基于數(shù)學思想的中考試題分析

基于數(shù)學思想的中考試題分析

遼寧省基礎教育教研培訓中心李中華整理ppt一、2009年全國中考數(shù)學考試總體概況在全國30個省、直轄市、自治區(qū)中，除四個直轄市外，命題單位可分為三種情況省統(tǒng)一命題：陜西、河北、河南、江蘇、江西、海南、西藏、青海、新疆、云南、寧夏；省命題為主，個別市單獨命題：廣東、吉林、山西、安徽、全部由市、地、州單獨命題：黑龍江、遼寧、山東、內(nèi)蒙、福建、廣西、湖北、湖南、甘肅、貴州、四川、浙江．整理ppt一、2009年全國中考數(shù)學考試總體概況數(shù)學中考試卷有幾種不同類型：學業(yè)水平考試（全面考查考生初中數(shù)學學業(yè)水平，成績作為高中招生的重要依據(jù)）高中招生考試（在初中畢業(yè)水平考試基礎上單獨舉行的招生考試，即兩考）學業(yè)水平考試（全卷分為兩部分，一部分主要承擔畢業(yè)水平考試的功能，另一部分主要承擔拉開差距的功能，常把全卷分為100分+50分，即兩考合一）其中第一種類型占絕大多數(shù)，是主流；第二種類型極少；第三種類型也是少數(shù)。

整理ppt一、2009年全國中考數(shù)學考試總體概況

1.試題命制漸趨穩(wěn)定2.試題體現(xiàn)的指導思想3.試題表現(xiàn)出來的一般特點4.越來越多的試卷在增加對學生活動和學習過程的考查的探索;5.在一些較新的題型和考查方法上呈現(xiàn)出省際之間的差異。整理ppt二、關于數(shù)學發(fā)展所依賴的思想長期以來，人們習慣地認為“數(shù)學是一門研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的科學”，這個定義也是不準確的．數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學，不管是現(xiàn)實世界的“數(shù)量關系和空間形式”還是思維想象的“數(shù)量關系和空間形式”，都屬于數(shù)學研究的范疇整理ppt二、關于數(shù)學發(fā)展所依賴的思想“數(shù)學是對現(xiàn)實世界的數(shù)量關系、空間形式和變化規(guī)律進行抽象，通過概念和符號進行運算與邏輯推理的科學．數(shù)學與現(xiàn)實若即若離，一方面，數(shù)學解決自身邏輯的矛盾得到發(fā)展；另一方面，數(shù)學又必須通過與外部世界的接觸汲取活力．”整理ppt二、關于數(shù)學發(fā)展所依賴的思想數(shù)學發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的，通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析1．從全新角度考查基礎知識和基本技能要想學好數(shù)學，就必須牢固掌握數(shù)學的基礎知識，并且在不同的環(huán)境中能夠靈活的加以運用．因此在關注對基礎知識和基本技能考查的同時，特別注意了考查方式的多樣化和考查角度的新穎性．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例1如圖1，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則∠APB等于A．30° B．45°C．60° D．90°POBA圖1整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析本題旨在考查同弧所對的圓周角與圓心角的關系．但其呈現(xiàn)方式卻與眾不同，自然而巧妙地把問題置于正方形之中，建立起了知識間的相互聯(lián)系．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例2下列事件中，屬于不可能事件的是A．某個數(shù)的絕對值小于0B．某個數(shù)的相反數(shù)等于它本身C．某兩個數(shù)的和小于0D．某兩個負數(shù)的積大于0評析本題考查的是不可能事件的概念，但其中卻蘊含著考生對數(shù)的基礎知識的思考，使這道看似簡單的題目變得豐滿而扎實．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例3如圖2所示的計算程序中，y與x之間的函數(shù)關系所對應的圖象應為取相反數(shù)×2＋4圖2輸入x輸出yOyx-2-

4ADCBO42yO2-

4yxO4-

2yxx整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析對函數(shù)圖象的考查是中考命題的常見內(nèi)容，但本題不是平鋪直敘，而是另辟蹊徑——借助程序設計的背景，將函數(shù)表達式的產(chǎn)生與函數(shù)圖象的性質(zhì)完美的銜接起來，設計出了一道新而不偏、新而不怪的好題．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析2．關注數(shù)學思想方法，滲透數(shù)學文化數(shù)學的思想方法是數(shù)學學科的靈魂，它有時并非刻意指向解題所運用的數(shù)學知識，而更多的體現(xiàn)在對解題策略的思考和選擇上．此外，滲透數(shù)學文化、陶冶學生心靈、感受數(shù)學魅力，使數(shù)學具有更為積極的教育功能，也是命題組在試題命制中始終關注的一個環(huán)節(jié)．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例4從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個棱長為1的小正方體，得到一個如圖3所示的零件，則這個零件的表面積是A．20 B．22C．24 D．26圖3整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例5如圖4，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為

