ⑵定義域?yàn)镽或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域?yàn)榈膬绾瘮?shù)都不具有奇偶性； ⑶冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)； ⑷任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖像至少有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），至多有三個(gè)公共點(diǎn)；四．【典例解析】題型1：作圖例1．（08江蘇理14）設(shè)函數(shù)，若對于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的值為▲【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用．若x＝0，則不論取何值，≥0顯然成立；當(dāng)x＞0即時(shí)，≥0可化為，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而≥4；當(dāng)x＜0即時(shí)，≥0可化為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，從而≤4，綜上＝4【答案】4點(diǎn)評：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖像個(gè)關(guān)系；例2．（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）．那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是 （）A.在時(shí)刻，甲車在乙車前面B.時(shí)刻后，甲車在乙車后面C.在時(shí)刻，兩車的位置相同D.時(shí)刻后，乙車在甲車前面答案A解析由圖像可知，曲線比在0～、0～與軸所圍成圖形面積大，則在、時(shí)刻，甲車均在乙車前面，選A.（2）1xy1OAxy1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO答案A解析函數(shù)有意義,需使,其定義域?yàn)?排除C,D,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù),故選A.【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖像以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點(diǎn)在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜,需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進(jìn)行考察其余的性質(zhì).例3．已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A、2B、3C、4D、5yxO1-115解析：由知函數(shù)的周期為2，作出其yxO1-115當(dāng)x>5時(shí)，f(x)=1∈[0，1]，log5x>1,與的圖像不再有交點(diǎn)，故選C[鞏固]設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)x滿足f(x+1)=-f(x)，若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=2x-1,則f()=.例4．（2009江西卷文）如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)在平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，其在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度的圖像大致為()ABCD答案B解析由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0，到正，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0，故錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在開始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)的速度為常數(shù)，因此是錯(cuò)誤的，故選.題型3：函數(shù)的圖像變換例5．（2008全國文，21）21．（本小題滿分12分）設(shè)，函數(shù)．（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍．解：（Ⅰ）．因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)． 4分（Ⅱ）由題設(shè)，．當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，，即．故得． 9分反之，當(dāng)時(shí)，對任意，，而，故在區(qū)間上的最大值為．綜上，的取值范圍為． 12分點(diǎn)評：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實(shí)際問題。例6．（2009四川卷文）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)都有，則的值是 ()A.0B.C.1D.答案A解析若≠0，則有，取，則有：（∵是偶函數(shù)，則）由此得于是題型4：函數(shù)圖像應(yīng)用例7．函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是（）解析：∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除C、D。由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時(shí)且，故?！噙xA。點(diǎn)評：明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負(fù)”。例8．已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖，求b的范圍。解法一：觀察f(x)的圖像，可知函數(shù)f(x)的圖像過原點(diǎn)，即f(0)=0,得d=0，又f(x)的圖像過(1，0)，∴f(x)=a+b+c①又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0②①+②得b＜0，故b的范圍是(－∞，0)解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，∴b=－3a∵當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，從而有a>0，∴b＜0。點(diǎn)評：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。題型5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用例9．已知，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A．2B．3C根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)該題通過作圖很可能選錯(cuò)答案為A，這是我們作圖的易錯(cuò)點(diǎn)。若作圖標(biāo)準(zhǔn)的話，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系下畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖知當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。選項(xiàng)為D。點(diǎn)評：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點(diǎn)問題”，借助函數(shù)的圖像以及函數(shù)的圖像變換規(guī)則求得結(jié)果即可。例10．設(shè)，若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖像通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，，從而，即，又，所以。選項(xiàng)為A。點(diǎn)評：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì)。題型6：冪函數(shù)概念及性質(zhì)Oxy例11．函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（）OxyA．均為奇數(shù)B．一奇一偶C．均為奇數(shù)D．一奇一偶解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證，即，有；同時(shí)函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)答案：選項(xiàng)為B。點(diǎn)評：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的影響也要了解例12．畫出函數(shù)的圖像，試分析其性質(zhì)。解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來，（這種變換是解決這類問題的關(guān)鍵），由此說明，是由圖像向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，如圖所示：具體畫圖時(shí)對于圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即。故圖像一定過（0，－1）和兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。再觀察其圖像可以得到如下性質(zhì)：定義域，單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖像是中心對稱圖形，對稱中心是（3，－2）。點(diǎn)評：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決該類問題基礎(chǔ)。注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能用并集號。題型7：抽象函數(shù)問題例13．函數(shù)的定義域?yàn)镈：且滿足對于任意，有（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判斷的奇偶性并證明；（Ⅲ）如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。（Ⅰ）解：令（Ⅱ）證明：令令∴為偶函數(shù)。（Ⅲ）∴（1）∵上是增函數(shù)，∴（1）等價(jià)于不等式組：∴∴x的取值范圍為點(diǎn)評：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖像函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。認(rèn)真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到問題的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵例14．設(shè)函數(shù)上滿足，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間[－2005，2005]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解析：（Ⅰ）由，從而知函數(shù)的周期為又，，所以故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；(II)又故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個(gè)解，在[－2005.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[－2005,2005]上有802個(gè)解。點(diǎn)評：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來解題。題型8：函數(shù)圖像綜合問題例15．如圖，點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=的圖像上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2。又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a)，△A′BC′的面積為g(a)。（1）求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式；（2）比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論：B=(A′A+C′C)=(),g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=?！鄁(a)<g(a)。點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖像、識圖能力、圖形的組合等，充分借助圖像信息，利用面積問題的拆拼以及等價(jià)變形找到問題的突破口，解題思路：圖形面積不會拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化。例16．（2008湖北理19）如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小？本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、不等式等知識解決實(shí)際問題的能力.（滿分12分）解法1：設(shè)矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab=9000. ①廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.