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幾何學(xué)》題庫(kù)及答案一。填空題TOC\o"1-5"\h\z若Ia +b |=|a-b |,則矢量a ,b應(yīng)滿足的條件為( );—F- —P-兩矢量a,b夾角為P,貝9cosP=( );平面x—2y+5z—3=0的法式化方程為( );通過(guò)點(diǎn)M(1,-5,3)且與x,y,z軸分別成6Oo,45o,12Oo的直線方程為();5.z2x5.z2x2 y2方程口+C—X=(A>B>C>0)當(dāng)九( )時(shí),方程表示雙葉雙曲面;—直線上有三點(diǎn)A,B,P,滿足AP=九PB(九工-1)。O是空間一點(diǎn),則OP用OA,OB線TOC\o"1-5"\h\z性表示為( );)。a={2,-2,-1},則a0=()。連接兩點(diǎn)A(3,10,-5),B(0,12,b)的線段平行于平面7x+4y-z+1=0,則b=( );兩直線蘭二=上工=(i=1,2)異面的充要條件為( )XYZiiix2y2寫出雙曲拋物面一——=2z的一族直母線方程( )。a2b2二次曲線漸近方向滿足的條件為( )。設(shè)二次曲線的方程為xF(x,y)+yF(x,y)+F(x,y)=0,則共軛于非漸近方向X:Y的直徑方程為1 2 3)。矢量{2,-1,-2}的單位矢量為( )。在標(biāo)架{O;i'j,k}下,(i+j,j+k,k+i)=( )方程X2+y2=1在空間中表示的圖形是( )y2=2pz<拋物線〔x=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為( )二次曲線中心(X0,y0)滿足的條件是( )。平面":Ax+By+Cz+D=0與直線1:二==二平行的充要條件是( )。1XYZ
x2 z2 y2)。單葉雙曲面一+廠- =1的腰橢圓方程為()。a2 b2 c2空間不共線三點(diǎn)Ai(Xi,yi,zi)(i=1,2,3).則這三點(diǎn)決定的平面方程是21.在空間右手坐標(biāo)系下,點(diǎn)(1,-1,1)在第()卦限。22.寫出三種直紋面的名稱()。23.兩種雙曲面分別是 ()。24.兩種拋物面分別是 ()。二.證明題1.用矢量法證明平行四邊形的對(duì)角線互相平分。2.用矢量法證明三角形的余弦定理。乂+22+乂+22+二=i3.由橢球面a2 b2 c2的中心(即原點(diǎn)),沿某一方向到曲面上一點(diǎn)的距離是r設(shè)給定方向的方向余弦分別為八'"'V,試證:1 九2 "2 V2=++-r2 a2 b2 c2試證點(diǎn)M(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0間的距離為000|Ax+By+Cz+D|d= 0o VA2+B2+C2設(shè)直線與三坐標(biāo)平面的交角為九,"'V,試證:COS2九+COS2"+COS2V=2 。用向量證明半圓上的圓周角是直角。證明:經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的平移、旋轉(zhuǎn),二次曲線方程的次數(shù)仍然是二次的。三.計(jì)算題設(shè)一平面與平面x+3y+2z=0平行,與三坐標(biāo)平面圍成的四面體體積為6,求平面方程。給定二次曲線X2+6xy-7y2+6x+2y-1=0,求:
(1)漸近線(2)主直徑;(3)化簡(jiǎn),并畫出簡(jiǎn)圖。試求單葉雙曲面王+—-空=1與平面x-2z+3=0的交線對(duì)xoy平面的射影柱面方程。1645試確定九值,使直線[3x+y+2Z-6=0與z軸相交。x+4y一九z—15=0給定二次曲線5x2+12xy-22x-12y-19=0,求:(1) 漸近線(2) 主直徑(3) 化簡(jiǎn),并畫出簡(jiǎn)圖。Ix=y2+z26?設(shè)柱面的準(zhǔn)線為宀,母線垂直于準(zhǔn)線所在的平面,求這柱面的方程。x=2z求通過(guò)M(0,0,1),M(3,0,0)并且與坐標(biāo)平面Oxy的夾角為-的平面方程。123給定二次曲線x2一3xy+y2+10x一10y+21=0,求:(1) 漸近線;(2) 主直徑;(3) 化簡(jiǎn),并畫出簡(jiǎn)圖。Ix-2y+z-9=0I,m為何值時(shí),直線< 在xOy平面內(nèi)。3x+ly+z+m=0設(shè)OA={1,1,1},OB={1,-2,3},求以O(shè)A和OB為鄰邊的平行四邊形的面積。{2x+y-2z+1=0與平面x+y+z一1=0垂直的平面方程。與平面x+y+z一1=0垂直的平面方程。x2 y2求通過(guò)x軸,且與橢圓柱面亍+節(jié)=1的交線是圓的平面方程。求以三點(diǎn)aG,1,1)B(2,0,1)CG,0,2)為頂點(diǎn)的三角形的面積。求通過(guò)點(diǎn)PG,4,-3)P(1,-2,6)兩點(diǎn),而且平行于x軸的平面的方程。1215-求通過(guò)點(diǎn)M⑺)15-求通過(guò)點(diǎn)M⑺),而且與兩條直線11??1=f=3,12x-1~Ty-1z-1都相交的直線的方程。16.求通過(guò)x軸,而且與橢圓柱面節(jié)+亍=1的交線是圓的平面方程。