cm．ABC圖4DEA′

整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析從表面看，上述兩題是對基本幾何知識性質(zhì)（圖形的周長和面積）的考查，但通過對解題策略的分析，卻不難發(fā)現(xiàn)，其關注的核心實際是數(shù)學的思想方法，即利用平移和軸對稱實現(xiàn)對問題的轉(zhuǎn)化（化歸）．這兩道試題還具有良好的推廣性．如例4中，讓挖去的小正方體經(jīng)過大正方體的兩個面或只在一個面上時，其表面積會怎樣變化？例5中，點A′在△ABC的內(nèi)部或邊上時，陰影部分的周長有什么不同？等等．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例6如圖5，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的三分之一，另一根露出水面的長度是它的五分之一．兩根鐵棒長度之和為55

cm，此時木桶中水的深度是

cm．圖5整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析本題通過現(xiàn)實有趣的數(shù)學情景，將方程思想巧妙地蘊含其中．此外，解法的多樣性也是本題的一大特點，既可以形成一元一次方程的模型（設水的深度為未知數(shù)），又可以形成二元一次方程組的模型（設兩根木棒的長度為未知數(shù)），還可以有其他方法．這樣使學生單向封閉的思路拓展成多維開放的思路，有效地培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維能力．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例7古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．下列等式中，符合這一規(guī)律的是A．13=3+10B．25=9+16C．36=15+21D．49=18+314=1+39=3+616=6+10圖6…整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析該題以畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)為切入點，以數(shù)字間的內(nèi)在關系為背景，不僅考查了學生探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，而且還可以借助圖形進行分析，很好的體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想．同時又向?qū)W生滲透了世界古代文化的精深與美妙，有一種內(nèi)在的和諧與古遠幽深的意境，激發(fā)了學生對數(shù)學文化的熱愛，既有趣味性、挑戰(zhàn)性，又有教育功能，令人耳目一新．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析3．在考查思維能力的同時，更關注對思維方式和思維過程的考查在新課程理念的指導下，日常教學中，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的能力尤為重要．但更重要的是，通過具體有形的數(shù)學知識，傳遞給學生一種數(shù)學的思維方式，體驗思維和認知的一般方法與過程（數(shù)學思考）．可以說，今年的數(shù)學試題在關注“知識立意”與“能力立意”的同時，又注入了“過程立意”．這必將對今后的教學產(chǎn)生重要的影響．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例8已知拋物線經(jīng)過點A

(－3，－3)和點P

(t，0)，且t

≠

0．（1）若該拋物線的對稱軸經(jīng)過點A，如圖8，請通過觀察圖象，指出此時y的最小值，并寫出t的值；（2）若，求a、b的值，并指出此時拋物線的開口方向；（3）直接寫出使該拋物線開口向下的t的一個值．AOPxy圖8-

3-

3整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析該題以二次函數(shù)為背景，但卻打破了以往程式化的設問方式，而是帶有濃郁的探究成分，清晰地為我們勾勒出了“在兩個點確定的情況下，拋物線的某些屬性（開口方向）隨另一個點的運動而變化”的一個連續(xù)的動態(tài)過程，將代數(shù)演繹與幾何直觀有機地結(jié)合了起來．本題考查的主旨并非是對解題方法和技巧的機械運算，而是巧妙地考查了學生直觀思維的過程與方法，正所謂“四兩撥千斤”就是這個道理．整理ppt例9如圖9-1至圖9-5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c．圖9-1AO1OO2BB圖9-2ACn°DO1O2B圖9-3O2O3OAO1CO4OABC圖9-4DD圖9-5O整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析閱讀理解：（1）如圖9-1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到⊙O2的位置，當AB

=

c時，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周。（2）如圖9-2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滾動，在點B處，必須由⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉(zhuǎn)的角∠O1BO2=n°，⊙O在點B處自轉(zhuǎn)周．

實踐應用：（1）在閱讀理解的（1）中，若AB

=

2c，則⊙O自轉(zhuǎn)

周；若AB

=

l，則⊙O自轉(zhuǎn)

周．在閱讀理解的（2）中，若∠ABC

=120°，則⊙O在點B處自轉(zhuǎn)

周；若∠ABC

=60°，則⊙O在點B處自轉(zhuǎn)

