卡平方測(cè)驗(yàn)完整版

卡平方（c2）測(cè)驗(yàn)——應(yīng)用于次數(shù)資料的一種顯著性檢驗(yàn)方法1.1卡平方（c2

）定義n個(gè)獨(dú)立的正態(tài)離差u1、u2、…、un的平方和定義為c2。1卡平方(χ2)的定義與分布yi可以不來(lái)自同一個(gè)正態(tài)總體若來(lái)自同一個(gè)總體，則μi=μ,σi=σ。1.1卡平方（c2

）定義當(dāng)所研究的總體μ不知，可以用樣本平均數(shù)代替，則1.1卡平方（c2

）定義若從正態(tài)總體中抽取無(wú)數(shù)個(gè)樣本，就可形成c2值的概率分布，稱(chēng)為c2分布(chisquaredistribution)其概率密度函數(shù)為:c2累積分布函數(shù)c2分布曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)軸所圍成的面積等于11.2卡平方（c2

）分布密度函數(shù)1.3卡平方（c2

）分布特點(diǎn)0246810120.00.10.20.30.40.5c2分布的取值范圍為[0，+

);c2的分布為連續(xù)性分布，而不是間斷性的；

c2分布曲線(xiàn)是一組曲線(xiàn)。每一個(gè)不同的自由度都有一條相應(yīng)的c2分布曲線(xiàn)。

2分布的形狀與樣本大小及理論比例無(wú)關(guān)；c2分布的形狀決定于自由度df,df增大，漸趨正態(tài)。不同自由度的c2分布曲線(xiàn)c2的分布為偏正態(tài)分布英國(guó)卡爾·皮爾遜(KarlPearson,1857～1936)在1899年提出卡平方（c2）以度量觀察次數(shù)和理論次數(shù)的相差程度。在屬性統(tǒng)計(jì)中它是表示實(shí)際值與理論值差異相對(duì)大小的統(tǒng)計(jì)數(shù)。根據(jù)卡平方值的大小來(lái)檢驗(yàn)差異顯著性的方法，稱(chēng)為卡平方測(cè)驗(yàn)。根據(jù)c2定義，從屬性性狀的分布推導(dǎo)出次數(shù)資料分析的c2公式：自由度以分組資料數(shù)其相互獨(dú)立的程度決定1.4卡平方（c2

）-次數(shù)資料1.5χ2測(cè)驗(yàn)的矯正次數(shù)資料是間斷性的而卡平方分布則是連續(xù)性分布為了使間斷性的計(jì)算結(jié)果適合于連續(xù)性分布給出的概率，一般要進(jìn)行連續(xù)性矯正，尤其在自由度為1時(shí)更應(yīng)該：卡平方的基本概念定義:概率密度函數(shù):次數(shù)資料:累積分布函數(shù):附表52適合性測(cè)驗(yàn)2.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法適合性測(cè)驗(yàn)(testforgoodness-of-fit):比較實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論假設(shè)是否符合的假設(shè)測(cè)驗(yàn)計(jì)數(shù)資料作用：測(cè)驗(yàn)實(shí)際結(jié)果與理論比例是否符合測(cè)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否符合某一理論分布2.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法步驟：設(shè)立無(wú)效假設(shè)H0，即觀察次數(shù)與理論次數(shù)是由誤差引起；和備用假設(shè)，HA。確定顯著水平α=0.05或0.01在無(wú)效假設(shè)下，計(jì)算χ2，試驗(yàn)觀察的χ2越大，觀察值和理論次數(shù)之間相差程度也愈大，兩者相符合的概率就愈小；根據(jù)χ2和χ2

α，υ值作出推斷。χ2>χ2

α，υ,否定H0。若χ2(或χc2)＜χ0.05，P＞0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類(lèi)別分配符合已知屬性類(lèi)別分配的理論或?qū)W說(shuō)；若χ0.05≤χ2(或χc2)＜χ0.01

，0.01＜P≤0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異顯著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類(lèi)別分配不符合已知屬性類(lèi)別分配的理論或?qū)W說(shuō)；若χ2(或χc2)≥

