熱傳導和擴散問題的傅里葉解

第八章熱傳導方程的傅里葉解第一節(jié)熱傳導方程和擴散方程的建立8.1.1熱傳導方程的建立推導熱傳導方程和前面弦振動所用的數(shù)學辦法完全相用，不同之處在于具體的物理規(guī)律不同。這里用到的是熱學方面的兩個基本規(guī)律，即能量守恒和熱傳導的傅里葉實驗定律。熱傳導的傅里葉實驗定律：設(shè)有一塊持續(xù)的介質(zhì)，選定一定的坐標系，并用表達介質(zhì)內(nèi)空間坐標為的一點在t時刻的溫度。若沿x方向有一定的溫度差，在x方向也就一定有熱量的傳遞。從宏觀上看，單位時間內(nèi)通過垂直x方向的單位面積的熱量q與溫度的沿x方向的空間變化率成正比，即（8-1.1）q稱為熱流密度，k稱為導熱系數(shù)。公式中的負號表達熱流的方向和溫度變化的方向正好相反，即熱量由高溫流向低溫。研究三維各向同性介質(zhì)中的熱傳導，在介質(zhì)中三個方向上存在溫度差，則有，，或即熱流密度矢量與溫度梯度成正比。下面以一維均勻細桿為例，根據(jù)傅里葉實驗定律和能量守恒定律推導介質(zhì)中的熱傳導方程。第一步，定變量。研究介質(zhì)x位置處在t時刻的溫度。第二步，取局部。在介質(zhì)內(nèi)部隔離出從x到一段微元長度，在t屆時間內(nèi)溫度的變化。第三步，立假設(shè)。假設(shè)均勻介質(zhì)的橫截面積為A，質(zhì)量密度為，比熱為c，熱傳導系數(shù)為k。第四步，找規(guī)律。隔離出來的微元長度在t屆時間內(nèi)吸取的熱量為：（8-1.2）在t屆時間內(nèi)，同過x位置處的橫截面的熱量為：（8-1.3）在t屆時間內(nèi)，同過位置處的橫截面的熱量為：（8-1.4）如果在微元段內(nèi)有其它的熱源，假設(shè)在單位時間單位體積內(nèi)產(chǎn)生的熱量為，則該熱源在微元內(nèi)產(chǎn)生的熱量為：（8-1.5）第五步，列方程。根據(jù)能量守恒定律，凈流入的熱量應(yīng)當?shù)扔诮橘|(zhì)在此時間內(nèi)溫度升高所需要的熱量。即得到：令，則得到熱傳導方程為（8-1.6）當介質(zhì)內(nèi)部無其它熱源時，熱傳導方程是齊次的，為（8-1.7）8.1.2擴散方程的建立擴散問題研究的是雜質(zhì)在其它介質(zhì)中的濃度分布，得到的擴散方程與熱傳導方程有完全同樣的形式。過程略。8.1.3熱傳導問題的定解條件與弦的振動同樣，其定解條件涉及邊界條件和初始條件。初始條件為：已知初始時刻細桿上各點的溫度分布其邊界條件有三種：第一邊界條件：已知細桿端點的溫度或者。第二邊界條件：已知通過端點的熱量，即已知端點的。例如：當介質(zhì)x=0端和外界絕熱，此時。第三邊界條件：例如，已知端點x=l與某種介質(zhì)按熱傳導中的牛頓實驗定律進行著熱量交換，已知端點的溫度為，與其接觸的介質(zhì)的溫度為，有牛頓實驗定律懂得：在單位時間內(nèi)由端點x=l流入介質(zhì)的熱量為由傅里葉實驗定律可知，在單位時間內(nèi)，端點x=l流出熱量為：由，就能夠得出第三邊界條件為其中，k為熱傳導系數(shù)，h為熱交換系數(shù)。第二節(jié)混合問題的傅里葉解8.2.1混合問題的解對于有界桿的熱傳導問題，我們先考慮齊次方程和齊次邊界條件下的混合問題。即：第一步,分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。令將此代入泛定方程（8-2.1），得到兩個常微分方程：（8-2.4）（8-2.5）第二步，將原來的邊界條件轉(zhuǎn)化為的邊界條件。將此代入邊界條件，得的邊界條件：，（8-2.6）第三步,求解本征值問題通過討論分析得出只有時，方程（8-2.5）的解才故意義。因此，時解（8-2.5）式得.將這個通解代入邊界條件（8-2.6），就有即于是，即.得到本征值：對應(yīng)的本征函數(shù)是：第四步,求特解，并進一步疊加出普通解：對于每一種本征值，解（8-2.5）式得出對應(yīng)的:.得到了滿足偏微分方程和邊界條件的特解:.得到方程的普通解為（8-2.7）第五步,運用本征函數(shù)的正交性擬定疊加系數(shù)：現(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)定出疊加系數(shù)，將上面的普通解代入初始條件，并運用本征函數(shù)的正交性得到系數(shù)為（8-2.8）公式（8-2.7）給出了均勻細桿上溫度場的分布，表明溫度場隨時間做指數(shù)衰減。第三節(jié)初值問題的傅里葉解8.3.1運用傅里葉積分求出熱傳導的初值問題對于無窮長一維介質(zhì)上的熱傳導問題，能夠表達為解：令代入泛定方程（8-3.1），得到兩個常微分方程：（8-3.3）（8-3.4）解式（8-3.3）得到：（8-3.5）由公式（8-3.5）能夠看出：當時，溫度隨時間的變化將趨于無窮大，這與物理事實不符，因此，，令。