周．

（2）如圖9-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動到⊙O4的位置，

⊙O自轉(zhuǎn)

周。整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析拓展聯(lián)想：（1）如圖9-4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請說明理由．（2）如圖9-5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于點D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析本題以課題學習的形式呈現(xiàn)，從簡單的“圓在直線段和角外部滾動的周數(shù)”的數(shù)學事實出發(fā)，循序漸進，層層深入，引導學生在解決問題的過程中，不斷產(chǎn)生認知發(fā)展，進而在不知不覺中提煉歸納出一般性的結(jié)論，使自己對知識的認識得到升華．可以看出，本題清晰地給學生展現(xiàn)了一個從“提出基本事實→解決具體問題→歸納整合方法→實現(xiàn)思維升華”的完整思維過程，所呈現(xiàn)的情境不是對解題方法的簡單重復，而是不斷引導學生去探究和掌握一類問題的一般解決策略．因此，在解答本題過程中可以充分體驗到從“特殊到一般”的數(shù)學思想，這也正是學生學習數(shù)學乃至認識一切事物的重要方式之一（同化與演繹）．此外，本題還可拓展成一個圓在另一個圓的外部（或內(nèi)部）滾動周數(shù)計算的問題，從而使解題思路得到進一步的深化和發(fā)展．整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析例10在圖10-1至圖10-3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M.圖10-1AHC(M)DEBFG(N)G圖10-2AHCDEBFNMAHCDE圖10-3BFGMN整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析（1）如圖10-1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH；（2）將圖10-1中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖10-2，求證：△FMH是等腰直角三角形；（3）將圖10-2中的CE縮短到圖10-3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）整理ppt三、中考數(shù)學試題特色評析評析本題的主旨是在考查學生的推理能力（合情推理與演繹推理），但通過旋轉(zhuǎn)和放縮的變換，構(gòu)造出了一個“從特殊到一般”的三種圖形狀態(tài)，其中蘊含了“運動與靜止的對立統(tǒng)一”、“在變化過程中尋找某些量的不變屬性”這一重要的數(shù)學基本觀念．將學生的觀察操作、猜想推斷、演繹論證等數(shù)學活動有機的融為一個整體．這樣做，既使學生獲得了一種科學探究的思維模式，又使得學習水平層次不同的學生在考試中都有發(fā)揮的機會和余地，從而通過對不同層次的學生采用不同的評價，體現(xiàn)了尊重學生的數(shù)學個體差異，有利于激發(fā)學生的思維激情和潛能，增加自信心和成就感，同時也有效地提高了試題的信度與效度．整理ppt四、可推廣性試題分析可推廣性要求按照《課程標準》所要求的達到初中畢業(yè)水平的考生應該形成的整體學習習慣、學習過程、學習結(jié)果來設計考題，注意所考查的數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和題目設計可以抽象到它的上位知識，加強對數(shù)學思想方法的考查，確?？荚嚨慕Y(jié)果能成為判斷考生當前達到《課程標準》所規(guī)定數(shù)學學習水平的依據(jù)。整理ppt四、可推廣性試題分析（一）考查具有類特征的問題，使所考查的數(shù)學問題具有可推廣性所謂類特征的問題是指問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)一致，解答過程的模式一致，但具體問題情景和涉及的數(shù)學知識、技能不完全相同的問題，它直接指向考生的數(shù)學經(jīng)驗，掌握一些基本的類特征問題是數(shù)學學習基本要求，也是學好數(shù)學的有效途徑之一。2009年各地較為注意選擇具有類特征的問題，實現(xiàn)對同一知識的同類問題的考查，在一定程度上確保了考試結(jié)果可以推廣到《課程標準》意義下學生的數(shù)學素養(yǎng)水平.行程問題；測量問題；簡單證明。整理ppt四、可推廣性試題分析測量問題在初中數(shù)學中的測量問題主要包括：土地測量、面積計算、工程建筑、機械制造、航海航空等許多問題，它們都可歸結(jié)為用相似三角形和解直角三角形問題來解決的問題。整理ppt四、可推廣性試題分析例11題目1：如圖1，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，由于受條件限制無法直接度量A、B間的距離．小明利用學過的知識，設計了如下三種測量方法，如圖①、②、③所示（圖中．．．表示長度，，，．．．表示角度）．（1）請你寫出小明設計的三種測量方法中AB的長度：圖①AB=