17.化簡(jiǎn)二次曲線方程x2+4xy+4y2+12x-y+1二0,并畫出草圖。幾何學(xué)》作業(yè)參考答案一.填空題1.a(chǎn)-b2.cos申二 1.a(chǎn)-b2.cos申二 =;iaiibi3.二亠-丄=0;<30v30 <30 ,304.5.B〈九〈A;6.op二OA+九OB1+九x-xy-yz-zI221〕212121\ —1;8.-18;9.XYZ333J111XYZ豐0:7.22210.xy+ =2uab;u(x-2)10.xy+ =2uab;u(x-2)=z;ab11.12.XF(x,y)+YF(x,y)=0。1213.16.x2+y2=2pz;14.2;15.圓柱面;IF(x,y)=0172i00 ;'[F(x,y)=0'20018.AX+BY+CZ=0且Ax+By+Cz+D豐0000x2 y219.——^―=119.a2 b2y=0
X一X1y一y1z一z120.X一Xy―yz一z=0212121X一Xy—yz一z3 1313 121.IV.22.柱面,錐面,切線曲面。23.單葉雙曲面;雙葉雙曲面29.330-4;31.32.\:x2+z2=y2;24橢圓拋物面;雙曲拋物面;25- 20; 26- ^35⑺乩29.330-4;31.32.\:x2+z2=y2;.證明題證明:在平行四邊形ABCD中,設(shè)AO=九OC,則BA+九BCBA+九BC1+\DO=DA+九DC1+九-BC-九BA1+九1 I r 1 卜 卜 卜 ] 1 m m —而BO〃DO,可設(shè)BO=mDO,即有BA+九BC+m(BC+九BA)=0,「九+m=0得{、n (九鼻-1) 解得九=1,即O為BD中點(diǎn),1+Am=0同理0為AC中點(diǎn)。12.證明:在三角形中,a+b+c=0,有a2=(b+c)2=b2+c2+2bccosZ(a,b),即a2=b2+c2-2bccosA。x2y2z23.證明:定方向的方向余弦分別為九,P,v, 則定方向和橢球面 +—+ =1a2b2c2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(rA,rp,rv),將此代入橢球面方程中得:1 九2 P2V2=++_。r2 a2b2c24.證明:過(guò)M作平面的垂線,垂足為Q(x,y,z), 所以MQ〃N={A,B,C}x=x+mA0而Q點(diǎn)在平面上,所以有<y=y而Q點(diǎn)在平面上,所以有0z=z+mC0A(x0+mA)+B(y0+mB)+C(z0+mC)+D=0
Ax+By+Cz+D000d=1MQI二、:(A2+Bd=1MQI二、:(x-X0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=ImI、:A2+B2+C2IAx+By+Cz+DI= .00 。A2+B2+C2證明:設(shè)直線的方向?yàn)椋鹟,m,n},坐標(biāo)平面xoy與直線的交角為九,則n2sm2九=l2+m2+n2m2 l2同理 sm2卩= , sm2v=l2+m2+n2 l2+m2+n2所以COS2九+COS2卩+COS2v=2 。證明:如圖AC=AO+oc=OB+oc CB=OB-OCAC-CBAC-CB=)=OB2-OC2=r2-r2=0 所以AC丄CB. 證明:設(shè)二次曲線的方程為ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+a=0111222132333經(jīng)過(guò)平移變換x=X+x0 y=y'+y 0曲線的方程變?yōu)閍x'2+2ax'y'+ay'2+2F(x,y)x'+2F(x,y)y'+F(x,y)=0111222100200300可以看出,二次項(xiàng)的系數(shù)沒有改變,因此,方程還是二次的 經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸
