點(diǎn)到平面的距離的幾種求法 人教版

PAGEPAGE1點(diǎn)到平面的距離的幾種求法http://www.DearEDU.com云南會(huì)澤實(shí)驗(yàn)高中方強(qiáng)摘要線面距離及面面距離通常都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離進(jìn)行求解.異面直線的距離也常常須轉(zhuǎn)化為線面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求解.所以點(diǎn)面距離是學(xué)習(xí)其它空間距離的基礎(chǔ).弄清點(diǎn)到平面的距離的概念及理解一些相關(guān)定理是掌握點(diǎn)面距離的前提條件,在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生掌握點(diǎn)面距離與線面距離、面面距離之間的相互轉(zhuǎn)化是教學(xué)的重點(diǎn).關(guān)鍵詞點(diǎn)平面距離AbstractThedistancebetweenalineandaplaneortwoplanesisalwaysturnedintothedistancebtweenapointandaplanetosolve.Thedistancebetweentwotolineswhichareindifferentplanesisalsoneedtobeturendintothedistancebetweenlineandplanes,andthenpointandplanetosolve.sothedistancebetweenpointandplaneisthebasicoflearningotherkindsofspacedistance,Clarifyingtheconceptionofthedistancebetweenpointandplaneandunderstandingsomerelaticetheomsofitarethesuppositionofmasteringthedistancebetweenpointandlane.Duringteachingprocess,itisthefocalpointtoletstudentsmasterthetransformthetransformofdistancesbetweenpointandplane,lineandplane,planeandplane.Keywordspointplanedistance1引言立體幾何中的距離是建立在弄清概念、恰當(dāng)作圖、嚴(yán)格論證的基礎(chǔ)上的.空間中的距離有八種點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩平行直線、兩異面直線、平行平面、平行于平面的直線與該平面、兩點(diǎn)間的球面距離；其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，而異面直線的距離、線面平行的距離一般均可通過(guò)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求.這些知識(shí)點(diǎn)及處理能力均為高考的重要內(nèi)容，因此熟練掌握求點(diǎn)到平面的距離的常用方法是立體幾何中應(yīng)重視的課題.點(diǎn)到平面的距離的求法是研究得比較多的一個(gè)問(wèn)題，也是一個(gè)很陳舊的問(wèn)題，在國(guó)內(nèi)外探索“點(diǎn)面距離求法”通常是建立在定義的基礎(chǔ)之上.通過(guò)一些例題進(jìn)而總結(jié)出一些基本方法.2基本概念從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.這點(diǎn)和垂足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的垂線段.其實(shí)點(diǎn)到平面的距離就是這點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng).例：（如圖1）若PA⊥α于A，則P點(diǎn)到平面α的距離就是線段PA的長(zhǎng)．圖1點(diǎn)到平面的距離有如下三條性質(zhì)：(1)存在性對(duì)于任意一個(gè)平面和這個(gè)平面外任意一點(diǎn)都存在著距離.(2)唯一性一個(gè)平面和平面外一點(diǎn)間的距離是唯一的.(3)最小性平面外一點(diǎn)的距離是這點(diǎn)到這個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)的連接線段長(zhǎng)度的最小值.3例題求解已知ＡＢＣＤ是邊長(zhǎng)為4的正方形，Ｅ、Ｆ分別是ＡＢ、ＡＤ的中點(diǎn)，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求點(diǎn)B到平面ＥＦＧ的距離.3.1直接用定義求點(diǎn)到平面的距離3.1.1解法一：（如圖2）為了作出點(diǎn)B到平面EFG的距離，延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于Ｍ，連結(jié)GM，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，則有ＢＮ∥ＣＧ∴ＢＮ⊥平面ABCD∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM于P∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足為Ｑ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是點(diǎn)Ｂ到平面EFG的距離易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝，在中3.1.2不直接作出所求距離間接求之