χ0.01

，P≤0.01，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異極顯著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類(lèi)別分配極顯著地不符合已知屬性類(lèi)別分配的理論或?qū)W說(shuō)。

2.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法碘反應(yīng)觀察次數(shù)(O)理論次數(shù)(E)O-E(O-E)2/E藍(lán)色3437(O1)3459.5(E1)-22.50.1463非藍(lán)色3482(O2)3459.5(E2)+22.50.1463總數(shù)6919691900.2926玉米花粉粒碘反應(yīng)觀察次數(shù)與理論次數(shù)設(shè)立無(wú)效假設(shè)，即假設(shè)觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差異由抽樣誤差所引起。本例H0：花粉粒碘反應(yīng)比例為1:1與HA：花粉粒碘反應(yīng)比例不成1:12.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法確定顯著水平α=0.05。在無(wú)效假設(shè)為正確的假設(shè)下，計(jì)算超過(guò)觀察χ2值的概率。試驗(yàn)觀察的χ2值愈大，觀察次數(shù)與理論次數(shù)之間相差程度也愈大，兩者相符的概率就愈小2.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法依所得概率值的大小，接受或否定無(wú)效假設(shè)若使得，則H0被否定。若使得肯定H02.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法查附表5，當(dāng)ν=k-1=2-1=1時(shí)，，實(shí)得χ2=0.2798小于

所以接受H0。即認(rèn)為觀察次數(shù)與理論次數(shù)相符，接受玉米F1代花粉粒碘反應(yīng)比率為1:1的假設(shè)。

項(xiàng)目觀察次數(shù)O理論次數(shù)EO-E(O-E)2(O-E)2/E發(fā)芽不發(fā)芽總數(shù)4267450045050500－24＋245765761.2811.5212.802.1適合性χ2測(cè)驗(yàn)的方法EXCEL函數(shù)CHITEST函數(shù)CHITEST返回(χ2)分布的統(tǒng)計(jì)值及相應(yīng)的自由度?？梢允褂?χ2)檢驗(yàn)確定假設(shè)值是否被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)CHITEST(actual_range,expected_range)

Actual_range

為包含觀察值的數(shù)據(jù)區(qū)域，將和期望值作比較Expected_range

為包含行列匯總的乘積與總計(jì)值之比率的數(shù)據(jù)區(qū)域。2.2各種遺傳分離比例的 適合性測(cè)驗(yàn)2.2各種遺傳分離比例的適合性測(cè)驗(yàn)【例】孟德?tīng)?1865)將黃子葉飽滿(mǎn)豌豆與綠子葉皺縮豌豆雜交，F(xiàn)2代觀察556株，黃子葉飽滿(mǎn)315株，黃子葉皺縮101株，綠子葉飽滿(mǎn)108株，綠子葉皺縮32株。試測(cè)驗(yàn)F2代的分離是否符合9:3:3:1的理論比率。次數(shù)黃子葉飽滿(mǎn)黃子葉皺縮綠子葉飽滿(mǎn)綠子葉皺縮實(shí)際次數(shù)31510110832理論次數(shù)312.75104.25104.2534.752.2各種遺傳分離比例的適合性測(cè)驗(yàn)假設(shè)：H0：F2代的分離符合9:3:3:1的理論比率；HA：F2代的分離不符合9:3:3:1的理論比率。顯著水平：a=0.05；χ2

