北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-6

北師大版《數(shù)學(xué)》（九年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)證明（二）一、公理（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。（2）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）。（3）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）。（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。推論：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）。二、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三、等邊三角形性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）三線合一判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3）：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。四、直角三角形（一）、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即其它性質(zhì)：1、直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似。2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積（二）、直角三角形的判定1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（三）直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）五、角的平分線及其性質(zhì)與判定1、角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。2、角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。3、角的平分線的判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1、線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。七、反證法八、互逆命題、互逆定理1、在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。2、如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。第二章一元二次方程一、一元二次方程（一）、一元二次方程定義含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。二、一元二次方程的解法1、直接開平方法直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。2、配方法一般步驟：方程兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配方，化成（5）開方。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)使用此方法。補(bǔ)充：一元二次方程根的判別式根的判別式1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。2、性質(zhì)：當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。第三章證明（三）一、平行四邊形1、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長×高=ah二、矩形1、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）矩形的對(duì)邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角都是直角（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab三、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長×高=兩條對(duì)角線乘積的一半四、正方形（3~10分）1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì)稱軸有四條，是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設(shè)正方形邊長為a，對(duì)角線長為bS正方形=五、等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對(duì)角線相等。（4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）六、三角形中的中位線1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。3、常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。七、有關(guān)四邊形四邊中點(diǎn)問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；第四章視圖與投影1、投影投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。2、視點(diǎn)、視線、盲區(qū)第五章反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示為（k是常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。）2、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖象yOxyOx性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定反比例函數(shù)解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義過反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P（x,y）作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別是M、N，則