2024屆安徽省銅陵市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat19頁2024屆安徽省銅陵市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的值域以及對數(shù)函數(shù)的定義域結(jié)合交集的概念即可求解.【詳解】因為正弦函數(shù)的值域為，所以；若，則，所以，所以由交集的定義有.故選：B.2．已知扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形周長，應(yīng)用扇形弧長公式列方程求半徑，再由面積公式求面積即可.【詳解】令扇形的半徑為，則，所以此扇形的面積為.故選：D3．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可得解.【詳解】一方面因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，另一方面又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，結(jié)合以上兩方面有，所以.故選：D.4．已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以.故選：A.5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式得且，結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱軸求參數(shù)a，進而寫出解析式，即可求目標函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)且，又函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以，則，，綜上，，故.故選：A6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的減區(qū)間，再利用子集關(guān)系，列式求的取值范圍.【詳解】，當(dāng)，解得：，由條件可知，所以，解得：.故選：B.7．鎮(zhèn)國寺塔亦稱西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順?國泰民安”八個字，是全國重點文物保護單位?國家3A級旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高為7.5，在地面上點C處（B，C，N在同一水平面上且三點共線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，在中應(yīng)用正弦定理得，再由倍角余弦公式求，進而求鎮(zhèn)國寺塔的高度.【詳解】在中，則，所以，而，，所以，又，則.故選：C8．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由題意推出，然后由基本不等式即可求解.【詳解】一方面由題意有，另一方面若有成立，結(jié)合以上兩方面有，且注意到，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴格單調(diào)遞增，若，則只能，因此當(dāng)且僅當(dāng)；又已知，所以，即，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)，從而得出，從而由基本不等式即可順利求解.二、多選題9．下列等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AB【分析】應(yīng)用倍角正余弦、和差角正余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值，即可判斷各項的正誤.【詳解】A：，成立；B：，成立；C：，不成立；D：，不成立.故選：AB10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．的最大值為2C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】由、是否成立判斷A、C；由，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)判斷B、D.【詳解】由，所以不是的周期，A錯；由，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯；由，而，所以，B對；由在上遞減，且，結(jié)合二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，D對.故選：BD11．已知的內(nèi)角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，則D．若，則為直角三角形【答案】ACD【分析】利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷A；舉出反例即可判斷B；根據(jù)大角對大邊，再結(jié)合正弦定理化邊為角及二倍角的余弦公式即可判斷C；利用余弦定理化角為邊即可判斷D.【詳解】對于A，因為，由正弦定理可得，即，又，則，所以，即，所以為等腰三角形，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，若，則，則，所以，故，即，故C正確；對于D，，因為，所以，即，所以為直角三角形，故D正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象在處的切線方程為B．的極小值為1C．當(dāng)時，D．若函數(shù)恰有兩個極值點，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】由導(dǎo)數(shù)幾何意義求的圖象在處的切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求的極值；根據(jù)、的上單調(diào)性判斷函數(shù)符號并比較大小；將恰有兩個極值點轉(zhuǎn)化為有兩個根，進而研究與有兩個交點求參數(shù)范圍.【詳解】由，則，又，故切線方程為，A對；由，則時，遞增，時，遞減，所以有極大值為，無極小值，B錯；由上知：時，遞減，時，遞增，所以上、均遞增，此時，C對；由題意恰有兩個零點，即有兩個根，由上知：在上遞增，在上遞減，且時恒成立，要使與有兩個交點，則，D對.故選：ACD三、填空題13．已知非零向量的夾角為，則．【答案】12【分析】將向量垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0，由數(shù)量積的計算公式結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】由題意非零向量的夾角為，所以，化簡得，由數(shù)量積公式得，解得.故答案為：12.14．若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意知原命題的否定為真，將問題轉(zhuǎn)換成立二次不等式在定區(qū)間上的恒成立問題了，對對稱軸的位置進行討論即可求解.【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，不妨設(shè)，其開口向上，對稱軸方程為，則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來討論：情形一：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，此時有，解得，故此時滿足題意的實數(shù)不存在；情形二：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時有，只需，解不等式組得，故此時滿足題意的實數(shù)的范圍為；情形三：當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，此時有，解得，故此時滿足題意的實數(shù)不存在；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.15．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡，然后結(jié)合的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，令，則，由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.16．在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為．若，則的取值范圍為．【答案】【分析】由正弦定理邊化角得，再由余弦定理得到，由是銳角三角形即可求出的范圍，從而可以求出的取值范圍.【詳解】因為，所以由正弦定理邊化角得，又因為，對比即得，整理得，由正弦定理邊化角得，又，所以，化簡得，逆用兩角差的正弦公式得，因為是銳角三角形，所以，所以，即，所以，解得，所以，因為，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決問題的關(guān)鍵是首先由恒等變換以及誘導(dǎo)公式結(jié)合已知條件得到，其次是根據(jù)已知條件求出的范圍.四、解答題17．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和角公式運算即可得解.（2）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換運算即可得解.【詳解】（1）解：∵，∴解得：.（2）解：由（1）知，∴，.又∵，，，∴.即得：.18．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．(1)求與的解析式；(2)令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由函數(shù)圖象可得即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由圖可知，，函數(shù)的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因為將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以；（2），由，得，因為，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和為．19．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角的大?。?2)若是的中點，，且的面積為，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系得，再由余弦定理求角；（2）由，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律可得，應(yīng)用三角形面積公式、正余弦定理求邊長，進而求的值.【詳解】（1）由正弦邊角關(guān)系知：，則，又，故.（2）如下圖，，且，所以，又①，且，即為銳角，所以，則，且，即，所以②，由①②可得：或4，即或2，當(dāng)，則，，不合題意；所以，則，，故.20．如圖，在平面四邊形中，．(1)若，求的長；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，應(yīng)用正弦定理求得，進而可得，進而有，在應(yīng)用正弦定理求；（2）由及，再結(jié)合正弦定理求.【詳解】（1）在中，整理得，所以，故，又，在中，又，所以，故.（2）由，由，而，故，故，所以，所以，即，則，在中，則.21．如圖，在梯形中，，點為的中點．(1)求與夾角的余弦值；(2)以為圓心為半徑作圓，點是劣?。ò瑑牲c）上的一點，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，可得，利用求出，利用求出，再利用向量的夾角公式可得答案；（2）以為原點，所在的直線分別為軸的正方向建立平面直角坐標系，設(shè)可得，求得，令，可轉(zhuǎn)化為直線與圓弧始終有公共點可得答案.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，所以，可得，，所以，又，所以，所以；（2）如圖，以為原點，所在的直線分別為軸的正方向建立平面直角坐標系，設(shè)，可得，且，，，，，所以，令，可轉(zhuǎn)化為直線與圓弧始終有公共點，如圖，當(dāng)直線與圓弧相切時有最小值，由圓心到直線的距離等于半徑可得，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵點是以為原點，所在的直線分別為軸的正方向建立平面直角坐標系，利用坐標運算解決問題.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論與即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，從而分類討論與，結(jié)合的特性進行分析即可得解.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增