水平摩阻和抗剪能力對地基深梁的影響

水平摩阻和抗剪能力對地基深梁的影響

雙參數(shù)地基timoshenko梁診斷與變形彈性底板梁是土木工程的基本組成。對不同基底的eula鉤子的研究非常深入和豐富。但在實踐中經(jīng)常遇到彈性地基梁的局部懸空、梁長較短、梁厚較深、高度局部承載等情況,Essenburg指出應(yīng)考慮梁的剪切變形影響,此時彈性地基梁的剪切變形影響程度受梁剛度和地基剛度比的支配。Winkler地基上Timoshenko梁的剪切變形影響分析有相當(dāng)多的研究成果。由于雙參數(shù)地基考慮了地基的剪切能力,比Winkler地基更加合理,因此研究雙參數(shù)地基Timoshenko梁雙重剪切的問題得到了眾多研究者的關(guān)注[9,10,11,12,13,14]。Onu利用雙撓度理論(將橫向變形分解為彎曲引起的橫向位移和剪切引起的橫向位移),建立了雙參數(shù)地基Timoshenko梁的微分方程解,導(dǎo)出了其有限元剛度,并分析了彈性地基梁和結(jié)構(gòu)-地基的相互作用問題。Chen,Yokoyama等利用雙撓度理論分析了雙參數(shù)地基上Timoshenko梁的振動問題。Shirima分析了不同于傳統(tǒng)意義的兩參數(shù)地基(如Filonenko-Borodich模型、Pasternak模型)Timoshenko梁問題,其核心是考慮了地基水平摩阻的影響,地基梁的剪切變形采用雙撓度理論。談至明分析了Winkler地基上考慮水平摩阻力時的軸向平衡問題,得到了一個6階微分方程,求解相當(dāng)復(fù)雜。朱伯芳將地基對梁的約束分為4種,分析了彈性地基梁中溫度的影響,其核心是考慮地基對梁的水平約束。趙明華等基于傳統(tǒng)Winkler彈性地基梁理論,考慮地基的水平摩阻,建立了彈性地基梁的非線性分析方法,并應(yīng)用于土工格室加筋體受力分析。本文考慮地基對梁的水平摩阻影響、地基抗剪能力和梁剪切變形的雙重剪切影響,采用經(jīng)典的Timoshenko梁理論,分析雙參數(shù)地基Timoshenko梁彎曲問題,建立初參數(shù)解、傳遞矩陣法和有限元,為此類問題提供計算方法。1雙參數(shù)地基timoshenko梁模型彈性地基梁在彎曲變形時,梁一般繞其中性軸轉(zhuǎn)動,造成梁底相對于地基有一定的水平變形,如果地基與梁間的摩阻較強,將對梁有水平約束作用。如圖1所示,設(shè)梁底寬為b、地基與梁底的摩阻系數(shù)為τ,梁截面轉(zhuǎn)動角為ψ,梁中性軸距底邊為yx,梁底相對滑動為yx·ψ。地基水平摩阻對梁中性軸產(chǎn)生的分布彎矩為:mD=pyx=bτy2x2xψ=Rψ(1)式中:R為地基水平勁度系數(shù)。雙參數(shù)地基對梁的豎向反力為:Ρ=kbw-tb?2w?x2=Κw-Τ?2w?x2(2)P=kbw?tb?2w?x2=Kw?T?2w?x2(2)考慮水平摩阻的影響,根據(jù)Timoshenko二廣義位移梁理論,雙參數(shù)地基Timoshenko梁的平衡方程為:{-ddx[C?(dwdx-ψ)]+Κw-Τ?2w?x2=q-ddx(D?dψdx)-C?(dwdx-ψ)+Rψ=m(3)??????ddx[C?(dwdx?ψ)]+Kw?T?2w?x2=q?ddx(D?dψdx)?C?(dwdx?ψ)+Rψ=m(3)式中:D=EI,C=nGA(n為剪切修正系數(shù))。其中E為彈性模量,G為抗剪模量,I為抗彎慣性矩,A為截面面積。一般情況下,彈性地基梁中主要以豎向集中荷載、分布荷載、集中力偶等作用為主,而分布彎矩較少,因此可忽略式(3)中分布彎矩m的影響,令m=0。