反步設(shè)計法在種群動力學(xué)中的應(yīng)用

反步設(shè)計法在種群動力學(xué)中的應(yīng)用

0反步控制的基本設(shè)計方法系統(tǒng)的穩(wěn)定性在生態(tài)分析的評價體系中起著非常重要的作用。一個穩(wěn)定的生態(tài)系統(tǒng)對維持其功能非常重要。近年來，隨著工業(yè)的發(fā)展，生態(tài)平衡受到嚴(yán)重破壞。因此，有必要對系統(tǒng)進行有效的控制，使生態(tài)系統(tǒng)的長期平衡得到充分控制。反步法的設(shè)計方法在工程控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，并在實踐中得到了廣泛應(yīng)用。實踐表明，這實際上是一種思維清晰、方法簡單、效率高的控制方法，但用于大規(guī)模動態(tài)控制的應(yīng)用尚不普遍，值得進一步研究。反步設(shè)計法又稱為反演法,該方法的核心思想是通過逐步修正算法去設(shè)計鎮(zhèn)定控制器,實現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)或跟蹤.反步控制的基本設(shè)計方法是從一個高階系統(tǒng)的內(nèi)核開始(通常是系統(tǒng)輸出量滿足的動態(tài)方程)設(shè)計虛擬控制律以保證內(nèi)核系統(tǒng)某種最為重要的性能,如穩(wěn)定性、無源性等,然后對得到的虛擬控制律逐步修正算法,但應(yīng)保持既定性能,進而設(shè)計出真正的鎮(zhèn)定控制器,實現(xiàn)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)或跟蹤,使系統(tǒng)達到包含所有期望指標(biāo)的性能指標(biāo).其具體設(shè)計步驟如下:(1)將復(fù)雜的高階非線性系統(tǒng)分解成若干不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng);(2)給第(1)步得到的每個子系統(tǒng)設(shè)計相對獨立的部分Lyapunov函數(shù)(簡稱V函數(shù))和中間虛擬控制量;(3)由系統(tǒng)輸出設(shè)計一直向后推算,逐漸“后退”到整個系統(tǒng),將它們集成起來完成整個控制律的設(shè)計.從設(shè)計步驟上可以看出,反步法實際上是一種由前向后遞推的設(shè)計方法,利用一步步的迭代過程去設(shè)計新的V函數(shù),最終獲得整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性或其他性能.本文通過反步設(shè)計法研究了Lotka-Volterra型捕食系統(tǒng)模型的全局穩(wěn)定性問題,得到了使閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點處全局漸近穩(wěn)定的控制規(guī)律.1taka-torra飼料系統(tǒng)的反步控制設(shè)計1.1狀態(tài)反饋控制參數(shù)u0,0引理:對于系統(tǒng){˙η=f(η,ξ)˙ξ=u,其中f(η,ξ)光滑且f(0,0)=0,如果存在一個正定、徑向無界的函數(shù)V(η),使得對于所有的非零η有?V?ηf(η,0)＜0,那么存在一個狀態(tài)反饋控制u=u(η,ξ)且u(0,0)=0和一個正定、徑向無界的函數(shù)W(η,ξ),使對于所有的非零(η,ξ),有˙W(η,ξ)=[?w?η?w?ξ][f(η,ξ)u(η,ξ)]＜0證明:由f(η,ξ)光滑且f(0,0)=0得f(η,ξ)=f(η,0)+p(η,ξ)ξ,其中p(η,ξ)=∫10[?f(η,θ)?θ]θ=sξds,取正定、徑向無界函數(shù)W(η,ξ)=V(η)+12ξ2,沿著系統(tǒng)有選取u=u(η,ξ)=-ξ-?V?ηp(η,ξ),則˙W(η,ξ)=?V?ηf(η,0)-ξ2＜0.1.2控制律設(shè)計在Lotka-Volterra系統(tǒng)中,以二維系統(tǒng)最為簡單,但是對它的研究結(jié)果對于高維系統(tǒng)而言具有很強的典型性和重要的指導(dǎo)意義,因此人們在研究此類系統(tǒng)時大多是以二維系統(tǒng)為基礎(chǔ)而展開的.本節(jié)所討論的對象也正是Lotka-Volterra二維系統(tǒng)中的捕食者-食餌系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型表達為:式中x1,x2的系數(shù)均為常數(shù);a11,a22為種內(nèi)作用系數(shù),反映兩種群的密度作用因素;a12,a21為種間作用系數(shù),反映兩種群相互作用的因素;a10,a20表示兩種群的內(nèi)稟增長率,a20>0表示除x1外,x2還有其他食物資源;u是控制量,u的形式將根據(jù)反步控制的設(shè)計方法給出.