甘肅省蘭州市第一中學(xué)屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精蘭州一中2017-2018—1學(xué)期高三年級(jí)期中考試試題數(shù)學(xué)（理)說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間150分鐘。答案寫(xiě)在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡。第Ⅰ卷一．選擇題(本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合A={θ|sinθ〉cosθ｝，B={θ｜sinθ·cosθ〈0},若θ∈A∩B，則θ所在的象限是（） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知A（m,n)是直線(xiàn)l：f（x,y)=0上的一點(diǎn)，B（s,t)是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，由方程f(x,y)+f(m，n）+f（s,t）=0表示的直線(xiàn)與直線(xiàn)l的位置關(guān)系是（）A．斜交 B．垂直 C．平行 D．重合KS5UKS5U]3．在(x2-1）（x+1)4的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是(） A．0 B．10 C．－10 D．204．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為l，則的取值范圍為（）A．（，+∞。 B．（，+∞） C．（1,+∞） D．（2,+∞)5．設(shè)函數(shù)f（x)=logax(a＞0且a≠1）的定義域?yàn)椋ǎ?∞）,則在整個(gè)定義域上，f(x）＜2恒成立的充要條件充是（)A．0＜a＜B．0＜a≤C．a(chǎn)＞且a≠1D．a(chǎn)≥且a≠16．設(shè)，則a=，b=1+x，c=中最大的一個(gè)是（） A．a(chǎn) B．b C．c D．不確定7．的值為（） A．2 B． C． D．18．設(shè)f(n）=cos(+），則f（1)+f(2)+f（3)+…+f(2006）=（) A．— B．— C．0 D．9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn),則的值是（） A． B．- C．3 D．—310．設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若∠F1PF2≤,則這個(gè)橢圓的離心率e的取值范圍是（）A．0＜e＜1；B。0＜e≤；C?！躤＜1；D.e=11．函數(shù)y=e|lnx｜﹣|x﹣1｜的圖象大致是（）D．C．B．A． D．C．B．A．12．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,定義[x]為不大于x的最大整數(shù)（例如：[3.6］=3，［-3.6］=-4等）,設(shè)函數(shù)f(x）=x-[x］,給出下列四個(gè)結(jié)論：①f（x)≥0；②f(x)<1;③f（x）是周期函數(shù)；④f(x)是偶函數(shù).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)第Ⅱ卷二、填空題（每小題4分,共16分，把答案填在題中橫線(xiàn)上.）13．把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，為虛數(shù)單位，若,則=。14．設(shè)m=(a,b)，n=(c，d)，規(guī)定兩向量m，n之間的一個(gè)運(yùn)算“”為mn=（ac-bd，ad+bc），若p=（1，2),pq=（-4,-3），則q=.15．設(shè)平面上的動(dòng)點(diǎn)P（1，y）的縱坐標(biāo)y等可能地取用ξ表示點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=。16．設(shè)x、y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=6x+3y的最大值是。三。解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿(mǎn)分10分）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c,設(shè)向量m=(cosA，sinA）,n=(1,0）,且向量m+n為單位向量，求：(Ⅰ）角A;（Ⅱ）.18．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中,PB⊥底面ABCD，CD⊥PD,底面ABCD為直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．(Ⅰ)證明PC∥平面EBD；（Ⅱ)求二面角A—BE—D的余弦值．19.（本小題滿(mǎn)分12分）在同款的四個(gè)智能機(jī)器人A,B，C,D之間進(jìn)行傳球訓(xùn)練,收集數(shù)據(jù)，以改進(jìn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)合作能力.球首先由A傳出，每個(gè)“人”得球后都等可能地傳給其余三個(gè)“人”中的一“人”,記經(jīng)過(guò)第次傳遞后球回到A手中的概率為Pn。（Ⅰ）求P1、P2、P3的值；（Ⅱ）求Pn關(guān)于n的表達(dá)式。20。（本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓C：，斜率為的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．（Ⅰ)設(shè)M為弦AB的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;（Ⅱ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C在左、右焦點(diǎn),P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足,求△PAB面積的最大值．21。（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，。（Ⅰ）求；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，試確定的單調(diào)區(qū)間及最大最小值;（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有成立.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答,如果多做，按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).22.（本小題滿(mǎn)分10）(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）.(Ⅰ)寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn)，設(shè) M（x,y)為上任意一點(diǎn)，求的最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).23。（本小題滿(mǎn)分10）（選修4-5：不等式選講）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥7﹣｜x﹣1｜；（Ⅱ）若f（x）≤2的解集為［﹣1，3],，求證：．