經(jīng)解耦,考慮水平摩阻影響,由式(3)可導(dǎo)出雙參數(shù)地基Timoshenko梁用撓度表示的微分方程為:?4w?x4-ΚD+RC+ΤC+RΤD(C+Τ)?2w?x2+Κ(R+C)D(C+Τ)w=(C+R)qD(C+Τ)-1C+Τ?2q?x2(4)?4w?x4?KD+RC+TC+RTD(C+T)?2w?x2+K(R+C)D(C+T)w=(C+R)qD(C+T)?1C+T?2q?x2(4)暫不考慮分布荷載的影響,令式(4)中右端為0,即可得到考慮水平摩阻影響的雙參數(shù)地基Timoshenko梁的奇次微分方程。通常情況下,計算參數(shù)滿足如下條件:Δ=(ΚD+RC+ΤC+RΤD(C+Τ))2-4Κ(C+R)D(C+Τ)<0(5)Δ=(KD+RC+TC+RTD(C+T))2?4K(C+R)D(C+T)<0(5)用初始狀態(tài)參數(shù)(x=0時的撓度w0、轉(zhuǎn)角ψ0、剪力Q0、彎矩M0)表示的結(jié)構(gòu)變形、內(nèi)力解為:{w(x)=a1(x)w0+b1(x)ψ0+c1(x)Q0+d1(x)Μ0ψ(x)=a2(x)w0+b2(x)ψ0+c2(x)Q0+d2(x)Μ0Q(x)=a3(x)w0+b3(x)ψ0+c3(x)Q0+d3(x)Μ0Μ(x)=a4(x)w0+b4(x)ψ0+c4(x)Q0+d4(x)Μ0(6)???????????w(x)=a1(x)w0+b1(x)ψ0+c1(x)Q0+d1(x)M0ψ(x)=a2(x)w0+b2(x)ψ0+c2(x)Q0+d2(x)M0Q(x)=a3(x)w0+b3(x)ψ0+c3(x)Q0+d3(x)M0M(x)=a4(x)w0+b4(x)ψ0+c4(x)Q0+d4(x)M0(6)式中:運算函數(shù)ai(x)、bi(x)、ci(x)、di(x)(i=1、2、3、4)如附錄Ⅰ所示。2般分布荷載的積分有了初參數(shù)解,可分析梁上作用有任意荷載的情況,并可建立傳遞矩陣方法。如圖2所示,對于梁上作用有集中力、集中力偶、分布力等荷載情形,用左端(x=0)處的初參數(shù)表示的解為:{wψQΜ}x=[a1(x)b1(x)c1(x)d1(x)a2(x)b2(x)c2(x)d2(x)a3(x)b3(x)c3(x)d3(x)a4(x)b4(x)c4(x)d4(x)]?{wψQΜ}x=0+{wψQΜ}mod(7)???????????wψQM???????????x=??????a1(x)a2(x)a3(x)a4(x)b1(x)b2(x)b3(x)b4(x)c1(x)c2(x)c3(x)c4(x)d1(x)d2(x)d3(x)d4(x)??????????????????wψQM???????????x=0+???????????wψQM???????????mod(7)式(7)中的荷載修正項如下式所示:wmod=‖x=a-P·c1(x-a)+‖x=bM·d1(x-b)+‖x=c-∫xcp(z)·c1(x-z)dz+‖x=d∫xdp(z)·c1(x-z)dzψmod=‖x=a-P·c2(x-a)+‖x=bM·d2(x-b)+‖x=c-∫xcp(z)·c2(x-z)dz+‖x=d∫xdp(z)·c2(x-z)dzQmod=‖x=a-P·c3(x-a)+‖x=bM·d3(x-b)+‖x=c-∫xcp(z)·c3(x-z)dz+‖x=d∫xdp(z)·c3(x-z)dzMmod=‖x=a-P·c4(x-a)+‖x=bM·d4(x-b)+‖x=c-∫xcp(z)·c4(x-z)dz+‖x=d∫xdp(z)·c4(x-z)dz(8)式中:‖x=a等符號表示當(dāng)x≥a時應(yīng)考慮此修正項,當(dāng)x<a時不考慮此修正項。