0.05，3＝81χ2<χ2

0.05，3,所以接受H0，即F2代的分離符合9:3:3:1的理論比率2.2各種遺傳分離比例的適合性測(cè)驗(yàn)應(yīng)用χ2測(cè)驗(yàn)進(jìn)行分離比例適合性測(cè)驗(yàn)只能推論實(shí)際分離比與某種理論分離比的相符性有時(shí)一種實(shí)際分離比可以符合兩種理論分離比例所以由表型分離比推測(cè)其基因數(shù)及基因作用性質(zhì)，要十分小心一般不僅看一個(gè)表型分離比率，還要看從其他世代的表型分離比及基因型分離比作出綜合判斷2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)測(cè)驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的次數(shù)分布是否符合某種理論分布（如二項(xiàng)分布，正態(tài)分布），以推斷實(shí)際的次數(shù)分布究竟屬于哪一種分布類(lèi)型。因此要觀察所得次數(shù)分布是否符合某種理論分布，首先須提出理論分布的可能類(lèi)型；按照理論分布計(jì)算出理論頻率（概率）后計(jì)算理論觀察次數(shù)（總次數(shù)×理論頻率）根據(jù)實(shí)際觀察次數(shù)和理論次數(shù)計(jì)算χ2或χc2，后作出推斷2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)例：大豆品種R田間考察單株產(chǎn)量得到次數(shù)分布表如下，是驗(yàn)證其產(chǎn)量觀察分布是否符合正態(tài)分布？2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)測(cè)驗(yàn)過(guò)程假設(shè)：H0:大豆單株粒重分布符合正態(tài)分布；

HA:不符合正態(tài)分布。顯著水平α=0.05,χ2

0.05，11=19.68計(jì)算χ2

根據(jù)正態(tài)分布概率計(jì)算，首先計(jì)算理論概率P然后根據(jù)理論概率P和總觀察次數(shù)n計(jì)算各組限的理論次數(shù)。2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)計(jì)算各組限理論概率P2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)理論次數(shù)的計(jì)算理論次數(shù)=總次數(shù)(229)×理論頻率P2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)χ2的計(jì)算已知χ2

0.05，11=19.68>χ2

，所以接受H0，即大豆單株粒重分布符合正態(tài)分布。2.3次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)χ2用于進(jìn)行次數(shù)分布的適合性測(cè)驗(yàn)時(shí)，有一定的近似性，為使這類(lèi)測(cè)驗(yàn)更確切，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：總觀察次數(shù)n應(yīng)該足夠大，一般不少于50；分組數(shù)最好在5組以上；每組內(nèi)的理論次數(shù)不宜太少，至少為5，若組理論次數(shù)少于5，最好將相鄰組的次數(shù)合并為一組3

獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)3

獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)(testforindependence)主要為探求兩個(gè)變數(shù)間是否獨(dú)立這是次數(shù)資料的一種相關(guān)性研究。3

獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)(testforindependence)計(jì)算過(guò)程:將所得次數(shù)資料按兩個(gè)變數(shù)作兩向分組，排列成相依表根據(jù)兩個(gè)變數(shù)相互獨(dú)立的假設(shè)，算出每一組格的理論次數(shù)由算得值3

獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)(testforindependence)H0：兩個(gè)變數(shù)相互獨(dú)立；HA：兩個(gè)變數(shù)彼此相關(guān)自由度DF＝（r-1）(c-1)當(dāng)觀察的χ2<時(shí)，接受H0，即兩個(gè)變數(shù)相互獨(dú)立當(dāng)觀察的χ2≥

