八年級數(shù)學上冊知識講解及鞏固練習：直角三角形（提高）鞏固練習

PAGE【鞏固練習】一、選擇題1.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC中點，∠EPF=90°，給出四個結(jié)論：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四邊形AEPF=S△ABC，其中成立的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2.如圖，某同學在課桌上無意中將一塊三角板疊放在直尺上，則∠1+∠2=（）A．60° B．75° C．90° D．105°3.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．74.（2016春?保定期末）如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=10，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM的長為（）A．2 B．3 C．4 D．55．如圖所示：CE，BF是△ABC的兩條高，M是BC的中點，連ME，MF，∠BAC=50°，則∠EMF的大小是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分別是AD，BC的中點，若∠B與∠C互余，則MN與BC-AD的關系是（）A．2MN＜BC-AD B．2MN＞BC-AD C．2MN=BC-AD D．MN=2（BC-AD）二、填空題7.將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_______度．8.如圖所示，BD⊥AC于點D，DE∥AB，EF⊥AC于點F，若BD平分∠ABC，則與∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的個數(shù)是______________.9.（2016春?藍田縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線，若BD=20，則AC的長是．10.Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于點D，則△BCD與△ABC的周長之比為_______________________．11.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E為AB之中點，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，則∠DFE等于__________°．12.如圖所示的網(wǎng)格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答題13.證明：直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的一半．14.已知∠MAN，AC平分∠MAN．

（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC；

（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

15.已知：如圖，在△ABC中，AD、BE是高，F(xiàn)是AB的中點，F(xiàn)G⊥DE，點G是垂足．求證：點G是DE的中點．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】A；【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P為BC中點，∴①正確；

∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°

∴∠BPE=∠APF，又AP為公共邊，

∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正確；

②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正確，

∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正確

所以①②③④都正確，故選A．2.【答案】C;【解析】如圖所示：

∵∠1與∠4是對頂角，∠2與∠3是對頂角，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∴此三角形是直角三角形，

∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．

故選C．3.【答案】D;【解析】解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不可小于3；

∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

∴AB=6，

∴AP的長不能大于6．

故選D．4.【答案】C；【解析】作PH⊥MN于H，如圖，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=×10=5，∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．5.【答案】D；【解析】解：∵CE是△ABC的兩條高，∴∠BEC=90°，∵M是BC的中點，∴EM=BM=BC，∴∠MEB=∠EBM，∴∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM，同理∠FMC=180°﹣2∠FCM，∵∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，∴∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°，∴∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°．故選D．6.【答案】C；【解析】解：延長BA、CD，兩延長線相交于點P，

連接PM、PN，

∵∠B+∠C=90°

∴∠P=90°

∵AD∥BC

∴∠PAD=∠B，

而M，N分別是AD，BC的中點

∴AM=MP，BN=PN

∴∠B=∠BPN，∠PAD=∠APM

∴∠APM=∠BPN

∴P、M、N三點共線

∵M是AD的中點，∠P=90°

∴PM=AD

同理：PN=BC

∵PN-PM=（BC-AD）

∴MN=（BC-AD）

∴2MN=BC-AD．

故選C．二.填空題7.【答案】90；【解析】解：如圖，連接兩交點，

根據(jù)矩形兩邊平行，得

∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

又矩形的角等于90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=180°-90°=90°；8.【答案】4；【解析】解：如圖，∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴與∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4個．故答案為：4；9.【答案】30【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠A，∴AD=BD=20，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴DC=BD=10cm，∴AC=AD+DC=30，故答案為：30．10.【答案】；【解析】解：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BC=AB，BD=BC，CD=AC，∴BC+BD+CD=（AB+BC+AC），則，∴△BCD與△ABC的周長之比為:，故答案為:.11.【答案】60；【解析】解：由直角三角形性質(zhì)知，

∵E為AB之中點，

∴CE=AE=BE，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，

∴∠ACF=70°，

又∵AD=DB，

∴∠B=∠BAD=20°，

∴∠FAC=50°，

∴在△ACF中，

∠AFC=180°-70°-50°=60°，

∴∠DFE=∠AFC=60°．

故答案為：60.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答題13.【解析】已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=30°，求證：BC=AB．證明：如圖，延長BC到D，使CD=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=BD，∴BC=AB．14.【解析】（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD=∠CAB=60°．又∠ABC=∠ADC=90°，∴AD=AC，AB=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：結(jié)論仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．則∠CED=∠CFB=90°，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，在Rt△ACE與Rt△ACF中，則有AE=AC，AF=AC，則