2023-2024學(xué)年北師大版必修第二冊(cè) 向量的數(shù)量積 課件（62張）

§5從力的做功到向量的數(shù)量積5.1向量的數(shù)量積必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是向量的數(shù)量積?向量的數(shù)量積與向量投影有什么關(guān)系?2.怎樣用數(shù)量積求向量夾角?怎樣用數(shù)量積判斷向量的垂直關(guān)系?1.向量的投影如圖所示:,∠AOB=θ叫作向量a與b的夾角,記為<a,b>與θ(0°≤θ≤180°).過(guò)點(diǎn)B作BB1垂直于直線OA,垂足為B1,則向量稱(chēng)為向量b在a方向上的投影向量,OB1=|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影數(shù)量.【思考】向量b在向量a上的投影數(shù)量與向量a在向量b上的投影數(shù)量相同嗎?提示:根據(jù)定義,|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影數(shù)量,|a|cosθ叫作向量a在b方向上的投影數(shù)量.所以向量b在向量a上的投影數(shù)量與向量a在向量b上的投影數(shù)量是不同的.2.向量的數(shù)量積及運(yùn)算性質(zhì)【思考】?jī)上蛄康臄?shù)量積的本質(zhì)是什么?提示:兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而不是向量,其數(shù)值可正、可負(fù)、可為零,其決定因素為兩向量的夾角.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)零向量與任一向量的數(shù)量積為0. (

)(2)若a·b=0,則a=0或b=0. (

)(3)若a·b=b·c,則一定有a=c. (

)提示:(1)√.根據(jù)向量數(shù)量積的定義,0·a=0×|a|×cosθ=0.(2)×.向量a與b可能垂直.(3)×.向量b與向量a,c可能垂直,所以a與c不一定相等.2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為30°,則a在b方向上的投影數(shù)量為(

)A.2

B.

C.2

D.4【解析】選C.a在b方向上的投影數(shù)量為|a|cos30°=4×cos30°=2.3.已知a,b的夾角為θ,|a|=2,|b|=3.(1)若θ=135°,則a·b=________;

(2)若a⊥b,則a·b=________.

【解析】(1)a·b=2×3×cos135°=-6.(2)a·b=2×3×cos90°=0.答案:(1)-6

(2)04.已知△ABC中,BC=4,AC=8,C=60°,則=________.

【解析】畫(huà)圖可知向量與的夾角為∠C的補(bǔ)角,故答案:-16關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一平面向量的數(shù)量積(數(shù)學(xué)運(yùn)算,直觀想象)角度1向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算

【典例】已知|a|=6,|b|=5,當(dāng)(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a與b的夾角為60°時(shí),分別求a與b的數(shù)量積.【思路導(dǎo)引】確定向量的模與夾角,再代入定義式計(jì)算.【解析】(1)a∥b,若a與b同向,則θ=0°,a·b=|a||b|·cos0°=6×5=30;若a與b反向,則θ=180°,a·b=|a|·|b|cos180°=-6×5=-30.(2)若a⊥b,則a與b夾角為90°,a·b=|a||b|cos90°=0.(3)a與b的夾角為60°,a·b=|a||b|cos60°=6×5×=15.角度2幾何圖形中的向量數(shù)量積計(jì)算

【典例】在矩形ABCD中,.若點(diǎn)M,N分別是CD,BC的中點(diǎn),則

= (

)A.4

B.3

C.2

D.1【思路導(dǎo)引】將和用已知模長(zhǎng)和夾角的向量和表示,再求數(shù)量積.【解析】選C.由題意,得如圖:由圖及題意可得:

所以【解題策略】1.求平面向量數(shù)量積的步驟:(1)求a與b的夾角θ,θ∈[0,π];(2)分別求出|a|和|b|;(3)利用數(shù)量積的定義:a·b=|a||b|cosθ求解.特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接,而不能用“×”連接,更不能省略不寫(xiě).2.求幾何圖形中向量的數(shù)量積的思路(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長(zhǎng)度的向量.(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目,只需把握?qǐng)D形的特征,并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【題組訓(xùn)練】1.已知向量a,b的夾角為60°,|a|=1,|b|=2,則|3a+b|= (

)

【解析】選C.因?yàn)橄蛄縜,b的夾角為60°,|a|=1,|b|=2,所以a·b=1×2×=1,則2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E為BC的中點(diǎn),則= (

)A. B.3 C.2 D.12【解析】選D.如圖,由題意可知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得:3.在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若=1,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【解析】在平行四邊形ABCD中,取AB的中點(diǎn)F,則,所以又因?yàn)?所以