定理:對于系統(tǒng)(1),存在狀態(tài)反饋控制器u=(a21x2-a11x1+1)(x1-x*1)+(a22x2-a12x1-1)(x2-x*2)使得閉環(huán)系統(tǒng)的唯一正平衡點X*(x*1,x*2)是全局漸近穩(wěn)定的.證明:如果系統(tǒng)存在正平衡點X*(x*1,x*2),則系統(tǒng)的狀態(tài)必然滿足如下條件{a11x1+a12x2=a10-a21x1+a22x2=a20由此可以將式(1)化為對稱式{˙x1(t)=x1(-a11(x1-x*1)-a12(x2-x*2))˙x2(t)=x2(a21(x1-x*1)-a22(x2-x*2))+u其中aij>0.其反步控制的設(shè)計步驟為:第1步,取正定且無界函數(shù)V(x1)=x1-x*1-x*1lnx1x*1,沿系統(tǒng)(1)有˙V(x1)=(x1-x*1)˙x1x*1=(x1-x*1)(-a11(x1-x*1)-a12(x2-x*2))=-a11(x1-x*1)2-a12(x1-x*1)(x2-x*2)選取x2=a0(x1)=x1-x*1+x*2,則有˙V(x1)=-a11(x1-x*1)2-a12(x1-x*1)2＜0(x1≠x*1).第2步,取V1=V+12(x2-a0(x1))2,V1→∞(|x|→∞),沿系統(tǒng)有˙V1=˙V+(x2-a0(x1))(˙x2-˙x1)=-a11(x1-x*1)2-a12(x1-x*1)2+((x2-x*2)-(x1-x*1))(˙x2-˙x1)=(-a11-a12)(x1-x*1)2+((x2-x*2)-(x1-x*1))(˙x2-˙x1)選擇u=(a21x2-a11x1+1)(x1-x*1)+(a22x2-a12x1-1)(x2-x*2),則除點X*(x*1,x*2)外˙V1=-(a11+a12)(x1-x*1)2-((x2-x*2)-(x1-x*1))2＜0即在反饋控制u下,閉環(huán)系統(tǒng)在點X*(x*1,x*2)處是全局漸近穩(wěn)定的.2示例與數(shù)值模擬2.1+2,2,2,2,2第1步,以2.考慮如下系統(tǒng):易知u=0時,系統(tǒng)(2)的平衡點(1,2)雖然穩(wěn)定但非全局漸近穩(wěn)定.下面利用反步設(shè)計法尋找控制律來達到系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定.首先化系統(tǒng)(2)為對稱式:{˙x1=x1(-(x1-1)-(x2-2))˙x2=x2((x1-1)-(x2-2))+u第1步,取V(x1)=x1-1-lnx1,顯然V(x1)正定且無界,沿系統(tǒng)有˙V(x1)=(x1-1)˙x1x1=(x1-1)(-(x1-1)-(x2-2))=-(x1-1)2-(x1-1)(x2-2)選取x2=a0(x1)=x1+1,則˙V(x1)=-2(x1-1)2＜0(x≠1).第2步,取V1=V+12(x2-a0(x1))2?正定無界,沿系統(tǒng)有V˙1=V˙(x1)+(x2-a0(x1))(x˙2-x˙1)=-2(x1-1)2+((x2-2)-(x1-1))(x˙2-x˙1)選取u=(-x2-x1+1)(x1-1)+(x2-x1-1)(x2-2)(3)則除點(1,2)外V˙(x1)=-2(x1-1)2-((x2-2)(x1-1))2＜0.即在反饋控制u下,閉環(huán)系統(tǒng)在點(1,2)處是全局漸近穩(wěn)定的.2.2水生動物凈化系統(tǒng)的延續(xù)性利用mathmatic軟件可以分別對無控制規(guī)律和以式(3)為控制規(guī)律的L-V系統(tǒng)模型進行數(shù)值模擬,得到的結(jié)果分別如圖1和2所示.對比圖1和圖2可以看出,如果不給系統(tǒng)(2)加以適當(dāng)?shù)目刂?則無論是食餌還是捕食者其種群數(shù)量都將會在一定的時間以后逐漸趨于0,這意味著該種群滅亡.而對該系統(tǒng)施加以形如式(3)的人工控制以后,則經(jīng)過一段時間的發(fā)展之后系統(tǒng)會在一定平衡點處趨于某個穩(wěn)定值,達到了控制目標(biāo),其現(xiàn)實意義為無論是捕食者種群還是被捕食者種群都能夠維持較長時間的持續(xù)共存,從而保證了生態(tài)系統(tǒng)的延續(xù)性.3反步設(shè)計的應(yīng)用價值本文利用Backstepping反步設(shè)計方法研究了二維L-V捕食模型的全局穩(wěn)定性問題,得到了使閉環(huán)系統(tǒng)在正平衡點處全局漸近穩(wěn)定的控制律.由反步法的設(shè)計思想可知,反步設(shè)計法使李雅普諾夫函數(shù)(V函數(shù))和控制器的設(shè)