式(8)中關(guān)于解函數(shù)的積分比較復(fù)雜,本文經(jīng)推導(dǎo),發(fā)現(xiàn)其兩種積分有通用公式,如下式:∫ci(x-z)dz=-(C+R)ai(x-z)D(C+Τ)(α2+β2)2+c∫z?ci(x-z)dz=-(C+R)[z?ai(x-z)-bi(x-z)]D(C+Τ)(α2+β2)2+c(9)彈性地基梁中一般分布荷載主要是豎向分布荷載。如果分布荷載是滿跨布置,且線性分布,其作用荷載的修正項可進行簡化,對于如式(10)所示的線性分布荷載:p(x)=p0+qx(10)其荷載修正項為:{wψQΜ}mod={C+RD(C+Τ)(α2+β2)2{p0?[1-a1(x)]+q[x-b1(x)]}C+RD(C+Τ)(α2+β2)2{-p0?a2(x)+q[1-b2(x)]}C+RD(C+Τ)(α2+β2)2[-p0?a3(x)-q?b3(x)]C+RD(C+Τ)(α2+β2)2[-p0?a4(x)-q?b4(x)]}}(11)將各種作用荷載的修正項代入初參數(shù)解,結(jié)合遠(yuǎn)端的邊界條件可確定初參數(shù),從而可確定整個結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。3有限元平衡方程對于雙參數(shù)地基上變截面梁、節(jié)數(shù)較多的階梯梁等用初參數(shù)法和傳遞矩陣法求解比較復(fù)雜,計算量較大,而采用有限元則比較方便。利用初參數(shù)解可導(dǎo)出考慮水平摩阻的雙參數(shù)地基Timoshenko梁的理性有限元。定義單元結(jié)點力和位移方向如圖3所示,根據(jù)初參數(shù)法,考慮水平摩阻影響的雙參數(shù)地基Timoshenko深梁的有限元平衡方程如下。[JΤ-J′Τ′ΤS-Τ′S′-J′-Τ′J-ΤΤ′S′-ΤS]{w1ψ1w2ψ2}={Q1Μ1Q2Μ2}(12)式中:J=a2d1-a1d2c2d1-c1d2,Τ=b2d1-b1d2c2d1-c1d2,S=b2c1-b1c2c2d1-c1d2J′=d2c1d2-c2d1,Τ′=d1c1d2-c2d1,S′=c1c1d2-c2d1ai=ai(L),bi=bi(L),ci=ci(L),di=di(L),i=1,2,3,4。4等效控制力根據(jù)有限元理論,單元內(nèi)非結(jié)點荷載都必須等效成結(jié)點力。根據(jù)固端力與等效結(jié)點力的關(guān)系,按圖3所定義的單元結(jié)點力和位移方向,本文建立了均布荷載、集中荷載、集中力偶等三種非結(jié)點荷載的等效結(jié)點力計算公式。4.1e3000ec1-s1d2-c22-s1c2-c2d1q2算法步驟如圖4所示,對于單元內(nèi)均布荷載作用下,其等效結(jié)點荷載可由結(jié)點的固端力轉(zhuǎn)化而來,其計算公式為:Q1=e2d1-e1d2c1d2-c2d1,Μ1=e2c1-e1c2c1d2-c2d1Q2=Q1,Μ2=-Μ1(13)式中:e1=q(C+R)(1-a1)D(C+Τ)(α2+β2)2,e2=-q(C+R)a2D(C+Τ)(α2+β2)24.2集中負(fù)荷如圖5所示的單元內(nèi)集中荷載作用,其結(jié)點等效力如式(14)所示。