2023學(xué)年完整公開課版組合2

復(fù)習(xí)組合數(shù)計(jì)算公式

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)表示一、有限制條件的（至少至多）組合問題：例1、按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；練習(xí)：1、在200件產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件；（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少種？（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少種？（3）“其中沒有次品”的抽法有幾種？（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少種？二、元素交叉問題513AB例2、某出旅行社有9名導(dǎo)游，其中有5人只會(huì)英語，3人只會(huì)日語，還有1人既會(huì)英語又會(huì)日語，現(xiàn)從這9人中選出3人會(huì)英語，2人會(huì)日語，有多少種不同的選法？某歌舞團(tuán)有7名演員，其中3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，2名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)在要從7名演員中選出2人，一人唱歌，一人跳舞，到農(nóng)村演出，問有多少種選法？練習(xí)：232BA例3、平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?練習(xí):(1)凸五邊形有多少條對(duì)角線？(2)凸n邊形有多少條對(duì)角線？三、幾何問題練習(xí)：（1）平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),有5個(gè)點(diǎn)在一條直線上,其余無3點(diǎn)共線，①能連成多少條直線?②能組成多少個(gè)三角形?（2）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作四面體,共有多少個(gè)？(3)以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體,共有多少個(gè)?引例：（1）2個(gè)不同的蘋果平均分成兩堆，有幾種分法？（2）4個(gè)不同的蘋果平均分成兩堆，有幾種分法？（3）3個(gè)不同的蘋果平均分成三堆，有幾種分法？（4）4個(gè)不同的蘋果分成三堆，有幾種分法？平均分給兩個(gè)人呢？平均分給兩個(gè)人呢？平均分給三個(gè)人呢？分給三個(gè)人呢？四、分組（堆）問題：例4：六本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法？（1）分為三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，一份二本，一份三本。（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本。均勻分組問題不均勻分組問題分組問題(分堆的，與次序無關(guān))分配問題(分人的，與次序有關(guān))（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；練習(xí)：（1）將四個(gè)不同的小球分給甲、乙兩人，每人兩個(gè)，有多少分法？（2）將四個(gè)不同的小球分成兩組，每組兩個(gè)，有多少種分法？（3）將四個(gè)小球分成兩組，一組三個(gè)，一組一個(gè)，有多少分法？（4）將四個(gè)小球分給甲乙兩人，一人三個(gè)，一人一個(gè)，有多少分法？練習(xí):4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放到盒子中（1）共有多少種放法（2）恰有一個(gè)盒子不放球共有多少種放法？例5、有10個(gè)三好生名額，分配到高三年級(jí)6個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，共有多少種不同的分配方案？變式：有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，將20個(gè)完全相同的小球放在盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則共有多少種不同的分配方案？五、相同元素分配問題（名額問題）隔板法：待分元素相同，去處不同，每處至少一個(gè)。六、先組后排例6、從6名男生和4名女生中，選出3名男生和2名女生分別承擔(dān)A,B,C,D,E五項(xiàng)工作，一共有多少種不同的分配方法？歸納：選排問題先取后排。對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，一般解法是先取(組合)后排(排列)。練習(xí)

6個(gè)學(xué)生中選出3人，另外從3名教師中選出2人，排成一排照相，有幾種不同的排法？變題1、上題中的2名教師不排在一起的排法有幾種？變題2、上題中的2名教師連排，而學(xué)生也連排，有幾種排法？插空法捆綁法例7:身高互不相同的7名運(yùn)動(dòng)員站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有多少種？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？

按指定的一種順序排列的問題，實(shí)質(zhì)是組合問題。練習(xí)：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法有多少？例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求滿足以下條件的各有幾種取法？(1)4只鞋子沒有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙小結(jié)：解條件限制下的問題與排列問題類似有二種常用方法，即直接法與間接法；解