x二x'cosa—y'sinay二x'sina+y'cosa設(shè)曲線的方程變?yōu)閍'x'2+2a'x'y'+a'y'2+2a'x'+2a'y'+a1112221323=033可知a'=acos2a+asin2a+asin2a11 1’ 12 22112222sin2a+acos2a1222<a'=—a—sin2a12222sin2a+acos2a122212 112a'=asin2a—a2211因?yàn)樗?11cos2a——sin2a2所以,11cos2a——sin2a2sin2asin2acos2a—sin2asin2asin2a2coa2a=1,a12'役2不全為零時(shí),S'al42也不全為零?因此,曲線的次數(shù)不改變證明:TOC\o"1-5"\h\zx=sin29 ⑴<y=1—cos20 (2)z=2cos0 (3)2+(2)2—(3)2得x2+y2+z2=4所以,曲線在球面S]x2+y2+z2=4上. 3分.又可以寫成y—1=cos20,則(1)2+(2)2=x2+(y—1)2=1,所以,曲線又在圓柱面S:x2+(y—1)2=1上. 3分2又z2=4cos20=4(1一sin20)=4一4sin20=4一2x2sin20 1分=4—2x(1—cos20)=4—2y 3分 1分所以,曲線又在拋物柱面S3:z2=4—2y上.三.計(jì)算題1.設(shè)平面方程為x+3y+2z+D=0,在x,y,z軸上截距分別為-D,-耳,—斗11體積V=|D3|x=6。 得D=±666所以方程為x+3y+2z±6=0。二次曲線x2+6xy-7y2+6x+2y-1=0的漸近方向?yàn)閄:Y=1:1或(-7):131中心坐標(biāo)為(—一,-—),所以漸近線為x-y+1=0;x+7y+5=0?兩條主直徑分別是x-3y=0;223x+y+5=0。化簡(jiǎn)得4x一—y一—3=0。3.解:柱面的方向?yàn)椋?,3.解:柱面的方向?yàn)椋?,0,1},準(zhǔn)線為<竺+上-竺=116 4 5解得柱面方程為(x-6一"+13=1。260 13解:設(shè)與Z軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,a),代入直線方程得九=—5。解:(1)漸近方向?yàn)?:1和-12:5,中心為(1,1),漸近線為x=1; 5x+1—y-17=0.(2) 主直徑為3x+—y-5=0;—x-3y+1=0.x'—y'—(3) 化簡(jiǎn)結(jié)果為—-二=1.49Ix=y—+z—柱面的準(zhǔn)線為{宀故準(zhǔn)線所在的平面為x=2z,母線的方向?yàn)椋?,0,-2}得柱面的方程為:Ix=—z4x—+—5y—+z—+4xz-—0x-10z=0。TOC\o"1-5"\h\zC 兀1解:設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0,則與oxy坐標(biāo)平面的交角有 =COS= ,A—+B—+C— 3 —M(0,0,1),M(3,0,0)的坐標(biāo)代入平面方程得:C+D=0, 3A+D=0。三式聯(lián)立求解得A:B:C:D=1:(±+'26):121:(-1)平面方程為x±p26y+z—1=0。(1)漸近方向?yàn)閄:Y=1:1或5:1,中心坐標(biāo)為(-3邁,-2邁),漸近線為x+y+5弧2=0 5x+y+17\:2=0。主直徑為x—y+、.:2=0 x—5y—7丫2=0?;?jiǎn)結(jié)果為 (3+麗x2+(3—^13)y2+10=0。l=—6,m=—27.儷1由平面束的方程得:A=——。所以,所求平面方程為3x-3z+4=0.Z=±^3y.13?解:AB=h—1,。}AC=£,—1,1}ABxAc={-1,—1,—1}1 B L1_三角形的面積=2ABxAC=2v'3解:設(shè)所求平面方程是By+Cz+D=0把P,P的坐標(biāo)代人上式得124B—3C+D=0—2B+6C+D=0由以上兩式得B:C:D=3:2:(-6)故所求平面方程是3x+2y—6=0解:由于點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足1的方程,所以M在1上22因此,M與1]決定的平面上通過(guò)M1]不平行的直線均為所求設(shè)所求直線方程為x一1y一1z一1XYZ則X,Y,Z應(yīng)該滿足c111123=0VXYZX:Y:Z豐1:2:3
X—2Y+Z二0X:Y:Z豐1:2:316.:由對(duì)稱性知,所求圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑是3.16.設(shè)所求平面的方程是z二kyX2y2_1則圓的方程為{~9+T=1. ⑴ ...、z=ky該圓又可以看成是球面x2+y2+z2二32與z二ky的交線,即X2+y2+z2=32,亦即z=kyx2C+k2)y2 + =1<9 9 ⑵z=ky比較(1),(2)得系數(shù)得4=氣空17.解得k= ,所以,所求平面方程是z=±fy34解:由公式ctg加=a—a—2 11得:ctg2a2a121—tg2a=—32tga 4由此得到tga=—2或tga=2tga=2得1cos
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