所以答案:

類(lèi)型二向量的投影數(shù)量(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.若|a|=2,|b|=4,向量a與向量b的夾角為120°,則向量a在向量b方向上的投影數(shù)量等于 (

)A.-3

B.-2

C.2

D.-12.已知向量a,b,其中|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,則a在b方向上的投影數(shù)量為

(

)A.-1 B.1 C.-2 D.23.已知向量a與b的夾角為60°,|a|=2,|b|=5,則2a-b在a方向上的投影數(shù)量為

(

)4.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°.(1)若c=λa+b(λ∈R

),且b·c=0,則λ的值為_(kāi)_______;

(2)向量a+b在b方向上的投影數(shù)量為_(kāi)_______.

【解析】1.選D.向量a在向量b方向上的投影數(shù)量是|a|cosθ=2×cos120°=-1.2.選A.|a-2b|=4?(a-2b)2=16?a2-4a·b+4b2=16?-4a·b+4|b|2=15,①|(zhì)a+2b|=2?(a+2b)2=4?a2+4a·b+4b2=4?4a·b+4|b|2=3,②聯(lián)立①②解得|b|=,a·b=-,所以a在b方向上的投影數(shù)量為:3.選B.因?yàn)?向量a與b的夾角為60°,所以(2a-b)·a=2a2-b·a=2×22-5×2×cos60°=3,所以2a-b在a方向上的投影數(shù)量為4.(1)b·c=λa·b+(3-)b2=λcos60°+3-=所以λ=-2或λ=3.(2)向量a+b在b方向上的投影數(shù)量為答案:(1)λ=-2或λ=3

(2)

【解題策略】

一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影數(shù)量的求法(1)向量b在a的方向上的投影數(shù)量為|b|cosθ,向量a在b的方向上的投影數(shù)量為|a|cosθ,所以計(jì)算一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影數(shù)量,重在求這兩個(gè)向量的模與夾角.(2)向量a在b的方向上的投影數(shù)量也可以寫(xiě)成,所以如果題中有向量的模,就可以將模平方,產(chǎn)生數(shù)量積,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影數(shù)量.類(lèi)型三向量的模與夾角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求向量的模

【典例】(1)平面向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),則|a+b|= (

)A.1

B.

C.

D.2(2)已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若非零向量c滿(mǎn)足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是________.

【思路導(dǎo)引】(1)先根據(jù)a⊥(a-2b),求出2a·b=1,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積,求出,即可求出結(jié)果;(2)展開(kāi)(a-c)·(b-c),將|c|轉(zhuǎn)化為|a+b|·cosθ,獲得最值.【解析】(1)選C.因?yàn)閍⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0,所以2a·b=1,又(2)因?yàn)閨a|=|b|=1,a·b=0,(a-c)·(b-c)=-c·(a+b)+|c|2=-|c||a+b|cosθ+|c|2=0,其中θ為c與a+b的夾角,所以|c|=|a+b|·cosθ=cosθ≤,所以|c|的最大值是.答案:

角度2求夾角(或夾角的余弦值)

【典例】已知平面向量a,b滿(mǎn)足=2,=1,且(4a-b)·(a+3b)=2,則向量a,b的夾角θ為 (

)【思路導(dǎo)引】由向量a,b滿(mǎn)足的條件求出a·b,再用夾角公式計(jì)算.【解析】選D.因?yàn)?4a-b)·(a+3b)=4a2-3b2+11a·b=2,已知|a|=2,|b|=1,解得a·b=-1,由a·b=|a|·|b|cosθ=2cosθ=-1,得cosθ=-,所以θ=.角度3求夾角的范圍或參數(shù)

【典例】已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是 (

)【思路導(dǎo)引】根據(jù)方程有實(shí)根,則有Δ≥0構(gòu)建a與b的模與夾角關(guān)系式.【解析】選B.因?yàn)棣?a2-4|a|·|b|cosθ(θ為向量a與b的夾角).若方程有實(shí)根,則有Δ≥0即a2-4|a|·|b|cosθ≥0,又|a|=2|b|,則4|b|2-8|b|2cosθ≥0,所以cosθ≤,又0≤θ≤π,所以≤θ≤π.【解題策略】求兩向量夾角的基本思路(1)求兩非零向量的夾角θ或其余弦值一般采用夾角公式cosθ=.根據(jù)題中條件分別求出|a|,|b|和a·b.確定θ時(shí)要注意θ∈[0,π],當(dāng)cosθ>0時(shí),θ∈[0,);當(dāng)cosθ<0時(shí),θ∈(,];當(dāng)cosθ=0時(shí),θ=.(2)在個(gè)別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計(jì)算cosθ的值.【題組訓(xùn)練】1.已知向量a,b,a∥b,a·b=-3,|b|=2,則|a|= (