時(shí)，否定H0，即兩個(gè)變數(shù)彼此相關(guān)3.12×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)2×2相依表指橫行和縱行皆分為兩組的資料其ν=(2-1)(2-1)=1計(jì)算的χ2值需作連續(xù)性矯正a11a12R1a21a22R2C1C2n表82×2表的一般化形式3.12×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)調(diào)查經(jīng)過(guò)種子滅菌處理與未經(jīng)種子滅菌處理的小麥發(fā)生散黑穗病的穗數(shù)，得相依表如下，試分析種子滅菌與否和散黑穗病穗多少是否有關(guān)處理項(xiàng)目發(fā)病穗數(shù)未發(fā)病穗數(shù)總數(shù)種子滅菌26(34.7)50(41.3)76種子未滅菌184(175.3)200(208.7)384總數(shù)2102504603.12×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)H0：種子滅菌與否和散黑穗病病穗多少無(wú) 關(guān)；HA：種子滅菌與否和散黑穗病病穗 多少有關(guān)。顯著水平α=0.05。測(cè)驗(yàn)計(jì)算3.12×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)在H0為正確的假設(shè)下對(duì)于11細(xì)格，由于它是屬于種子滅菌的，故種子作滅菌處理的概率為76/460它又是屬于發(fā)病穗數(shù)的，發(fā)病穗數(shù)的概率為210/460因此，任一經(jīng)種子作滅菌處理而又發(fā)病的麥穗的概率為p11=(76/460)×(210/460)，3.12×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)因此格子11的理論次數(shù)為：E11=p11×n=(76/460)×(210/460)×460=34.7用同樣的方法算出其余格子的理論次數(shù)ν=(2-1)(2-1)=13.12×2表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)查附表6，現(xiàn)實(shí)得故P<0.05，否定H0即種子滅菌與否和散黑穗病發(fā)病高低有關(guān)，種子滅菌對(duì)防治小麥散黑穗病有一定效果3.22×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)2×c表是指橫行分為兩組，縱行分為c≥3組的相依表資料其ν=(2-1)(c-1)>1，故無(wú)需作連續(xù)性矯正橫行因素縱行因素總計(jì)12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2總計(jì)C1C2…Ci…Ccn2×C表的一般化形式3.22×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)例:進(jìn)行大豆等位酶Aph的電泳分析，193份野生大豆、223份栽培大豆等位基因型的次數(shù)列于下表，試分析大豆Aph等位酶的等位基因頻率是否因物種而不同。物種等位基因總計(jì)123野生大豆29(23.66)68(123.87)96(45.47)193栽培大豆22(234)199(143.13)2(52.53)223總計(jì)51267984163.22×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0：等位基因頻率與物種無(wú)關(guān)

HA：不同物種等位基因頻率不同顯著水平α=0.05否定H0，接受HA。不同物種Aph等位基因頻率有顯著相關(guān)3.3r×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)若橫行分r組，縱行分c組，且r≥3，c≥3，則為r×c相依表其ν=(r-1)(c-1)橫行因素縱行因素總計(jì)12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2jaj1aj2…aji…ajcRjrar1ar2…ari…arcRr總計(jì)C1C2…Ci…Ccnr×c表的一般化形式3.3r×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)例:下表為不同灌溉方式下水稻葉片衰老情況的調(diào)查資料。試測(cè)驗(yàn)稻葉衰老情況是否與灌溉方式有關(guān)。灌溉方式綠葉數(shù)黃葉數(shù)枯葉數(shù)總計(jì)深水146(140.69)7(8.78)7(10.53)160淺水183(180.26)8(11.24)13(13.49)205濕潤(rùn)152(160.04)14(9.98)16(11.98)182總計(jì)48130365473.3r×c表的獨(dú)立性測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0：稻葉衰老情況與灌溉方式無(wú)關(guān)；對(duì)HA：稻葉衰老情況與灌溉方式無(wú)關(guān)取α=0.05接受H0：不同的灌溉方式對(duì)水稻葉片的衰老情況沒(méi)有顯著影響4的可加性和聯(lián)合分析4的可加性和聯(lián)合分析[例11]表13給出三個(gè)大豆組合F3家系世代對(duì)豆稈黑潛蠅抗性家系與感性家系的分離數(shù)據(jù)，每一家系由1個(gè)F2單株衍生，抗性家系中包括有全抗家系及抗感分離的家系。經(jīng)對(duì)三個(gè)組合分別的測(cè)驗(yàn)，均符合3抗∶1感理論分離比例。現(xiàn)要求進(jìn)一步檢測(cè)三組合綜合起來(lái)是否符合3∶1分離比例，三組合間是否一致符合3∶1分離比例，或三組合是否具同質(zhì)性。組合母本P1父本P2F3POE江寧剌文豆