，圖②AB=

，圖③AB=

；（2）請你再設計一種不同于以上三種的測量方法,畫出示意圖（不要求寫畫法），用字母標注需測量的邊或角,并寫出AB的長度．【2009年福建省三明市中考試題】圖1整理ppt四、可推廣性試題分析例12：圖2，在一次數(shù)學活動課上，老師帶領同學們?nèi)y量一座古塔CD的高度．他們首先從A處安置測傾器，測得塔頂C的仰角，然后往塔的方向前進50米到達B處，此時測得仰角，已知測傾器高1.5米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出古塔CD的高度。CGEDBAF圖2整理ppt四、可推廣性試題分析點評：本例所舉的兩個題目所均屬于測問題。題目1呈現(xiàn)了用三種不同的測量方案解決實際問題的方式，并要求學生自主設計有別于本題所提供的方案，具有較大的思考空間和創(chuàng)造性，解決題目1需要學生通過觀察、分析圖形的特征，選擇所學知識，運用測量的基本原理進行適度的轉(zhuǎn)化與遷移，設計合理的測量方案；題目2直接給出測量物高的方案，考生需正確理解該測量方案，利用測量知識和所學知識解決問題。這兩道題目都通過不同的角度來實現(xiàn)測量問題的考查，解決這類問題的基本模式一致，都是將實際背景下的測量問題轉(zhuǎn)化為標準形式下的測量問題（最終抽象為相似三角形問題或解直角三角形問題），利用三角形相似的基本原理來分析和理解測量的對象，根據(jù)解答的結(jié)果可以較好地推斷考生解決同類測量問題的能力和水平，具有較好的可推性。整理ppt四、可推廣性試題分析（二）考查典型技能性問題，使所考查的數(shù)學技能具有可推廣性典型技能型問題是指解答過程具有操作流程固定及所需相應技能相對具體、完整的特征，其可化分為：單一技能問題和復合技能問題。能熟練解決與初中數(shù)學內(nèi)容相聯(lián)系的典型問題，既是考生進一步學習的需要，也是考生走向社會的需要。利用典型問題考查學生解決問題的情況，可以較好地推廣到學生解決一類問題方面的發(fā)展情況，也有利于引導教師加強初中數(shù)學“典型問題”的教學，體現(xiàn)課標的基本要求。2009年各地中考試卷較為注意利用典型問題考查考生對解決該問題的情況，使得對技能的考查結(jié)果具有較好的推廣性，值得認真加以總結(jié)、完善、推廣。整理ppt四、可推廣性試題分析1.分解因式2.代數(shù)式化簡3.解方程（組）4.解不等式（組）5.基本尺規(guī)作圖6.圖形變換整理ppt四、可推廣性試題分析分解因式各地較為注意對因式分解的考查，有的地區(qū)在設計因式分解題目時，還適當?shù)卦O計開放性試題，為考生實施解答留有一定的選擇余地。整理ppt四、可推廣性試題分析例13題目1：因式分解：【2009年湖南省懷化市中考試題】題目2：在三個整式中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解?！?009年吉林省中考試題】整理ppt四、可推廣性試題分析點評：本例所舉的題目1是通過簡單、具體的典型代數(shù)恒等變形問題，直接考查學生對分解因式概念的理解程度和運用乘法公式對代數(shù)式進行恒等變形的技能，題目2給出了問題的內(nèi)在要求和構(gòu)造問題所需要的要素，而沒有給出明確、確定的因式分解問題，給考生預留了構(gòu)造具體問題的空間。兩個題目雖然形式上不同，但解答過程均具有明顯的程序性特征，由于考查的重點是運算及代數(shù)式的恒等變形，根據(jù)考生的解答結(jié)果基本上能較好地推知其對該項知識和技能的掌握情況。整理ppt四、可推廣性試題分析（三）考查問題解決型問題，使基于問題的表現(xiàn)能推斷為數(shù)學能力問題解決型問題直接指向考生的數(shù)學能力，能成功解答問題解決型問題是具有數(shù)學能力的表現(xiàn).由于解決問題的過程使孤立的知識發(fā)生聯(lián)系，而這個聯(lián)系與知識內(nèi)在抽象過程具有一致性，從這個意義上講，這個過程有助于下位知識上升到上位知識及至數(shù)學思想、方法，即具有可再抽象性。2009年各地試題與以往中考一樣依然注重設計問題解決型問題,問題解決型的問題有的來源于現(xiàn)實生活或純粹的數(shù)學探索，有的突出知識之間內(nèi)在聯(lián)系，有的突出某個知識點設計形式的新穎獨特，有的突出舊中出新，為根據(jù)考試結(jié)果推斷考生數(shù)學能力發(fā)展狀況