分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)專講精研】 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理高一年級(jí)—人教A版—數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章導(dǎo)新知導(dǎo)入

用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？分析:因?yàn)榇髮懹⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36個(gè)不同的號(hào)碼.

導(dǎo)新知導(dǎo)入從甲地到乙地，可以乘火車或乘汽車或乘輪船.其中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班.那么從甲地到乙地共有多少種不同的方法?分析:從甲地到乙地可以乘火車（4班）、乘汽車（2班）、乘輪船（3班），所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的方法.

導(dǎo)新知導(dǎo)入思考：你能說出上述兩個(gè)問題有什么共同特征嗎？回答：要完成上述兩件事情（給座位編號(hào)、從甲地到乙地），都有不同的方案（每種方案包含多種方法）可以獨(dú)立完成需求.思考：你能舉出生活中類似的例子嗎？一個(gè)班學(xué)生站成一排照相，有多少不同的站法.學(xué)校食堂打菜，總共5個(gè)菜，每人選3個(gè)不同的菜，有多少種不同的選擇.探究評(píng)分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：

每類中的任意一種方法都能獨(dú)立完成這件事情.N=m+n

種不同的方法探究評(píng)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能獨(dú)立完成這件事.(

)×√探究評(píng)例1在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？探究評(píng)

解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9探究評(píng)思考：如果完成一件事有三類不同方案，每類方案中又分別有m,n,k種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事有n類不同方案.在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？答：N=m1+m2+……+mn探究評(píng)用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，...，A9，B1，B2，...的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？思考：該問題與前一個(gè)問題有什么區(qū)別？答：該問題中，要完成編號(hào)，既要有大寫英文字母，又要有阿拉伯?dāng)?shù)字，只有兩者同時(shí)存在，才能完成座位編號(hào)；上一問題中，只要有英文字母或者數(shù)字中的一個(gè)即可完成座位編號(hào).探究評(píng)字母數(shù)字得到的號(hào)碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

解析:由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9＝54種不同的號(hào)碼.探究評(píng)思考：你能說出上述問題有什么特征嗎？答：要完成上述事情，既要找出大寫英文字母又要找到阿拉伯?dāng)?shù)字，然后結(jié)合這兩步才能將這件事最終完成.探究評(píng)完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事情.分步乘法計(jì)數(shù)原理N=m×n種不同的方法探究評(píng)(1)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)×√探究評(píng)例2某班有男生30名，女生24名，從中選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？解：第一步，從30名男生中選出1名，有30種不同選法；第二步，從24名女生中選出1名，有24種不同選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法．探究評(píng)例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?解：從書架上任取1本書，有三種方案：第一種方案從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第二種方案從第2層取1本文藝書，有3種方法；第三種方案從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+3+2=9種.探究評(píng)(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?解：分3步完成：第1步，從第1層取,1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第,2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第,3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2=24種.探究評(píng)1、完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種2、我校教學(xué)樓共有5層，每層均有2個(gè)樓梯，由一樓到五樓共有（）種走法A．10種 B．16種 C．25種 D．32種CB探究評(píng)3、某公司利用業(yè)余時(shí)間開設(shè)太極、書法、繪畫三個(gè)培訓(xùn)班，甲、乙、丙、丁四人報(bào)名參加，每人只報(bào)名參加一項(xiàng)，且甲、乙不參加同一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法種數(shù)為_____________.544、現(xiàn)有5種不同的顏色要對(duì)圖形中(如圖)的四個(gè)部分涂色,要求有公共邊的兩部分不能用同一顏色,則不同的涂色方法有____

種.180探究評(píng)5、現(xiàn)某學(xué)校共有34人自愿組成數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，其中高一年級(jí)13人，高二年級(jí)12人,高三年級(jí)9人.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2)每個(gè)年級(jí)選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？答：13×12×9＝1404（種）探究評(píng)(3)選兩人作為代表,要求這兩人來自不同的年級(jí)，有多少種不同的選法？答：分三種情況討論：①若選出的是高一、高二學(xué)生，有13×12＝156種情況；②若選出的是高一、高三學(xué)生，有13×9＝117種情況；③若選出的是高二、高三學(xué)生，有12×9＝108種情況；由分類加法原理可得，共有156+117+108＝381種選法.探究評(píng)6、（2020全國高三模擬）某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如下表所示，現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.乘坐站數(shù)0<x≤33<x≤66<x≤9票價(jià)（元）234探究評(píng)（1）若小華、小李兩人共付費(fèi)5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？答：小華、小李兩人共付費(fèi)5元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)3元，付費(fèi)2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費(fèi)3元的乘坐站數(shù)有4，5，6三種選擇.如果小華付費(fèi)2元，小李付費(fèi)3元，有3+3=6種方案；如果小李付費(fèi)2元，小華付費(fèi)3元，也有3+3=6種方案.所以小華、小李下地鐵的方案共有6+6=12種.探究評(píng)（2）若小華、小李兩人共付費(fèi)6元，求小華比小李先下地鐵的方案共有多少種？答：小華、小李兩人共付費(fèi)6元，所以小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元或兩人都付費(fèi)3元.①如果小華、小李一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，且要滿足小華比小李先下地鐵，只能是小華付費(fèi)2元（乘坐站數(shù)有1，2，3三種方法），小李付費(fèi)4元（乘坐