統(tǒng)計學 第四版(cha6)

第六章統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量關于分布的幾個概念有正態(tài)分布導出的幾個重要分布樣本均值的分布與中心極限定理樣本比例的抽樣分布兩個樣本均值之差的分布關于樣本方差的分布第一節(jié)統(tǒng)計量統(tǒng)計量

設是從總體中抽取的容量為的一個樣本，如果由此樣本構造一個函數，不依賴于任何未知參數，則稱函數是一個統(tǒng)計量。例：設是從某總體中抽取的一個樣本，則

統(tǒng)計量

非統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量樣本均值樣本方差樣本變異系數樣本偏度次序統(tǒng)計量 設是從總體中抽取的一個樣本，稱為第個次序統(tǒng)計量，它是樣本滿足如下條件的函數：每當樣本得到一組觀測值時，其由小到大的排序中，第個值就作為次序統(tǒng)計量的觀測值，而稱為次序統(tǒng)計量。其中，和分別為最小和最大次序統(tǒng)計量。例：、中位數、四分位數都是。充分統(tǒng)計量 統(tǒng)計量加工過程中樣本信息一點都不損失的統(tǒng)計量稱為充分統(tǒng)計量例：某電子元件廠欲了解其產品的不合格率，質檢員抽檢了100個電子元件，檢查結果是，除前3個不合格外，其它都是合格品。當企業(yè)領導問及結果時，質檢員給出如下兩種回答： （1）抽檢的100個產品中有3個不合格；（2）抽檢的產品前3個是不合格的。

若記為產品不合格，為產品合格，則兩種回答的統(tǒng)計量分別是和前者是充分統(tǒng)計量而后者不是。第二節(jié)關于分布的幾個概念總體分布樣本分布抽樣分布漸進分布近似分布總體參數總體平均值總體方差總體標準差總體比率樣本統(tǒng)計量

從總體N個單位中隨機地抽取n個單位作為樣本樣本平均值樣本方差樣本標準差樣本比率總體分布(populationdistribution)總體中各元素的觀察值所形成的分布

分布通常是未知的可以假定它服從某種分布

總體樣本分布(sampledistribution)一個樣本中各觀察值的分布也稱經驗分布當樣本容量n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布

樣本抽樣分布(samplingdistribution)樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布 ---在重復選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數分布隨機變量是樣本統(tǒng)計量 ---樣本均值,樣本比率，樣本方差等結果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎，也是抽樣推斷科學性的重要依據

抽樣分布的形成過程總體計算樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比率、方差樣本漸進分布(asymptotic

distribution)當樣本量無限增大時，統(tǒng)計量的極限分布稱為漸進分布

例：設是抽自正態(tài)總體的一個樣本。當時，和，所以統(tǒng)計量的漸進分布為。由于精確的抽樣分布往往很難求，在實際應用中，當較大時，就用這種極限分布作為抽樣分布的一種近似。近似分布（approximate

distribution）在精確的抽樣分布和漸進分布都很難求得的情況下，還可利用計算機模擬來獲得某種統(tǒng)計量的近似分布獲取方法[1]確定統(tǒng)計量T及樣本容量n；[2]從總體中抽取N個樣本，并計算統(tǒng)計量的值（觀測值），記為T1,T2,…,TN；[3]根據這N個觀測值構件經驗分布函數。就是的近似分布。2

分布第三節(jié)幾個重要理論分布分布1

3

分布

2分布

設隨機變量相互獨立且皆服從，則隨機變量 所服從的分布稱為分布，記為 X~ 其中，參數n稱為自由度

2（卡方）分布是由海爾墨特（Hermert）和卡?皮爾生(K.Person)分別于1875年和1900年導出的，它是從正態(tài)分布派生出來的一個分布，在統(tǒng)計學中占有重要地位分布的變量值始終為正

2分布的數學期望是自由度n，方差為2n分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱。一般當n≥30時，

2分布可用正態(tài)分布近似計算分布圖示c2n=1n=4n=10n=20分布的使用

t分布對t-分布是由W.S.Gosset(1876-1937)于1908年在一篇署名為“student”的論文中首次提出，因此又稱為“學生氏”分布t-分布是一概率分布簇某一特定的t–分布依賴于參數υ,稱之為自由度(υ=n-1)隨著自由度的增加，t-分布與正態(tài)分布之間的差距將會不斷減小（n>30）,且t-分布的離散程度也將減小t-分布的均值為0，方差為xt

分布與標準正態(tài)分布的比較t分布標準正態(tài)分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)zt分布與標準正態(tài)的對比F分布設若隨機變量U為服從自由度為n1的

2分布，即U~

2(n1)，V為服從自由度為n2的

2分布，即V~

2(n2),且U和V相互獨立，則隨機變量 服從自由度n1和n2的F分布，記為F分布的圖示F（1,10)(5,10)(10,10)F分布的使用a

F分布F

(k-1,n-k)0F抽樣分布定理正態(tài)分布再生定理：設為一組相互獨立的隨機變量,且都服從正態(tài)分布；則服從正態(tài)分布 其中：當，可認為第四節(jié)樣本均值的分布與

中心極限定理中心極限定理：設為一組獨立同分布的隨機變量，期望為，標準差為；則服從分布。 其中：且例：