(1)圖3引理1：（如圖3）若二面角的大小為α，，，點(diǎn)Ａ到平面Ｎ的距離ＡＯ＝ｄ，則有（1）其中的α也就是二面角的大小，而并不強(qiáng)求要作出經(jīng)過(guò)ＡＢ的二面角的平面角.解法二：（如圖4）過(guò)點(diǎn)Ｂ作，交ＦＥ的延長(zhǎng)線于Ｐ，易知，這就是點(diǎn)Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距離．連結(jié)ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，連結(jié)ＧＨ圖4易證∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ＧＣ＝２，ＡＣ＝，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝，ＧＨ＝∴，于是由（1）得所求之距離(2)利用斜線和平面所成的角圖5引理2（如圖5）OP為平面α的一條斜線，，，OP與α所成的角為θ，Ａ到平面α的距離為ｄ，則有（2）注：經(jīng)過(guò)OP與α垂直的平面與α相交，交線與OP所成的銳角就是θ，這里并不強(qiáng)求要作出點(diǎn)Ａ在α上的射影Ｂ，連結(jié)OB得θ．解法三：（如圖6），設(shè)Ｍ為ＦＥ與ＣＢ的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，作，Ｒ為垂足．圖6又∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ又ＥＲ為它們的交線∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ與平面ＥＦＧ所成的角θ由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得，在Ｒｔ△ＲＥＢ中于是由（2）得所求之距離（3）利用三棱錐的體積公式解法四：（如圖7）設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為d,連結(jié)BF，則有體積關(guān)系：圖7連結(jié)BF，則，于是有，3.1.3利用點(diǎn)到平面的距離公式引理3(如圖8)PO為平面的垂線段，PA為斜線段，是平面的法向量，則有：圖8證明：又即：解法五：（如圖9）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為X軸，DC所在直線為Y軸，CG所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)B（4，0，0），則E（4，-2，0），F(xiàn)（2，-4，0），G（0，0，2），從而有（0，-2，0），（4，-2，-2）圖9（2，-4，-2）設(shè)=（X，Y，Z）為平面EFG的法向量，則由，有，即2X-4Y-2Z=0，有，即4X-2Y-2Z=0得X=-Y而，故得=（）.故點(diǎn)B到平面DEF的距離3.2不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)間接確定點(diǎn)到平面的距離(1)利用直線到平面的距離確定解法六（如圖10）連結(jié)BD，AC，EF.BD分別交EF于H,O.因?yàn)锳BCD是正方形.E,F分別為AB和AD的中點(diǎn),故EF//BD,H為AO的中點(diǎn)圖10∴BD//平面EFGBD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離平面ABCD平面HCG∴面EFG面HCG,HGS是這兩個(gè)垂直平面的交線作OKHG交HG于點(diǎn)K,由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK平面EFG∴線段OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面EFG的距離 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,GC=2 AC=,HO=,HC=∴在中 ∴(2)利用平行平面的距離確定解法七(如圖11)把平面EFG補(bǔ)成一個(gè)正四棱柱的截面所在的平面.則面GMT是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1經(jīng)過(guò)F、E、G的截面所在的平面.MG交BB1于N，TG交DD1于Q.作BP//MG，交CG于P，連結(jié)DP.則有平面GTM//平面PDB它們之間的距離就是所求之距離.于是可以把點(diǎn)B平移到平面PDB上任何一個(gè)位置.而這兩個(gè)平行平面的距離d又同三棱柱GQN—PDB的體積有關(guān)，所以可以利用三棱柱的體積確定所求之距離.則有三棱柱GQN—PDB的體積V的關(guān)系式：（3）圖11易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=BD=，，由關(guān)系式（3）可得于是平行平面間的距離即點(diǎn)B到面EFG的距離為4方法總結(jié)求點(diǎn)到平面的距離的常用方法有：(1)定義法過(guò)平面外一點(diǎn)作平面的垂線，直接求出這點(diǎn)到垂足的距離.（2）射影定位法根據(jù)已知條件，確定平面外一點(diǎn)在平面內(nèi)射影的位置.再求這兩點(diǎn)的距離.(3)轉(zhuǎn)化法通常情況下求點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為下面三種形式10點(diǎn)線距離在平面內(nèi)找出（或作出）一條直線使平面外的點(diǎn)和這條直線所確定的新平面和原平面垂直，則這點(diǎn)到這條直線的距離.即為點(diǎn)到平面的距離.20線面距離若能夠找出過(guò)一點(diǎn)的一條直線與平面平行，則這條直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.30面面距離過(guò)平面外一點(diǎn)作出一個(gè)平面和已知平面平行，則這兩平行平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.(4)等體積法將點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)幾何體的高，又能夠容易求出這個(gè)幾何體的體積及高所對(duì)的底面面積.則可求出點(diǎn)到平面的距離.（5）公式法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，能夠確定平面的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).運(yùn)用點(diǎn)到平面的距離公式即可求出距離.參考文獻(xiàn)[1]聶文喜,周家山.點(diǎn)到平面距離的求解策略[J].數(shù)學(xué)通訊,2004.6:12~13[2]優(yōu)奮強(qiáng).點(diǎn)到平面的距離[J].數(shù)學(xué)通訊,1996.10:1~3.[3]李惠珠.從點(diǎn)到平面的距離談發(fā)散性思維[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004.7:11~13.[4]朱宏志.點(diǎn)面距離兩面觀[J].新疆石油教育學(xué)院學(xué)報(bào),