蘭州一中2017—2018-1學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)（理）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題(本卷共12小題，每小題5分，共60分。)題號(hào)123456789101112答案BCABBCDABB[KS5UKS5UKS5U]DC二、填空題：每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線(xiàn)上.13．；14．(-2,1)；15．；16．5。三.解答題：本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（本小題滿(mǎn)分10分）在△ABC中，角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c,設(shè)向量m=（cosA,sinA),n=（1，0），且向量m+n為單位向量，求:（Ⅰ）角A;（Ⅱ）。解:(Ⅰ)∵m+n=（cosA+1，sinA）為單位向量，∴(cosA+1)2+sin2A=1，即得cosA=—，∴A=?！?分（Ⅱ)∵A=,∴B+C=,即B=—C，結(jié)合正弦定理得：======2?！?0分18．（本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．（Ⅰ）證明PC∥平面EBD；（Ⅱ）求二面角A-BE—D的余弦值．（Ⅰ）證明:連接AC交BD于G，連接EG,∵,又，∴,∴PC∥EG，又EG平面EBD,PC平面EBD,∴PC∥平面EBD.……………6分(Ⅱ)解法一:∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB。又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE于H，連接DH，則DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A-BE—D的平面角.在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=,由△ABE的面積得:AH=,∴tan∠AHD==，故二面角A-BE—D的余弦值為.………………12分解法二:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系B—XYZ，設(shè)BC=a，則A（0，3,0），P（0，0，3),D（3，3，0),C（a，0，0），=（3—a，3，0），=（3,3，—3）,∵CD⊥PD，∴·=0，即3（3—a)+9=0，∴a=6，∴=（—3,3，0），=（0，3，—3）,=（0,2,1），=（3，3，0），設(shè)平面EBD的法向量為n1=（x,y，1），由得∴于是n1=（,-，1)，而為平面ABE的法向量為n2=(1，0，0），∴cos<n1，n2>=，故二面角A-BE-D的余弦值為.………………12分19.（本小題滿(mǎn)分12分）在同款的四個(gè)智能機(jī)器人A，B，C，D之間進(jìn)行傳球訓(xùn)練，收集數(shù)據(jù)，以改進(jìn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)合作能力.球首先由A傳出,每個(gè)“人”得球后都等可能地傳給其余三個(gè)“人”中的一“人”，記經(jīng)過(guò)第次傳遞后球回到A手中的概率為Pn。(Ⅰ)求P1、P2、P3的值；（Ⅱ）求Pn關(guān)于n的表達(dá)式。解：（Ⅰ）經(jīng)過(guò)一次傳球后，球落在B，C,D手中的概率分別為而在A手中的概率為0；因此，兩次傳球后，球落在A手中的概率為要想經(jīng)過(guò)三次傳球后，球落在A手中,只能是經(jīng)過(guò)二次傳球后球一定不在A手中，∴……5分（Ⅱ)要想經(jīng)過(guò)n次傳球后，球落在A手中,只能是經(jīng)過(guò)次傳球后球一定不在A手中，∴，……7分設(shè)，則，∴,，即,而,所以，是以（）為首項(xiàng)，（）為公比的等比數(shù)列，……9分∴,即，顯然當(dāng)n=1時(shí)也適合，［KS5UKS5UKS5U］故?！?2分20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓C：，斜率為的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．（Ⅰ）設(shè)M為弦AB的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；［KS5UKS5UKS5U]（Ⅱ）設(shè)F1,F2為橢圓C在左、右焦點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求△PAB面積的最大值．解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），A（x1，y1）,B(x2，y2），由①，②；﹣②得：，即；∴．………4分由于弦AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，得,∴M點(diǎn)的軌跡方程為（);………5分（Ⅱ）依題意：F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)P(x，y）（x＞0,y＞0），則，，由得：，即，與橢圓的方程聯(lián)立,解得:[KS5UKS5UKS5U］∴P點(diǎn)坐標(biāo)為;……6分設(shè)直線(xiàn)l的方程為，聯(lián)立，整理得:，由△＞0得﹣2＜m＜2，∴，，于是,點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離，…8分∴；當(dāng)且僅當(dāng)m2=4﹣m2,即時(shí)，取等號(hào)，故，△PAB面積的最大值1．………12分21。（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)，.(Ⅰ)求；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，試確定的單調(diào)區(qū)間及最大最小值；（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有成立.解:（Ⅰ)；…………3分（Ⅱ）∵，∴，,∵a>0，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無(wú)最大值；………………7分（Ⅲ）取a=1，由(Ⅱ）知,,∴，即,亦即，………10分分別取得,，,…,，將以上各式相乘,得：………………12分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。22.（本小題滿(mǎn)分10）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).（Ⅰ）寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn),設(shè)M(x，y)為上任意一點(diǎn)，求的最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：(Ⅰ）圓C的方程為……1分直線(xiàn)L方程為…………3分（Ⅱ）由和得…5分設(shè)M為，則……8分所以當(dāng)M為或時(shí)原式取得最小值1．……………10分23.(本小題滿(mǎn)分10）選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)．（Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，解