中考數(shù)學(xué)-幾何探究與變換

中考數(shù)學(xué)————幾何探究與應(yīng)用【知識梳理】常見的三種幾何變換、、 如何利用幾何變換解決幾何問題幾何變換的常見圖形模塊一：勾股定理的證明與弦圖的構(gòu)造勾股定理的證明方法：標(biāo)準(zhǔn)驗證：（2）加菲爾德證法（總統(tǒng)法）（3）趙爽勾股圓方圖（二）弦圖例1：已知兩個正方形并列排列，要求剪兩刀（剪的是直線），使之拼成新的正方形。正方形的邊長分別為1和2，請在圖中畫出剪切線正方形邊長為a，b（a＞b），請在圖中畫出切線并標(biāo)出各邊長度若要求剪三刀拼成一個正方形，請在下圖畫出剪切線。例2：在△ABC中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.例3：如圖,已知AD∥BC，,△ABE和△CDE是等腰直角三角形,∠EAB=∠FDC=90°AD=2，BC=5，求四邊形AEDF的面積例4：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，設(shè)∠BCD=α，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DC。當(dāng)α=45°時，求△EAD的面積當(dāng)α=30°時，求△EAD的面積當(dāng)0°＜α＜90°時，猜想△EAD的面積與α大小有無關(guān)系。例5：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，直線l是AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，以腰AB為邊作正方形ABFE，EP⊥l于點(diǎn)P，求證：2EP+AD=2CD。例6在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，M為直角邊AC的中點(diǎn)，AD⊥BM交BC于點(diǎn)D，求證∠BMA=∠CMD（三）“婆羅摩芨多”定理問題：如圖1，以的邊向外作正方形和，連結(jié)，；若，則；(3)若，則.圖1圖2例：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB、CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點(diǎn)M，EP垂直l于點(diǎn)P，F(xiàn)Q垂直l于點(diǎn)Q.求證:EP=FQ模塊二:夾“半角”模型一：正方形中點(diǎn)夾半角已知：正方形ABCD中，∠EAF=45°.求證：（1）BE+DF=EF；（2）△EFC周長等于2倍邊長；例題1：已知∠BAC=45°BD=4，CD=6，求△ABC的面積？【一個基本圖形引發(fā)的多結(jié)論問題】（1）GH=DG+BH（2）（3）（4）∠DGA=∠AGH，∠AHB=∠GHA（5）△AEF∽△AGH∽△DGF∽△BEH（6）（7）AH⊥EG，AG⊥FH（即△AEG，△AFH均為等腰直角三角形）二、“120°”夾半角模型ABCDEF例題2ABCDEF證明：不論E、F怎樣移動，三角形BEF總是正三角形。設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍。三、推廣：一般的夾半角模型條件：△條件：△ABC是等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°∠MDN=60°結(jié)論：BM+CN=MN△AMN的周長=2倍邊長條件：AB=AD，∠B+∠D=180°，2∠MAN=∠BAD結(jié)論：BM+DN=MN問題變式：已知△ABC為正三角形，D為△ABC的內(nèi)心，E,F分別在邊AB,AC上運(yùn)動且,求證：例題3（1）如圖1，正方形中，分別是邊上的兩點(diǎn)，且，連結(jié)，請寫出之間的熟練關(guān)系并證明；（2）如圖2，中，，為上兩點(diǎn)，且，請寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，在（1）中，若點(diǎn)在延長線上，在延長線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論變化嗎？（4）如圖4，在(2)中若點(diǎn)在的延長線上，其它條件不變，(2)中的結(jié)論還成立嗎？請證明你的結(jié)論；模塊三：旋轉(zhuǎn)變換中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱圖形（倍長中線）90°，旋轉(zhuǎn)90°，造垂直（等腰直角三角形和正方形）60°，旋轉(zhuǎn)60°，造等邊互補(bǔ)角基本條件：邊相等（一）正三角形類型在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖1中的PA、PB、PC三條線段集中于圖2中的一個ΔP'CP中，此時ΔP'AP也為正三角形。（二）正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ΔABP繞B點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖中的PA、PB、PC三條線段集中于圖中的ΔCPP'中，此時ΔBPP'為等腰直角三角形。（三）等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，將ΔAPC繞C點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖中的一個ΔP'CP為等腰直角三角形。（五）正方形中的旋轉(zhuǎn)結(jié)論：（1）△BGC結(jié)論：（1）△BGC≌△DEC（2）BG=DE,BG⊥DE結(jié)論：（1）△BGC≌△DEC（2）BG=DE,BG⊥DE例1.如圖設(shè)P是等邊ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度數(shù)是________例2.如圖P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。例3.如圖，在ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度數(shù)?！締栴}變式】△ABC中，AB=AC，D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，若∠ADB＞∠ADC．求證∠DBC＞∠DCB．例4．已知正方形UNOP,正方形URSL,V,T分別是兩正方形的中心，M,Q分別是NL,PR的中點(diǎn)，求證：四邊形MVQT是正方形?！締栴}變式】已知正方形ABCD，正方形DJHI,正方形HEFG，連結(jié)AG,CE;點(diǎn)K,為AG中點(diǎn)，求證：例題5.已知△CYZ，分別向外作正方形CZAB,正方形ZYXW,正方形YCDE,點(diǎn)F,G,H分別是三正方形中心，連結(jié)GH,CF;求證：GH⊥CF且GH=CF【等邊三角形中的兩個旋轉(zhuǎn)基本圖形及常用結(jié)論】結(jié)論：結(jié)論：（1）△BCE≌△ACD，（2）AD=BE,∠AFB=60△BCM≌△CAN，（3）△MCN為等邊三角形△MCE≌△NCD°（4）MN∥BD(5)CF為∠BFD的角平分線（6）FC+FE=FD結(jié)論：（1）結(jié)論：（1）△BCE≌△ACD（2）AD=BE,∠AFB=60°（3）CF為∠BFD的角平分線例題6.如圖，△中，，以BC為邊的△ABC是等邊三角形，求AP的最大，最小值。AACPB例題7.如圖7-5，例題8.已知：，，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).（1）如圖，當(dāng)∠APB=45°時，求AB及PD的長；（2）當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的大小.例題9、如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCDE，設(shè)正方形的中心為O，連接AO，如果AB=4，AO=2√2，那么AC的長等于（）A、12B、8C、5√3D、6√2模塊四：翻折與平移變換角平分線的應(yīng)用及輔助線做法2、翻折與勾股定理3.平移變換的使用技巧例1、已知等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E，求證：BD=2CE。例2.（1）如圖，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請你判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系。如圖，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問（1）中所得結(jié)論是否依然成立？例題3.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證:＞.例4、如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC邊上任意一點(diǎn)，把正方形沿著GH折疊，使A與E重合，D與D’重合，ED’與邊CD交于點(diǎn)F。當(dāng)點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)時，求⊿ECF的周長連結(jié)AE，AF，求∠EAF的度數(shù)例題5、如圖所示，在中，，為上的一點(diǎn)，且；為上的一點(diǎn)，且．連接、交于點(diǎn)，求證：．例題6.如圖，且共點(diǎn)于，求證：。例題7.在四邊形中，各是的中點(diǎn)，延長與的延長線交于