)A.-

B.-3

C.3

D.【解析】選D.因?yàn)閍∥b,|b|≠0,設(shè)a=λb,則a·b=λb2=λ|b|2=4λ=-3,所以λ=-,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|=.2.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,則a與b的夾角θ為 (

)A.45° B.135° C.120° D.150°【解析】選B.因?yàn)榍?°≤θ≤180°,所以θ=135°.3.已知a,b,c為單位向量,且滿(mǎn)足3a+λb+7c=0,a與b的夾角為,則實(shí)數(shù)λ=________.

【解析】由3a+λb+7c=0,可得7c=-(3a+λb),即49c2=9a2+λ2b2+6λa·b,而a,b,c為單位向量,則a2=b2=c2=1,則49=9+λ2+6λcos,即λ2+3λ-40=0,解得λ=-8或λ=5.答案:-8或51.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,則向量a在b方向上的投影數(shù)量為 (

)A.-4

B.4

C.-2

D.2【解析】選A.向量a在b方向上的投影數(shù)量為

課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.已知三角形ABC中,,則三角形ABC的形狀為_(kāi)_______三角形

(

)

A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.等腰直角【解析】選C.因?yàn)椤osB<0,所以cosB<0.又因?yàn)锽為△ABC的內(nèi)角,所以<B<π,故是鈍角三角形.3.已知|a|=2,|b|=2,a·b=1,則|a-b|= (

)A. B.2 C.2 D.3【解析】選A.因?yàn)閨a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4-2+4=6,所以|a-b|=.4.若向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=1,a與b的夾角為120°,則a·a+a·b=________.

【解析】a·a+a·b=12+1×1×cos120°=.答案:

5.已知向量a,b的夾角為30°,且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b與q=a-b的夾角θ的余弦值.【解析】p·q=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.又因?yàn)?/p>

所以二十向量的數(shù)量積【基礎(chǔ)通關(guān)——水平一】(15分鐘30分)1.已知平面向量a,b的夾角為,|a|=1,|b|=2,則a·(a+b)= (

)A.3

B.2

C.0

D.1+【解析】選C.因?yàn)閍,b的夾角為,|a|=1,|b|=2,所以a·b=1×2×=-1,則a·(a+b)=a2+a·b=1-1=0.課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)2.設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a+b|=,|a-b|=,則a·b等于 (

)A.1 B.2 C.3 D.5【解析】選A.|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,將上面兩式左右兩邊分別相減,得4a·b=4,所以a·b=1.3.已知在△ABC中,AB=AC=4,,則△ABC的形狀是________三角形

(

)

A.直角 B.等腰直角 C.等邊 D.鈍角【解析】選C.,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=.又因?yàn)?°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等邊三角形.4.單位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,則|a|=________.

【解析】因?yàn)閨a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5.答案:55.已知a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b),若|a|=2,|b|=3,則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______.

【解析】由已知a·b=0,a2=4,b2=9,由(3a+2b)·(ka-b)=0?3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0,所以12k-18=0,所以k=.答案:

6.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a與b的夾角θ;(2)求|a+b|.【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.將|a|=4,|b|=3代入上式求得a·b=-6,所以又θ∈[0,π],所以θ=(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.【能力進(jìn)階——水平二】(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若向量a與b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,則有 (

)A.c⊥a

B.c⊥b

C.c∥b

D.c∥a【解析】選A.因?yàn)閏·a=(a+b)·a=a2+a·b=|a|2+|a||b|·cos120°=12+1×2×cos120°=0,所以c⊥a.2.若非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為 (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,設(shè)a與b的夾角為θ,所以2|a||b|cosθ+|b|2=0.所以因?yàn)?°≤θ≤180°,所以θ=120°.3.若向量a,b,c均為單位向量,且a⊥b,則|a-b-c|的最小值為 (

)A.-1

B.1

C.+1

D.【解析】選A.因?yàn)閍,b,c均為單位向量,且a⊥b,所以a·b=0,所以所以|a-b-c|≥|a-b|-|c|=-1.4.(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則的取值范圍是 (

)A.(-2,6)

B.(-6,2)

C.(-2,4)

D.(-4,6)【解析】選A.設(shè)P(x,y),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由題意可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-1,所以-1<x<3,所以-2<<6.二、多選題(每小題5分,共10分)5.設(shè)a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則有 (

)A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·c)a-(c·a)b不與c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2