4.3s1c1bc3d2-c3bc3d1的cd1,2,bc3,bc3d1,2,bc3,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3,bc3d1,2,bc3d1,2,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc1bc3d1,bc3d1,bc1bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc1bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,bc3d1,b如圖6所示的單元內(nèi)集中荷載作用,其結(jié)點等效力如式(15)所示。Q1=Ρ[c1(b)d2-c2(b)d1]c1d2-c2d1,Μ1=Ρ[c1(b)c2-c2(b)c1]c1d2-c2d1Q2=Ρ[c1(b)c2d2+c2(b)c3d1+c3(b)c1d2-c1(b)c3d2-c2(b)c1d3-c3(b)c2d1]c1d2-c2d1Μ2=Ρ[c1(b)c4d2+c2(b)c1d4+c4(b)c2d1-c1(b)c2d4-c2(b)c4d1-c4(b)c1d2]c1d2-c2d1(14)Q1=Μ[d2(b)d1-d1(b)d2]c1d2-c2d1,Μ1=Μ[d1(b)c2-d2(b)c1]c1d2-c2d1Q2=Μ[c1(b)c3d2+d2(b)c1d3+d3(b)c2d1-d1(b)c2d3-d2(b)c3d1-d3(b)c1d2]c1d2-c2d1Μ2=Μ[d1(b)c2d4+d2(b)c4d1+d4(b)c1d2-d1(b)c4d2-d2(b)c1d4-d4(b)c2d1]c1d2-c2d1(15)5雙參數(shù)地基計算結(jié)果算例1雙參數(shù)地基上兩端自由Timoshenko梁雙參數(shù)地基上兩端自由Timoshenko梁在中點作用一集中力偶M=500kN·m,如圖7所示結(jié)構(gòu)中材料彈性模量E=1.05×104MN/m2,剪切模量G=4.2×103MN/m2,地基豎向勁度系數(shù)K=30MN/m,梁底寬度b=0.4m,高h(yuǎn)=1.0m、截面剪切修正系數(shù)5/6。改變地基參數(shù)T、R,使其退化成不同地基模型,當(dāng)T=0,R=0為Winkler地基;當(dāng)T≠0、R=0為雙參數(shù)地基;當(dāng)T≠0、R≠0為考慮地基水平摩阻的雙參數(shù)地基。不同地基模型的參數(shù)T、R大小如圖例所示,T、R單位分別為MN/m2、MN。不同地基條件下采用傳遞矩陣法和有限元分別進行計算,其結(jié)果完全一致,計算結(jié)果示如圖8～11所示。采用有限元計算時,不同網(wǎng)格劃分下,同一截面的計算結(jié)果一致,其精度不依賴于網(wǎng)格密度,具有理性有限元的特點。從計算結(jié)果可以看出,水平摩阻對梁轉(zhuǎn)動有約束作用,從而提高了雙參數(shù)地基梁的整體剛度,結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形比其他形式地基的結(jié)果要小,分布也比較均勻,可見水平摩阻對彈性地基梁有重要影響,R越大,影響越顯著,當(dāng)T=10MN/m2時,R=100MN時的撓度、轉(zhuǎn)角、剪力最大值比R=0時相應(yīng)結(jié)果小59.56%、44.01%、55.02%,但彎矩結(jié)果一致。算例2雙參數(shù)地基上階梯形Timoshenko梁如圖12所示,雙參數(shù)地基階梯形深梁,左端鉸支、右端自由,已知梁的材料彈性模量為E=2×107kN/m2、剪切模量G=8×106kN/m2、梁寬b=1m、左端梁高h(yuǎn)1=0.6m、右端梁高h(yuǎn)2=0.4m、截面剪切修正系數(shù)n