（8-3.3）和（8-3.4）的解為與有關(guān)系的一系列解，記為（8-3.6）解式（8-3.4）得到：于是得到熱傳導的一系列解為（8-3.7）由于這里的沒有邊界條件的限制，所覺得任意實數(shù)值。則的普通解為公式（8-3.7）對全部值對應(yīng)解的疊加，由于為持續(xù)實數(shù)，因此，的普通解為公式（8-3.7）對從到進行積分。即（8-3.8）把初始條件代入上式得到：（8-3.9）其中傅里葉系數(shù)：（8-3.10）（8-3.11）把公式（8-3.10）與（8-3.11）帶入公式（8.3-9）得到：（8-3.12）運用，得出因此，能夠?qū)憺椋?-3.12）8.3.2熱傳導傅里葉解的物理意義細桿上位置的點熱源在整個細桿上引發(fā)的溫度分布為：解（8-3.12）式能夠看作是由各個瞬時點熱源引發(fā)的溫度分布的疊加。第四節(jié)一端有界的熱傳導問題8.4.1左端有界熱傳導定解問題的解辦法1：直接用分離變量法求解。解：令將此代入泛定方程（8-4.1），得到兩個常微分方程：（8-4.4）（8-4.5）將此代入邊界條件（8-4.2），得到：（8-4.6）解式（8-4.4）得到：（8-4.7）由公式（8-4.7）能夠看出：當時，溫度隨時間的變化將趨于無窮大，這與物理事實不符，因此，，令。（8-4.4）和（8-4.5）的解為與有關(guān)系的一系列解，記為（8-4.8）解式（8-4.5）得到：把邊界條件（8-4.6）代入上式得到：，因此于是得到熱傳導的一系列解為（8-4.9）由于這里的沒有邊界條件的限制，所覺得任意實數(shù)值。則的普通解為公式（8-4.9）對全部值對應(yīng)解的疊加，由于為持續(xù)實數(shù)，因此，的普通解為公式（8-4.9）對從到進行積分。即（8-4.10）把初始條件代入上式得到：（8-4.11）得出：（8-4.12）把公式（8-4.12）帶入公式（8-4.10）得到：（8-4.13）運用，得出因此，能夠?qū)憺椋?-4.14）辦法2：把半無界拓展為無界如何拓展？先看無界熱傳導問題在坐標原點的溫度分布含有什么樣的特點。由第三節(jié)可知，無界熱傳導問題的解為在點，有：當為奇函數(shù)時，滿足第一類齊次邊界條件。當為偶函數(shù)時，滿足第二類齊次邊界條件。因此：（1）當半邊界為第一類齊次邊界條件時，把半無限問題擴展為無限問題為：則其解為把第二項積分變量和區(qū)間變?yōu)?-，則（2）當半邊界為第二類齊次邊界條件時，把半無限問題擴展為無限問題為：則其解為把第二項積分變量和區(qū)間變?yōu)?-，則非齊次偏微分方程的求解齊次偏微分方程和齊次邊界條件在分離法中起著核心的作用：由于方程和邊界條件是齊次的，分離變量法才得以實現(xiàn)。如果定解問題中的方程和邊界條件不是齊次的，尚有無可能應(yīng)用分離變量法呢？在第七章弦的振動問題中針對非齊次邊界條件先要進行齊次化解決，才干用分離變量法已經(jīng)進行了分析闡明。對于非齊次方程的解法在這里詳加分析闡明。例如：強迫振動的定解問題：該弦的振動位移能夠認為是由三部分干擾引發(fā)的：第一部分是由初始位移和初始速度引發(fā)的振動；第二部分是由邊界條件干擾引發(fā)的振動；第三部分是由強迫力干擾引發(fā)的振動。因此，求解上述問題強迫振動問題，能夠轉(zhuǎn)化為求解下面三個定解問題：=1\*ROMANI:=2\*ROMANII:=3\*ROMANIII:設(shè)方程=1\*ROMANI的解為，方程=2\*ROMANII的解為，方程=3\*ROMANIII的解為，則原定解問題的解為以上三個定解問題解的和，即方程=1\*ROMANI直接用分離變量法求解；方程=2\*ROMANII為非齊次邊界條件，先將邊界條件齊次化后用分離變量法求解。下面研究方程=3\*ROMANIII的解法?；窘夥ㄒ粚⑽粗庹归_為本征函數(shù)法該辦法的前提條件是必須懂得對應(yīng)齊次方程的本征函數(shù)，第七章第四節(jié)“非齊次方程的求解”例題用該辦法求解，但最后落腳點還是非齊次常微分方程，非齊次常微分方程的解法用沖量法（基本辦法三）或積分變換法（拉普拉斯變換法或傅里葉變換法）。基本解法二非齊次方程齊次化找出特解令，保持原有的齊次邊界條件不變，使得滿足：則滿足常微分方程的邊值問題：該辦法的核心在于找出特解，合用于比較簡樸的情形。第七章習題第11題、第14題為非齊次方程，其中的自由項比較簡樸，能夠用該辦法求解。第七章第11題：分析：由于方程（1）的非齊次項知識x的函數(shù)，就能夠把特解函數(shù)也取為只是x的函數(shù)，即令其中滿足：（4）式的解兩次積分很容易求出來。求出后，再求的定解問