計3線性代數(shù)及其作用

本章主要內(nèi)容上頁下頁返回引例首頁結(jié)束鈴§1向量與向量組§2向量組的線性相關(guān)性§3向量組的秩§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§5向量空間§1向量與向量組

或aT

(a1

a2

an)

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

其中a稱為列向量(即列矩陣)

aT稱為行向量(即行矩陣)

由數(shù)組a1

a2

an所組成的n維向量可記為上頁下頁鈴結(jié)束返回補充例題首頁(1)列向量用黑體小寫字母a、b、

、

等表示

行向量則用aT、bT、

T、

T等表示

所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時

都當作列向量

或aT

(a1

a2

an)

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

其中a稱為列向量(即列矩陣)

aT稱為行向量(即行矩陣)

由數(shù)組a1

a2

an所組成的n維向量可記為說明下頁(2)分量全為實數(shù)的向量稱為實向量

分量為復數(shù)的向量稱為復向量

或aT

(a1

a2

an)

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

由數(shù)組a1

a2

an所組成的n維向量可記為說明(3)規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)則進行運算

其中a稱為列向量(即列矩陣)

aT稱為行向量(即行矩陣)

下頁向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組

向量舉例

一個m

n矩陣對應一個m維列向量組也對應一個n維行向量組

下頁

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組

向量舉例

一個m

n矩陣對應一個m維列向量組也對應一個n維行向量組

下頁

向量

n個有次序的數(shù)a1

a2

an所組成的數(shù)組稱為n維向量

這n個數(shù)稱為該向量的n個分量

第i個數(shù)ai稱為第i個分量

向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組

向量舉例

一個m

n矩陣對應一個m維列向量組也對應一個n維行向量組

下頁

今后

由列向量組A

a1

a2

am所構(gòu)成的矩陣簡記為A或(a1

a2

am)

線性組合與線性表示設A

a1

a2

am是一向量組

表達式

k1a1

k2a2

kmam

稱為向量組A的一個線性組合其中k1

k2

km是一組實數(shù)

稱為這線性組合的系數(shù)

如果向量b是向量組A的線性組合b

1a1

2a2

mam

則稱向量b能由向量組A線性表示

下頁

問題:

如何判斷向量b能否由向量組A線性表示？定理1

向量b能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是矩陣A

(a1

a2

am)與矩陣B

(a1

a2

am

b)的秩相等

即R(A)

R(B)

向量b能由向量組A

a1

a2

am線性表示線性方程組b

x1a1

x2a2

xmam

有解R(A)=R(B)分析：

例1

設a1

(1

2

3)T

a2

(0

1

4)T

a3

(2

3

6)T

b

(-1

1

5)T

問：向量b能否由向量組a1

a2

a3線性表示？如能，寫出表示式

設A

(a1

a2

a3)

B

(A

b)

(a1

a2

a3

b)

運用行的初等變知R(A)

R(B)

因此向量b能由向量組a1

a2

a3線性表示

進一步將B化為行最簡形

可得方程(a1

a2

a3)x

b的解為(x1

x2

x3)=(1

2

-1),所以

ba1

2a2-a3.

解

下頁換將矩陣B化為階梯矩陣，

練習：設a1

(1

2

-3，1)T

a2

(5

-5，12

1)T

a3

(1

-3

6，3)T

b

(2，-1

3

4)T

問：向量b能否由向量組a1

a2

a3線性表示？如能，寫出表示式

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁問題:

如何判斷向量組B能否由向量組A

線性表示？等價？

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組B能由向量組A線性表示

則存在矩陣K

(kij)

使

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

下頁注

bj

k1ja1

k2ja1

kmjam(j

1

2

l)

矩陣K稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

定理2

向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是R(A)

R(A

B)

下頁分析:向量組B能由向量組A線性表示存在矩陣X,使得B=AX定理4

矩陣方程AX

B有解的充分必要件是R(A)

R(A

B)

回憶:

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

定理2

向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是R(A)

R(A

B)

下頁分析:R(A)=R(A,B)向量組B能由向量組A線性表示存在矩陣X,使得B=AX

向量組的等價

若向量組B

b1

b2

bl中的每個向量都能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則稱向量組B能由向量組A線性表示

若向量組A與B能相互表示

則稱這兩個向量組等價

定理2

向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示的充分必要條件是R(A)

R(A

B)

推論向量組A

a1

a2

am與向量組B

b1

b2

bl等價的充分必要條件是R(A)

R(B)

R(A

B)

下頁A能由B線性表示分析:R(B)

R(A

B)B能由A線性表示R(A)

R(A

B)R(A)=R(B)

R(A

B)

定理3

設向量組B

b1

b2

bl能由向量組A

a1

a2

am線性表示

則R(b1

b2

bl)

R(a1

a2

am)

證明記A

(a1

a2

am)

B

(b1

b2

bl)

按定理的條件

根據(jù)定理2有R(A)

R(A

B)

而R(B)

R(A

B)

因此R(B)

R(A)

結(jié)束非齊次線性方程組有解或Ax

b

矩陣的秩R(A)

R(A

b)向量的線性表示b

x1a1