×邗江秋稻黃乙抗2007375Ⅰ感02027250.210.120.50～0.75合計(jì)2020100100無(wú)錫長(zhǎng)箕光甲

×邳縣天鵝蛋抗2006268.25Ⅱ感0202922.752.291.940.10～0.25合計(jì)20209191邳縣天鵝蛋

×南農(nóng)1138-2抗0209095.25Ⅲ感2003731.751.160.960.25～0.50合計(jì)2020127127三組合綜合抗225238.53.062.830.05～0.10感9379.5合計(jì)318318三組合累計(jì)3.66三個(gè)大豆組合F3家系世代對(duì)豆稈黑潛蠅抗性的分離數(shù)據(jù)(理論分離比為3抗∶1感）

H0：三組合綜合起來(lái)符合3抗∶1感分離比例，HA：綜合群體不符合3∶1分離比例及H0：三組合的分離比表現(xiàn)同質(zhì)，一致為3∶1，HA：三組合分離比例不同質(zhì)。

要測(cè)驗(yàn)上列假設(shè)，必須計(jì)算出相應(yīng)的值因?yàn)椴痪呖杉有裕挥兄稻哂锌杉有浴?的可加性和聯(lián)合分析三個(gè)組合綜合為一群體時(shí)的值，或稱(chēng)為=3.06，亦具1個(gè)自由度根據(jù)其概率為0.05～0.10，可推論三合一的群體總的分離比例亦符合3∶1。4的可加性和聯(lián)合分析三組合各的總和=3.66，具有3個(gè)自由度若將這3個(gè)自由度分解1個(gè)歸屬于三組合間的共性

2個(gè)歸屬于三組合間的個(gè)性，

可用以測(cè)驗(yàn)第二個(gè)無(wú)效假設(shè)，三個(gè)組合的同質(zhì)性4的可加性和聯(lián)合分析三個(gè)組合的同質(zhì)性

=0.60,時(shí)P=0.50～0.75說(shuō)明符合同質(zhì)性假設(shè)的概率甚大，接受此假設(shè)因而三個(gè)組合表現(xiàn)一致的3∶1分離比例是確實(shí)的可推論大豆對(duì)豆稈黑潛蠅的抗性是由1對(duì)顯性基因控制的，組合間表現(xiàn)出一致的結(jié)果4的可加性和聯(lián)合分析本例中因試驗(yàn)結(jié)果很一致，因而引出了共同的結(jié)論若各個(gè)的結(jié)果出入較大，與個(gè)別組合的結(jié)果不一致，表現(xiàn)出顯著性，那么將著重分析各組合間的非同質(zhì)性及各組合的特異性4的可加性和聯(lián)合分析2

c2在方差同質(zhì)性測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用一個(gè)樣本方差和總體方差的比較；以及兩個(gè)樣本間方差的比較可以用F測(cè)驗(yàn)；但是多個(gè)樣本間方差的比較必須應(yīng)用c2測(cè)驗(yàn)。一、c2測(cè)驗(yàn)的具體步驟提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)確定顯著水平:確定a=0.05或0.01等。計(jì)算χ2值:由樣本資料和理論假設(shè)計(jì)算推斷，若χ2≤χ2α.df，則p>α，故接受H0；若χ2≥χ2α.df

，則p<α，故否定H0二、一個(gè)樣本方差與給定總體方差比較的假設(shè)測(cè)驗(yàn)測(cè)定單個(gè)樣本方差S2其所代表的總體方差和給定的總體方差是否有顯著差異，簡(jiǎn)稱(chēng)為一個(gè)樣本與給定總體方差的比較。作兩尾測(cè)驗(yàn)有：H0:σ2=C,HA:σ2≠C。當(dāng)χ2>χ2α/2,df

，和χ2<χ2(1-a/2),df

，否定H0作一尾(右尾)測(cè)驗(yàn)時(shí)，H0:σ2≤C,HA:σ2>C。若χ2≥χ2α.df

，否定H0作左尾測(cè)驗(yàn)時(shí)：H0:σ2≥C,HA:σ2<C。若χ2<χ2(1-α).df

，否定H0例：已知某一地區(qū)柑桔（臍橙）多年統(tǒng)計(jì)表明其方差為50kg，現(xiàn)在有